Näherungswerte von Quadratwurzeln
Die Quadratwurzel einer beliebigen positiven Zahl kann näherungsweise mit einer vorgegebenen Anzahl von Nachkommastellen (Dezimalen) bestimmt werden. Zum Beispiel: 1,73 < √3 < 1,74 und 1 < √3 < 2, 1,7 < √3 < 1,8. Ein Näherungswert für √3 ist ≈ 1,732050808. Wenn ein exaktes Ergebnis erforderlich ist, lässt man √3 stehen. Es gilt: Die Wurzel aus einer natürlichen Zahl n ist entweder eine natürliche Zahl oder eine nicht abbrechende Dezimalzahl.
Beispiele
Beispiel 1 - Eine Quadratwurzel durch natürliche Zahlen eingrenzen
Man kann die Grenze √50 zwischen zwei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen eingrenzen. Es ist 7² = 49 und 8² = 64, also liegt √50 zwischen 7 und 8.
Beispiel 2 - Näherungsweise Wurzeln bestimmen
a) Man bestimmt 19 mit einem Näherungsverfahren auf zwei Dezimalstellen gerundet.
b) Man bestimme √19 mit dem Taschenrechner auf vier Dezimalstellen gerundet.
Lösung
a) 1. Schritt: 4 < √19 < 5, da 4^2 = 16 und 5^2 = 25, 2. Schritt: 4,3 < √19 < 4,4, da 4,3^2 = 18,49 und 4,4^2 = 19,36, 3. Schritt: 4,35 < √19 < 4,36, da 4,35^2 = 18,9225 und 4,36^2 = 19,0096, 4. Schritt: 4,358 < √19 < 4,359, da 4,358^2 = 18,992164 und 4,359^2 = 19,000881. Gerundet auf zwei Dezimalstellen ist √19 = 4,36.
b) Der Taschenrechnerwert für √19 ist 4,358898944; gerundet: 19 = 4,3589.
Durch verschiedene Näherungsverfahren können Näherungswerte für Quadratwurzeln berechnet werden. Es ist wichtig, dieses Konzept zu verstehen und in der Praxis anzuwenden. Näherungswerte können in verschiedenen mathematischen Bereichen wie der Exponentialfunktion oder dem Heron-Verfahren verwendet werden. Es ist auch wichtig, solide Grundkenntnisse über Näherungswerte zu haben, da sie in weiterführenden Schulen in Klassenstufen wie der 9. Klasse relevant sind. Übungen und Beispiele zu Näherungswerten können Schülern helfen, das Konzept besser zu verstehen und anzuwenden. Es ist auch hilfreich, verschiedene Methoden wie das Heron-Verfahren mit Beispielen zu erklären, um ein besseres Verständnis zu ermöglichen. Auch das Bestimmen von Näherungswerten für Quadratwurzeln sollte mit Übungen und Beispielen gefestigt werden, um sicherzustellen, dass die Schüler das Konzept beherrschen. Ein PDF mit Übungen zum Bestimmen von Näherungswerten für Wurzeln kann eine nützliche Ressource für Lehrer und Schüler sein. Es kann auch hilfreich sein, eine Tabelle mit Quadratwurzeln als Referenz zu haben, um das Lernen zu erleichtern.
