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Periodisch, abbrechend und nichtperiodisch
10.3.2021
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220 27 ABBRECHENDE & PERIODISCHE DEZIMALZAHLEN • Dezimalzahlen werden als abbrechende und periodische Dezimalzahlen unterschieden PERIODISCH • man erkennt eine periodische Dezimalzahl meis- tens daran, dass sich eine Ziffer oder eine Folge von Ziffern NACH DEM KOMMA immer wiederholt mathematische Begriffe Die Wiederholungen können aber auch später als nach den ersten Nachkommastellen beginnen z. B.: 3,55555555... (Periode 6) 7 9 6 4 4 4 4 4 4 44... (Periode 4) 0321321321321. (Periode 321) 5,723872387238.. (Periode 7238) • Die drei Pünktchen (...) zeigen an, dass sich die Wiederholung endios fortsetzt. Die Ziffern, die sich in einer periodischen Dezimalzahl wiederholen nennt man ihre Periode". Periodenstrich • Die Anzahl der Ziffern unter dem Periodenstrich wird Perioden lange genannt. So 4 11 18 25 Z.B.: 3,5 hat die perioden lange 5 6,71 hat auch die faroden lange 1 4,1723 454,172 345345345345... • Der Periodenstrich steht über der Periode, mit ihm. muss man die wiederholenden Ziffern nicht no anmal aufschreiben. Es reicht wenn man den Periodenstrich über die periode setzt, das heißt dass die Zahlen sich 0,149 hat die Periodenlange 3 3,79 431536 hat die Perioden länge 8 19, 7431 hat die Periodenlänge 2 2 9 16 23 30 2.8.: 32:9= 3,555... 27 50 45 SO 45 Wie entstehen periodische Dezimakzahlen? -z. B.: bei der Division im Rest L>Divisor: Primfaktor 2 oder 5 endlich viele Nachkomme stellen. Divisor als Teiler: 3, 7, 11,9... periodische Dezimal-- zahl 50 45 6 13 20 27 5. 50 3 10 17 24 31 •Periodische Dezimalzahlen- können gerundet werden. Reinperiodisch Reinperiodische Dezimalzahlen. 4> Periode beginnt direkt nach dem komma. 14,...
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11°²111=14,5; 0,294 Gemischtperiodisch: -Gemischtperiodische Dezimalzahlen L> zwischen der Periode und dem Komma steht mindestens eine Dezi- malzahl: 0,16; 4,8374; 5, 77931- Reinperiodische Dezimalzahlem in Briche umformen: steht im Nenner des gesuchten Bruchs immer 9,99999, -Bei der Umwandlung reinperiodischer Dezimalzahlen -Die Länge der Periode zeigt die Anzahl der Iner im --- Nenner - In den Zähler des gesuchten Brochs wird die Zahl unter dem Periodenstrich geschrieben. -Steht vor dem komma eine natürlichen Zahl, so erhältst du de gemischte Zahl mit dieser natürlichen Zahl als Ganze. z.B.: 0₁4 ABBRECHEND Abbrechende Dezimalzahlen haben nur endlich -Die Perioden lange ist 1. Das heißt, dass eine I im viele Nachkommastellen, die nicht null sind, bzw. Nenner steht. Die einzige ziffer in der Periode ist ja y, ab irgendeiner nur noch Willen als hinter dem kom- also kommt die 4 in den Zähler. ma. Beispiel 2: 2,73 - Die Perioden länge: 2 => 2 gher im Nenner Ziffern in der Periode: 73 => in den Zähler - vor dem komma: 2 => 2 kommt als ganze Zahl Beispiel: vor den Bruch 70722.5 2,73 = 275/35 Gemischt periodische Dezimalzahlen in Brüche umformer - Zuerst moss man aus der gemischtperiodischen Dezimalzahl eine reinperiodische Dezimalzahl machen 17 das funktioniert durch die kommaverschiebung Die Zahl muss mit der geeigneten 10hner foten? multipliziert werden. z.B.: 0,54 0,54 = 0,59 10:40 = 5.9:10 = 5 ² : 10 9 43:10 = = 49 Man muss zuerst das Komma um 1 Stelle nach rechts verschieben (Zahl mit 10 multiplizieren). Nach dem Umwandlein muss man die Multiplikation wieder rückgängig, um den wert der Zahl nicht zu verändern. Bruch durch 10 dividiera 300MM... = 0,7 = 1 0,3333=0,3 = 3-1 Sie entsprechen den Dezimalbrichen (Brichen mit einer 10hner fozenz im Nenner). Alle Bruchzahlen, deren Nenner nur die Primfakto- ren 2,5 enthalten, lassen sich zu einem Dezimalbruch mit abbrechender Dezimaldarstellung erweitern. wichtige periodische Decimalzahlen 0,6666 = 0,6 = 3 = 3 als Bruch 35 100 NICHT PERIODISCH = 935 = 0,125= abbrechender Dezimalbruch Irrationale Zahlen sind nicht abbrechend und nicht periodisch.. • Man kann nicht periodische Dezimalzahlen immer. nur angenähert und nicht exakt aufschreiben L> "exakt ist nur eine Angabe eines Symbols wie e," oder "V2"