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studying.becci
13.12.2025
Mathe
Polynomgleichungen
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13. Dez. 2025
•
studying.becci
@studying.becci
Polynomgleichungen sind ein wichtiger Baustein in der Oberstufen-Mathematik. Du lernst... Mehr anzeigen
Polynomgleichungen sind Gleichungen der Form f(x) = 0, wobei f(x) ein Polynom ist. Das klingt komplizierter als es ist - im Grunde sind das alle Gleichungen mit Potenzen von x wie x², x³ usw.
Du kennst bereits drei wichtige Lösungsverfahren: Den Satz vom Nullprodukt (wenn du Faktoren hast, die null werden), Ausklammern (x vor die Klammer ziehen) und die Mitternachtsformel für quadratische Gleichungen.
Tipp: Bei x = 0 ist entweder x = 0 oder 2x + 3 = 0. Das ist der Satz vom Nullprodukt in Aktion!
Diese Grundtechniken werden dir immer wieder begegnen - beherrschst du sie sicher, hast du schon die halbe Miete.
Der Satz von Vieta hilft dir bei quadratischen Gleichungen: Die Summe der Lösungen ist -p, das Produkt ist q. Das ist besonders praktisch, wenn du Lösungen "erraten" kannst.
Substitution verwendest du bei Gleichungen wie x⁴ - 2x² - 1 = 0. Setze einfach u = x² und löse die neue Gleichung u² - 2u - 1 = 0. Danach rücksubstituieren nicht vergessen!
Merke: Bei der Substitution machst du aus einer schwierigen Gleichung eine einfachere - genial, oder?
Die Polynomdivision brauchst du für höhere Grade. Erst eine Nullstelle raten (oft ±1, ±2, ±3...), dann das Polynom durch teilen.
Bei der Polynomdivision teilst du schrittweise, genau wie bei normaler Division. Das Beispiel x³ + x² - 17x + 15 = 0 zeigt: Nach dem Teilen durch erhältst du x² + 2x - 15 = 0, was du dann normal lösen kannst.
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst alle x-Werte, die du einsetzen darfst. Bei f(x) = 4x² + 2 ist das alle reellen Zahlen (ℝ), bei Brüchen musst du aufpassen, dass der Nenner nicht null wird.
Faustregel: Definitionsbereich = "Was darf rein?", Wertebereich = "Was kommt raus?"
Der Wertebereich zeigt, welche y-Werte die Funktion annehmen kann. Bei f(x) = 4x² + 2 sind das alle Werte ≥ 2, da das Quadrat nie negativ wird.
Bei Funktionen wie f(x) = 7/ ist x = -2 verboten, da der Nenner null würde. Deshalb ist D = ℝ \ {-2}. Bei Wurzelfunktionen wie f(x) = √x dürfen nur nicht-negative Zahlen rein.
Bruchgleichungen löst du in zwei Schritten: Zuerst bestimmst du den Definitionsbereich . Dann multiplizierst du die gesamte Gleichung mit dem Hauptnenner.
Wichtig: Prüfe am Ende immer, ob deine Lösungen im Definitionsbereich liegen!
Das Multiplizieren mit dem Hauptnenner macht aus der Bruchgleichung eine normale Gleichung, die du mit bekannten Verfahren lösen kannst.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Anna
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hans T
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studying.becci
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Polynomgleichungen sind ein wichtiger Baustein in der Oberstufen-Mathematik. Du lernst verschiedene Techniken kennen, um diese Gleichungen zu lösen, sowie Grundlagen zu Definitions- und Wertebereichen von Funktionen.
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Polynomgleichungen sind Gleichungen der Form f(x) = 0, wobei f(x) ein Polynom ist. Das klingt komplizierter als es ist - im Grunde sind das alle Gleichungen mit Potenzen von x wie x², x³ usw.
Du kennst bereits drei wichtige Lösungsverfahren: Den Satz vom Nullprodukt (wenn du Faktoren hast, die null werden), Ausklammern (x vor die Klammer ziehen) und die Mitternachtsformel für quadratische Gleichungen.
Tipp: Bei x = 0 ist entweder x = 0 oder 2x + 3 = 0. Das ist der Satz vom Nullprodukt in Aktion!
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Der Satz von Vieta hilft dir bei quadratischen Gleichungen: Die Summe der Lösungen ist -p, das Produkt ist q. Das ist besonders praktisch, wenn du Lösungen "erraten" kannst.
Substitution verwendest du bei Gleichungen wie x⁴ - 2x² - 1 = 0. Setze einfach u = x² und löse die neue Gleichung u² - 2u - 1 = 0. Danach rücksubstituieren nicht vergessen!
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Bei der Polynomdivision teilst du schrittweise, genau wie bei normaler Division. Das Beispiel x³ + x² - 17x + 15 = 0 zeigt: Nach dem Teilen durch erhältst du x² + 2x - 15 = 0, was du dann normal lösen kannst.
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst alle x-Werte, die du einsetzen darfst. Bei f(x) = 4x² + 2 ist das alle reellen Zahlen (ℝ), bei Brüchen musst du aufpassen, dass der Nenner nicht null wird.
Faustregel: Definitionsbereich = "Was darf rein?", Wertebereich = "Was kommt raus?"
Der Wertebereich zeigt, welche y-Werte die Funktion annehmen kann. Bei f(x) = 4x² + 2 sind das alle Werte ≥ 2, da das Quadrat nie negativ wird.
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Bei Funktionen wie f(x) = 7/ ist x = -2 verboten, da der Nenner null würde. Deshalb ist D = ℝ \ {-2}. Bei Wurzelfunktionen wie f(x) = √x dürfen nur nicht-negative Zahlen rein.
Bruchgleichungen löst du in zwei Schritten: Zuerst bestimmst du den Definitionsbereich . Dann multiplizierst du die gesamte Gleichung mit dem Hauptnenner.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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