Potenzen und Wurzeln: Übungen, Negative Basis und Zehnerpotenzen

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Liineeee

12.12.2020

Mathe

Potenzen und Wurzeln

Fächer

Mathe

Algebra

Potenzen

Potenzen multiplizieren

Potenzen und Wurzeln: Übungen, Negative Basis und Zehnerpotenzen

Potenzen und Potenzregeln: Ein umfassender Leitfaden für Schüler

Dieser Leitfaden erklärt die Grundlagen von Potenzen, einschließlich negativer Basis Potenzen, Potenzen mit Brüchen und Zehnerpotenzen. Er behandelt auch wichtige Potenzregeln und Anwendungen in der Wissenschaft.

Potenzen sind eine Kurzschreibweise für wiederholte Multiplikation
Negative Basen und Exponenten erfordern besondere Beachtung
Zehnerpotenzen und Einheitspräfixe sind nützlich für sehr große und kleine Zahlen
Potenzgesetze vereinfachen Berechnungen mit Potenzen

12.12.2020

14629

•Potenzen kennlernen
=
Anderes Beispiel: Papier
vier gleiche Faktoren
4 Exponent oder Hochzahl
Basis oder Grundzahl
Einmal falten: 2 Schicht

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Potenzen mit Brüchen und negativen Exponenten

Dieser Abschnitt behandelt komplexere Potenzformen, einschließlich Potenzen mit Bruch als Exponent und negative Potenzen.

Bei Potenzen mit Brüchen als Basis werden Zähler und Nenner separat potenziert:

Beispiel: $2/3$ ² = 2²/3² = 4/9

Für Potenzen mit negativer Basis und negativen Exponenten gilt eine besondere Regel:

Definition: Um eine Potenz mit negativem Exponenten zu berechnen, wird der Kehrwert der Basis mit dem Betrag des Exponenten potenziert.

Beispiel: 2⁻³ = 1/ $2³$ = 1/8

Bei Bruch als Exponent kann die Potenz als Wurzel dargestellt werden:

Formel: x^ $m/n$ = ⁿ√ $x^m$

Highlight: Diese Umformung ist besonders nützlich bei der Vereinfachung komplexer Potenzausdrücke.

Die Potenzregeln negative Potenz sind wichtige Werkzeuge für die Vereinfachung von Ausdrücken und das Lösen von Gleichungen mit Potenzen.

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Zehnerpotenzen und Einheitspräfixe

Zehnerpotenzen spielen eine wichtige Rolle in Wissenschaft und Technik, besonders bei der Darstellung sehr großer oder sehr kleiner Zahlen.

Definition: Zehnerpotenzen sind Potenzen mit der Basis 10 und einer ganzen Zahl als Exponent.

Beispiel:

10³ = 1000

10⁻³ = 0,001

Die Zehnerpotenzen Tabelle zeigt häufig verwendete Präfixe:

Präfix	Name	Potenz	Wert
μ	Micro	10⁻⁶	0,000001
m	Milli	10⁻³	0,001
k	Kilo	10³	1000
M	Mega	10⁶	1000000

Highlight: Einheitspräfixe entsprechen immer einer Zehnerpotenz und helfen, sehr große oder kleine Zahlen übersichtlich darzustellen.

Der Zehnerpotenz Umrechner ist ein nützliches Werkzeug für die Umwandlung zwischen verschiedenen Größenordnungen.

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Schreibweisen und Anwendungen von Zehnerpotenzen

Zehnerpotenzen werden in der wissenschaftlichen und technischen Notation verwendet, um große und kleine Zahlen effizient darzustellen.

Definition:

Wissenschaftliche Schreibweise: Eine Dezimalzahl zwischen 1 und 10 multipliziert mit einer Zehnerpotenz.

Technische Schreibweise: Der Exponent der Zehnerpotenz ist immer ein Vielfaches von drei.

Beispiel:

Wissenschaftlich: 4,35 · 10⁷ m

Technisch: 43,5 · 10⁶ m

Anwendungsbeispiele:

Anzahl der roten Blutkörperchen pro Liter Blut: ~5,12 · 10¹²
Gesamtlänge des deutschen Schienennetzes: 43500 km = 4,35 · 10⁷ m
Dicke eines Kopfhaares: 60 μm ≈ 60 · 10⁻⁶ m

Highlight: Zehnerpotenzen ermöglichen den einfachen Vergleich und die Berechnung mit sehr großen und sehr kleinen Zahlen in verschiedenen wissenschaftlichen Disziplinen.

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Potenzgesetze und Rechenregeln

Die Potenzgesetze sind grundlegende Regeln für das Rechnen mit Potenzen und vereinfachen komplexe Berechnungen erheblich.

Definition: Potenzgesetze sind Regeln, die das Rechnen mit Potenzen vereinfachen und auf den grundlegenden Eigenschaften von Potenzen basieren.

Wichtige Potenzgesetze:

Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis: a^m · a^n = a^ $m+n$
Division von Potenzen mit gleicher Basis: a^m ÷ a^n = a^ $m-n$
Potenz einer Potenz: $a^m$ ^n = a^ $m·n$
Potenz mit dem Exponenten 0: a⁰ = 1 $für a ≠ 0$
Negative Exponenten: a⁻ⁿ = 1 / a^n

Highlight: Diese Potenzgesetze sind essentiell für die Vereinfachung komplexer Ausdrücke und das Lösen von Gleichungen mit Potenzen.

Beispiel: 4^ $m²+4$ · 4^ $2m³+2$ = 4^ $m²+4+2m³+2$ = 4^ $2m³+m²+6$

Die Anwendung dieser Potenzregeln und Potenzgesetze ist entscheidend für fortgeschrittene mathematische Berechnungen und wissenschaftliche Analysen.

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12. Dez. 2020

•

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Liineeee

@liineeee1912

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Potenzen mit Brüchen und negativen Exponenten

Dieser Abschnitt behandelt komplexere Potenzformen, einschließlich Potenzen mit Bruch als Exponent und negative Potenzen.

Bei Potenzen mit Brüchen als Basis werden Zähler und Nenner separat potenziert:

Beispiel: $2/3$ ² = 2²/3² = 4/9

Für Potenzen mit negativer Basis und negativen Exponenten gilt eine besondere Regel:

Definition: Um eine Potenz mit negativem Exponenten zu berechnen, wird der Kehrwert der Basis mit dem Betrag des Exponenten potenziert.

Beispiel: 2⁻³ = 1/ $2³$ = 1/8

Bei Bruch als Exponent kann die Potenz als Wurzel dargestellt werden:

Formel: x^ $m/n$ = ⁿ√ $x^m$

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Die Potenzregeln negative Potenz sind wichtige Werkzeuge für die Vereinfachung von Ausdrücken und das Lösen von Gleichungen mit Potenzen.

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Zehnerpotenzen und Einheitspräfixe

Zehnerpotenzen spielen eine wichtige Rolle in Wissenschaft und Technik, besonders bei der Darstellung sehr großer oder sehr kleiner Zahlen.

Definition: Zehnerpotenzen sind Potenzen mit der Basis 10 und einer ganzen Zahl als Exponent.

Beispiel:

10³ = 1000

10⁻³ = 0,001

Die Zehnerpotenzen Tabelle zeigt häufig verwendete Präfixe:

Präfix	Name	Potenz	Wert
μ	Micro	10⁻⁶	0,000001
m	Milli	10⁻³	0,001
k	Kilo	10³	1000
M	Mega	10⁶	1000000

Highlight: Einheitspräfixe entsprechen immer einer Zehnerpotenz und helfen, sehr große oder kleine Zahlen übersichtlich darzustellen.

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Schreibweisen und Anwendungen von Zehnerpotenzen

Zehnerpotenzen werden in der wissenschaftlichen und technischen Notation verwendet, um große und kleine Zahlen effizient darzustellen.

Definition:

Wissenschaftliche Schreibweise: Eine Dezimalzahl zwischen 1 und 10 multipliziert mit einer Zehnerpotenz.

Technische Schreibweise: Der Exponent der Zehnerpotenz ist immer ein Vielfaches von drei.

Beispiel:

Wissenschaftlich: 4,35 · 10⁷ m

Technisch: 43,5 · 10⁶ m

Anwendungsbeispiele:

Anzahl der roten Blutkörperchen pro Liter Blut: ~5,12 · 10¹²
Gesamtlänge des deutschen Schienennetzes: 43500 km = 4,35 · 10⁷ m
Dicke eines Kopfhaares: 60 μm ≈ 60 · 10⁻⁶ m

Highlight: Zehnerpotenzen ermöglichen den einfachen Vergleich und die Berechnung mit sehr großen und sehr kleinen Zahlen in verschiedenen wissenschaftlichen Disziplinen.

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Potenzgesetze und Rechenregeln

Die Potenzgesetze sind grundlegende Regeln für das Rechnen mit Potenzen und vereinfachen komplexe Berechnungen erheblich.

Definition: Potenzgesetze sind Regeln, die das Rechnen mit Potenzen vereinfachen und auf den grundlegenden Eigenschaften von Potenzen basieren.

Wichtige Potenzgesetze:

Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis: a^m · a^n = a^ $m+n$
Division von Potenzen mit gleicher Basis: a^m ÷ a^n = a^ $m-n$
Potenz einer Potenz: $a^m$ ^n = a^ $m·n$
Potenz mit dem Exponenten 0: a⁰ = 1 $für a ≠ 0$
Negative Exponenten: a⁻ⁿ = 1 / a^n

Highlight: Diese Potenzgesetze sind essentiell für die Vereinfachung komplexer Ausdrücke und das Lösen von Gleichungen mit Potenzen.

Beispiel: 4^ $m²+4$ · 4^ $2m³+2$ = 4^ $m²+4+2m³+2$ = 4^ $2m³+m²+6$

Die Anwendung dieser Potenzregeln und Potenzgesetze ist entscheidend für fortgeschrittene mathematische Berechnungen und wissenschaftliche Analysen.

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Einführung in Potenzen

Potenzen sind eine mathematische Schreibweise, um wiederholte Multiplikationen kompakt darzustellen. Sie bestehen aus einer Basis und einem Exponenten.

Definition: Eine Potenz besteht aus einer Basis $Grundzahl$ und einem Exponenten $Hochzahl$ . Sie stellt eine verkürzte Schreibweise für die mehrfache Multiplikation der Basis mit sich selbst dar.

Ein anschauliches Beispiel für Potenzen ist das Falten von Papier:

Beispiel:

Einmal falten: 2 Schichten $2¹$

Zweimal falten: 4 Schichten $2²$

Dreimal falten: 8 Schichten $2³$

Viermal falten: 16 Schichten $2⁴$

Dies lässt sich mathematisch als 2 · 2 · 2 · 2 = 2⁴ = 16 ausdrücken.

Highlight: Wenn man das Papier gar nicht faltet, entspricht dies mathematisch 2⁰ = 1, da jede Zahl $außer 0$ mit dem Exponenten 0 den Wert 1 ergibt.

Der Leitfaden behandelt auch Potenzen mit negativer Basis und deren Besonderheiten:

Vocabulary: Negative Basis Potenzen sind Potenzen, bei denen die Grundzahl eine negative Zahl ist.

Bei Potenzen negative Zahlen mit Klammer gilt:

$-3$ ² = $-3$ · $-3$ = 9
$-3$ ³ = $-3$ · $-3$ · $-3$ = -27

Highlight: Bei geraden Exponenten ist das Ergebnis positiv, bei ungeraden negativ.

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4.8/5

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Stefan S

iOS user

Samantha Klich

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Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Lena M

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Timo S

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Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Julia S

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Marcus B

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Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

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