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Periodisch, abbrechend und nichtperiodisch
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- Was heißt periodisch? - Reinperiodisch / Gemischtperiodisch - Umformung zu Brüchen - Was heißt abbrechend? - Was heißt nicht periodisch?
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20 27 ABBRECHENDE & PERIODISCHE DEZIMALZAHLEN Dezimalzahlen werden als abbrechende und periodische Dezimalzahlen unterschieden ● • PERIODISCH • man erkennt eine periodische Dezimalzahl meis- tens daran, dass sich eine Ziffer oder eine Folge von Ziffer NACH DEM KOMMA immer wiederholt Die Wiederholungen können aber auch später als nach den ersten Nachlcommastellen beginnen mathematische Begriffe z. B.: 3,55555555... (Periode 6) 4 796 4 4 4 4 4 444. (Periodey) 0321321321321. (Periode 321) 5,7238 72387238.. (Periode 7238) • Die drei Pünktchen (...) zeigen an, dass sich die Wiederholung endios fortsetzt. Die Ziffern, die sich in einer periodischen Dezimalzahl wiederholen nennt man ihre "Periode". Periodenstrich 4,172 3 4 5= 4,172 345345345345... muss man Der Periodenstrich steht über der Pericle, mit ihm die wiederholenden Ziffern nicht no anmal aufschreiben. Es reicht wenn man den Periodenstrich über die periode setzt, das heißt dass die Zahlen sich Die Anzahl der Ziffern unter dem Periodenstrich wird Perioden länge genannt. Z.B.: 3,5 hat die perioden lange 5 So 6171 hat auch die Periodenlance 1 4 11 18 25 0,149 hat die Periodenlange 3 3,79 431536 hat die Periodenlänge 8 19, 7431 hat die perioden lange z 27 2.8.: 329=3,555... 50 45 2 9 16 23 30 53 45 Wie entstehen periodische Dezimalzahlen? -2.B.: bei der Division im Rest >Divisor: Primfaktor 2 oder 5 endlich viele Nachkomma stellen. Divisor als Teiler: 3,7,11,9... periodische Dezimial-- zahl 45 5... 6 13 20 27 ● 50 3 10 17 24 31 Periodische Dezimalzahlen- können gerundet werden Reinperiodisch: - Reinperiodische Dezimalzahlen L> Periode beginnt direkt nach dem komma. 14, 11°^^^=14,5; 0,294 L Gemischtperiodisch: -Gemischtperiodische Dezimalzahlen L> zwischen der Periode und dem Komma steht mindestens...
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eine Dezi- malzahl: 0,15; 4,8374; 5, 77437 Reinperiodische Dezimalzahlem in Briche umformen: steht im Nenner des gesuchten Bruchs immer 9,99999, -Bei der Umwandlung reinperiodischer Dezimalzahlen -Die Länge der Periode zeigt die Anzahl der gner im Nenner - In den Zähler des gesuchten Bruchs wird die Zahl unter dem Periodenstrich geschrieben. -Steht vor dem komma aine natürlichen Zahl, so erhältst du the gemischte Zahl mit dieser natürlichen Zahl als Ganze. Z.B.: 0,4 ABBRECHEND -Die Perioden lange ist 1. Das heißt, dass eine I im Abbrechende Dezimalzahlen haben nur endlich viele Nachkommastellen, die nicht null sind, bzw. Nenner steht. Die einzige Ziffer in der Periode ist ja y, ab irgendeiner nur noch Willen als hinter dem kom- also kommt die 4 in den Zähler. ma. 0,4 = 4 Beispiel 2: 2,73 Die Perioden lange: 2 => 2 grer im Nenner Ziffern in der Periode: 73 => in den Zähler - vor dem komma: 2 => 2 kommt als ganze Zahl Beispiel: vor den Bruch 2,73 = 275/35 Gemischt periodische Dezimalzahlen in Bricke umformed - Zuerst mass man aus der gemischtperiodischen Dezimalzahl eine reinperiodische Dezimalzah! machen 17 das funktioniert durch die kommaverschiebung Die Zahl muss mit der geeigneten 10hner foten? multipliziert werden. z.B.: 0,59 0,54 = 0,54 10:10 = 5.9:10 = 5 = 1²:10 49 :40 = 49 Yo TOMM.... = 0₁ T = Man muss zuerst das Komma um 1 Stelle nach rechts verschieben (Zahl mit 10 multiplizieren). Nach dem Umwandeln muss man die Multiplikation wieder rückgängig, um den Wert der Zahl nicht zu verändern. Bruch durch 10 dividieren J 0,3333 = 0,3 = 3- Sie entsprechen den Dezimalbrichen (Brüchen mit einer 10hner fozenz im Nemer). Alle Bruchzahlen, deren Nenner nur die Primfakto- ren 2,5 enthalten, lassen sich zu einem Dezimalbruch mit abbrechender Dezimaldurstellung erweitern. Wichtige periodische Dezimalzahlen 0,6666 = 0,5 = 3² = 33 als Bruch p B 20 2².5 935 100 NICHT PERIODISCH H = K 1 = 0,125= abbrechender Dezimalbrud Irrationale Zahlen sind nicht abbrechend und nicht periodisch. •Man kann nicht periodische Dezimalzahlen immer. nur angenähert und nicht exakt aufschreiben L> nur eine Angabe eines Symbols wie e"" oder "√2¹" exakt
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