Schreibweisen und Anwendungen von Zehnerpotenzen

Zehnerpotenzen werden in der wissenschaftlichen und technischen Notation verwendet, um große und kleine Zahlen effizient darzustellen.

Definition:

• Wissenschaftliche Schreibweise: Eine Dezimalzahl zwischen 1 und 10 multipliziert mit einer Zehnerpotenz.
• Technische Schreibweise: Der Exponent der Zehnerpotenz ist immer ein Vielfaches von drei.

Beispiel:

• Wissenschaftlich: 4,35 · 10⁷ m
• Technisch: 43,5 · 10⁶ m

Anwendungsbeispiele:

• Anzahl der roten Blutkörperchen pro Liter Blut: ~5,12 · 10¹²
• Gesamtlänge des deutschen Schienennetzes: 43500 km = 4,35 · 10⁷ m
• Dicke eines Kopfhaares: 60 μm ≈ 60 · 10⁻⁶ m

Highlight: Zehnerpotenzen ermöglichen den einfachen Vergleich und die Berechnung mit sehr großen und sehr kleinen Zahlen in verschiedenen wissenschaftlichen Disziplinen.

Einführung in Potenzen

Potenzen sind eine mathematische Schreibweise, um wiederholte Multiplikationen kompakt darzustellen. Sie bestehen aus einer Basis und einem Exponenten.

Definition: Eine Potenz besteht aus einer Basis (Grundzahl) und einem Exponenten (Hochzahl). Sie stellt eine verkürzte Schreibweise für die mehrfache Multiplikation der Basis mit sich selbst dar.

Ein anschauliches Beispiel für Potenzen ist das Falten von Papier:

Beispiel:

• Einmal falten: 2 Schichten (2¹)
• Zweimal falten: 4 Schichten (2²)
• Dreimal falten: 8 Schichten (2³)
• Viermal falten: 16 Schichten (2⁴)

Dies lässt sich mathematisch als 2 · 2 · 2 · 2 = 2⁴ = 16 ausdrücken.

Highlight: Wenn man das Papier gar nicht faltet, entspricht dies mathematisch 2⁰ = 1, da jede Zahl (außer 0) mit dem Exponenten 0 den Wert 1 ergibt.

Der Leitfaden behandelt auch Potenzen mit negativer Basis und deren Besonderheiten:

Vocabulary: Negative Basis Potenzen sind Potenzen, bei denen die Grundzahl eine negative Zahl ist.

Bei Potenzen negative Zahlen mit Klammer gilt:

• (-3)² = (-3) · (-3) = 9
• (-3)³ = (-3) · (-3) · (-3) = -27

Highlight: Bei geraden Exponenten ist das Ergebnis positiv, bei ungeraden negativ.