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Potenzen und Wurzeln

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 Potenzen kennlernen
=
Anderes Beispiel: Papier
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- Potenzen mit negativer Basis.
-3²= (3-3) = -9
(-3)² = (-3--3) = 9
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Potenzen kennlernen = Anderes Beispiel: Papier 12 - Potenzen mit negativer Basis. -3²= (3-3) = -9 (-3)² = (-3--3) = 9 Einmal falten: 2 Schichten Zweimal falten: 4 Schichten Dreimal falten 8 Schichten Viermal falten: 16 Schichten Man schreibt 2·2·2·2= 24 = 16 (-3) ²= (-3) (-3)=9 (-3) ³²-(-3)·(-3) (-3) = -27 (-3) ²= (-3)·(-3)· (-3)-(-3) -81 Potenzen mit Bruch als Basis 2 3. 4 16 12 4 \6) vier gleiche Faktoren - Exponent oder Hochzahl •Basis oder Grundzah 4← 12 3 3 3 3 = = 6² 2 2 3 3 12 16 36 br 1⁰ l من احدى = 5100 2 2² 4 3 3² 9 4 n J100 - Potenzen mit negativem Exponenten negativer Exponent I - - Potenzen werden genutzt, um Terme kürzer darzustellen. Anstatt eines Produktes mit mehreren gleichen Faktoren kann man auch. Potenzen schreiben. Anzahl der Schichten wird verdoppelt ↳ Anzahl der Faltung ist in mathe- matischer Sprache der Exponent und der Faktor clie Basis → Wenn man gar nicht faltet (eine Schicht) 2⁰= 1 Wenn vor einer Potenz ein Vorzeichen steht, wird es nicht potenziert. Steht eine negative Zahl in einer Klammer, die potenziert, clann ist die negative Zahl die Basis der Potenz und wird mit dem Vorzeichen potenziert. Ist der Exponent einer negativen Zahl gerade, dann ist der Potenzwert positiv. Ist der Exponent ungerade, ist der Potenzwert negativ. Ist die Basis einer Potenz ein Bruch, dann werden. Zahler und Nenner einzeln mit dem Exponenten potenziert. Ein Bruch, der potenziert wird, kann gekürzt werden, bevor oder nachdem man die Potenz ausgerechnet. - Um eine Potenz mit negativem Exponent zu 31 3″ 1 negativer Exponent Potenzen mit Bruch im Exponenten (4) (2) 1 3 โช X = n X' 10⁰ 10 10 ло = Zehnerpotenzen kennenlernen = 1000 ЛОЗ = ЛО -...

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ДО · 10 ЛО4 = ЛО - ЛО - Ло - ло =10000 105 10 10 10 10 10 = 100000 3 Bruch als Exponent X h m с d h k ΥΣ m M -Einheitsprāfixe Präfix Name Potenz Micro 10 μ 10-3 10.10 1 = 10.10.10 1 10.10.10.10 10.10.10 · 10·10 Centi Dezi Hekto Kilo Mega ло 101 10² 3 10³ 106 -0,01 0,001 0,0001 = 0,0000 = Wert berechnen, kann sie auch mit positivem Exponenten dargestellt werden. Dafür wird der Kehrwert der Basis mit dem Exponenten mit entgegengesetatem Vorzeichen potenziert. entgegengese talem vorz m m - Ist der Exponent einer Potenz ein Bruch n kann die Potenz als n-te Wurzel der Potenz x' geschrieben werden. m und n sind ganze Zahlen. In darf nicht 0 sein. Wenn m-0, dann ist der Potenzwert 1. 0.000001 0001 001 0,1 Ist der Exponent einer Potenz ein Bruch 1, kann die Potenz als n-te Wurzel aus der Basis x geschrieben werden. n ist eine ganze Zahl. Sie darf nicht 0 sein. 1000 1000000 Pozenten mit der Basis 10 und einer ganzen Zahl als Exponent heißen Zehnerpotenzen. Um den Potenzwert einer Zehnerpotenz mit positivem Exponenten zu berechnen, werden hinter eine 1 so viele Nullen geschrieben, wie der Exponent vorgibt. - Bei Zehnerpotenzen mit einer negativen ganzen Zahl im Exponenten, ist der Potenzwert eine Dezimalzahl Die Vorkommastelle ist eine O. Der Betrag des Exponenten gibt an, wie viele Nachkomma- Stellen auf die Ofolgen. Die letzte Nachkomma- Stelle ist immer die 1. Einheitsprafixe sind Buchstaben, die vor eine Einheit geschrieben werden. Sie entsprechen immer einer Zennerpotenz. (1) Anderes Beispiel: caus Zentimeter Caus Zentimeter entspricht einem Hundertstel 1cm = 100m = 10² m Schreibweisen GT (2) Giga Tera 43500000m 43500 km Gesamtlänge des dt. Schienennetzes Wissenschaftlich technisch (1 Anzahl der roten Blutkörperchen pro Liter im Blut 252000000ooooo ~ 521012 = 10⁹ 1012 100000000 4.35.107m 43, 5.106m 4,35 104 km 43,5-10³ km 1200m = 1,2-10 m = = 12·10³ km 12km Potenzgesetze 31 3 3 Dicke eines Kopfhaores: 260μm 260.10 m 20,00006m vier gleiche Faktoren 4← Exponent Basis 3 Einheitsprafixe werden verwendet um sehr große Zahlen oder sehr kleine Zahlen miteinander zu vergleichen. -Mithilfe von Zehnerpotenzen können sehr große Zahlen kürzer und übersichtlicher dargestellt werden. Diese werden dabei als Produkt aus einer Decimalzahl und Zehnerpotenz dargestellt unterschieden wird zwischen wissenschaftlicher und technischer Schreibweise. Bei der wissenschaftlichen Schreibweise darf die Dezimalzahl eine Stelle vor dem Komma haben. Die Ziffer vor dem Komma darf dabei nicht sein. Bei der technischen Schreibweise ist der Exponent der Zehnerpotenz immer ein vielfaches von drei. So lässt sich eine Einheit einfach mit einem Präfix versehen. Zehnerpotenzen helfen auch dabei, sehr kleine Zahlen darzustellen. Wie sehr große Zahlen werden auch kleine Zahlen als Produkt aus einer Dezimalzahl und einer Zehnerpotenz dargestellt. Eine Potenz ist eine zusammengefasste Multiplikation aus mehreren gleichen Faktoren. Diesen gemeinsamen Faktor nennt man auch die Basis der Potenz. Die Anzahl der Faktoren bezeichnet man auch als Exponent. 3 4m²4+2 ³+2m² +3 2 4. O - Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis x².x². + = c²²: २ 3 2 ૨ X4: X²=42= 2 41 3r²-7r ·-45 -42 Mr. mi = Basis m. k.. -2 2 = C4+2 = 6 -Division von Potenzen mitgleicher Basis Kehrwert 3 m مام M.M m 2+2 2 -6² +5³ 2 (1 -=|X| 11 4 1 २ C² 1 C3 √3-2 2+3 = r C to S Potenzen mit gleichen Exponenten 0²³·6³²= (a·b ²³ Hat eine Potenz eine 0 als Exponenten, ist ihr Wert immer 1. - Potenz mit gleicher Basis und gleichem Exponenten können miteinander addiert von oder voneinander Subtrahiert werden. Mehrere Potenzen können miteinander multi- pliziert werden, wenn sie die gleiche Basis haben. Potenzen gleicher Basis werden multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert. Das Produkt der Potenzen ist eine Potenz mit dieser Summe als Exponenten. Potenzen mitgleicher Basis können dividiert werden, indem man ihre Exponenten subtrahiert. Der Quotient aus zwei Potenzen ist ebenfalls eine Potenz, welche aus der gemeinsamen Basis und der Differenz der Exponenten besteht. Durch das Ausschreiben der Potenzen in einzelne Faktoren lässt sich nachvollziehen, dass das Ergebnis durch kurzen zustande kommt. -n Eine Potenz der Form x lässt sich auch als ihr Kehrwert mit positiven Exponenten im Nenner darstellen. Zum Beispiel ist x2 das Gleiche wie -2 = - Mittels Multiplikation des Kehrwerts lässt sich so beweisen, dass das Potenzgesetz - xm-n auch auf Potenzen mit negativem Exponenten anwendbar ist. Potenzen mitgleichem Exponenten und unterschied- licher Basis werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und das Ergebnis mit dem 3 a²³²b² = a·a·a·b·b·b=(a+b)³ 2 V ششش a·b·a·b·a·b a·a·a·a b·b·b·1 Potena potenzieren 1.3 a a d Ь Ь (X²)²³ - (X.X)⋅ (X-X) - (x - x) = x 2 · 3 = x 6 4 - ਦ 3 8 gemeinsamen Exponenten potenziert. -Da man die faktoren in einer Multiplikation beliebig vertauschen kann, lässt sich der Term a3³.6³ in ausgeschriebener Form leicht um formen. Ander geänderten Reihenfolge kann man erkennen, dass der Term a-b in der Multiplikation 3-mal vorkommt, weshalb die Umformung zu (a∙b)³ korrekt ist. Ähnlich wie bei der Multiplikation, werden auch Potenzen mit ungleicher Basis und gleichem Expo- nenten dividiert, indem man averst die Division ausfahrt und anschließend den Quotienten potentiert. - Will man eine Potenz potenziert, multipliziert man die Exponenten und übernimmt die Basis in das Ergebnis. - Auch Potenzen mit rationalen Zahlen als Exponenten werden dem Geseta entsprechend potenziert, indem man die Exponenten miteinander multipliziert.

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ДО · 10 ЛО4 = ЛО - ЛО - Ло - ло =10000 105 10 10 10 10 10 = 100000 3 Bruch als Exponent X h m с d h k ΥΣ m M -Einheitsprāfixe Präfix Name Potenz Micro 10 μ 10-3 10.10 1 = 10.10.10 1 10.10.10.10 10.10.10 · 10·10 Centi Dezi Hekto Kilo Mega ло 101 10² 3 10³ 106 -0,01 0,001 0,0001 = 0,0000 = Wert berechnen, kann sie auch mit positivem Exponenten dargestellt werden. Dafür wird der Kehrwert der Basis mit dem Exponenten mit entgegengesetatem Vorzeichen potenziert. entgegengese talem vorz m m - Ist der Exponent einer Potenz ein Bruch n kann die Potenz als n-te Wurzel der Potenz x' geschrieben werden. m und n sind ganze Zahlen. In darf nicht 0 sein. Wenn m-0, dann ist der Potenzwert 1. 0.000001 0001 001 0,1 Ist der Exponent einer Potenz ein Bruch 1, kann die Potenz als n-te Wurzel aus der Basis x geschrieben werden. n ist eine ganze Zahl. Sie darf nicht 0 sein. 1000 1000000 Pozenten mit der Basis 10 und einer ganzen Zahl als Exponent heißen Zehnerpotenzen. Um den Potenzwert einer Zehnerpotenz mit positivem Exponenten zu berechnen, werden hinter eine 1 so viele Nullen geschrieben, wie der Exponent vorgibt. - Bei Zehnerpotenzen mit einer negativen ganzen Zahl im Exponenten, ist der Potenzwert eine Dezimalzahl Die Vorkommastelle ist eine O. Der Betrag des Exponenten gibt an, wie viele Nachkomma- Stellen auf die Ofolgen. Die letzte Nachkomma- Stelle ist immer die 1. Einheitsprafixe sind Buchstaben, die vor eine Einheit geschrieben werden. Sie entsprechen immer einer Zennerpotenz. (1) Anderes Beispiel: caus Zentimeter Caus Zentimeter entspricht einem Hundertstel 1cm = 100m = 10² m Schreibweisen GT (2) Giga Tera 43500000m 43500 km Gesamtlänge des dt. Schienennetzes Wissenschaftlich technisch (1 Anzahl der roten Blutkörperchen pro Liter im Blut 252000000ooooo ~ 521012 = 10⁹ 1012 100000000 4.35.107m 43, 5.106m 4,35 104 km 43,5-10³ km 1200m = 1,2-10 m = = 12·10³ km 12km Potenzgesetze 31 3 3 Dicke eines Kopfhaores: 260μm 260.10 m 20,00006m vier gleiche Faktoren 4← Exponent Basis 3 Einheitsprafixe werden verwendet um sehr große Zahlen oder sehr kleine Zahlen miteinander zu vergleichen. -Mithilfe von Zehnerpotenzen können sehr große Zahlen kürzer und übersichtlicher dargestellt werden. Diese werden dabei als Produkt aus einer Decimalzahl und Zehnerpotenz dargestellt unterschieden wird zwischen wissenschaftlicher und technischer Schreibweise. Bei der wissenschaftlichen Schreibweise darf die Dezimalzahl eine Stelle vor dem Komma haben. Die Ziffer vor dem Komma darf dabei nicht sein. Bei der technischen Schreibweise ist der Exponent der Zehnerpotenz immer ein vielfaches von drei. So lässt sich eine Einheit einfach mit einem Präfix versehen. Zehnerpotenzen helfen auch dabei, sehr kleine Zahlen darzustellen. Wie sehr große Zahlen werden auch kleine Zahlen als Produkt aus einer Dezimalzahl und einer Zehnerpotenz dargestellt. Eine Potenz ist eine zusammengefasste Multiplikation aus mehreren gleichen Faktoren. Diesen gemeinsamen Faktor nennt man auch die Basis der Potenz. Die Anzahl der Faktoren bezeichnet man auch als Exponent. 3 4m²4+2 ³+2m² +3 2 4. O - Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis x².x². + = c²²: २ 3 2 ૨ X4: X²=42= 2 41 3r²-7r ·-45 -42 Mr. mi = Basis m. k.. -2 2 = C4+2 = 6 -Division von Potenzen mitgleicher Basis Kehrwert 3 m مام M.M m 2+2 2 -6² +5³ 2 (1 -=|X| 11 4 1 २ C² 1 C3 √3-2 2+3 = r C to S Potenzen mit gleichen Exponenten 0²³·6³²= (a·b ²³ Hat eine Potenz eine 0 als Exponenten, ist ihr Wert immer 1. - Potenz mit gleicher Basis und gleichem Exponenten können miteinander addiert von oder voneinander Subtrahiert werden. Mehrere Potenzen können miteinander multi- pliziert werden, wenn sie die gleiche Basis haben. Potenzen gleicher Basis werden multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert. Das Produkt der Potenzen ist eine Potenz mit dieser Summe als Exponenten. Potenzen mitgleicher Basis können dividiert werden, indem man ihre Exponenten subtrahiert. Der Quotient aus zwei Potenzen ist ebenfalls eine Potenz, welche aus der gemeinsamen Basis und der Differenz der Exponenten besteht. Durch das Ausschreiben der Potenzen in einzelne Faktoren lässt sich nachvollziehen, dass das Ergebnis durch kurzen zustande kommt. -n Eine Potenz der Form x lässt sich auch als ihr Kehrwert mit positiven Exponenten im Nenner darstellen. Zum Beispiel ist x2 das Gleiche wie -2 = - Mittels Multiplikation des Kehrwerts lässt sich so beweisen, dass das Potenzgesetz - xm-n auch auf Potenzen mit negativem Exponenten anwendbar ist. Potenzen mitgleichem Exponenten und unterschied- licher Basis werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und das Ergebnis mit dem 3 a²³²b² = a·a·a·b·b·b=(a+b)³ 2 V ششش a·b·a·b·a·b a·a·a·a b·b·b·1 Potena potenzieren 1.3 a a d Ь Ь (X²)²³ - (X.X)⋅ (X-X) - (x - x) = x 2 · 3 = x 6 4 - ਦ 3 8 gemeinsamen Exponenten potenziert. -Da man die faktoren in einer Multiplikation beliebig vertauschen kann, lässt sich der Term a3³.6³ in ausgeschriebener Form leicht um formen. Ander geänderten Reihenfolge kann man erkennen, dass der Term a-b in der Multiplikation 3-mal vorkommt, weshalb die Umformung zu (a∙b)³ korrekt ist. Ähnlich wie bei der Multiplikation, werden auch Potenzen mit ungleicher Basis und gleichem Expo- nenten dividiert, indem man averst die Division ausfahrt und anschließend den Quotienten potentiert. - Will man eine Potenz potenziert, multipliziert man die Exponenten und übernimmt die Basis in das Ergebnis. - Auch Potenzen mit rationalen Zahlen als Exponenten werden dem Geseta entsprechend potenziert, indem man die Exponenten miteinander multipliziert.