Produktregel: Eine Grundlage der Differentialrechnung

Die Produktregel ist ein fundamentales Konzept in der Differentialrechnung, das die Ableitung des Produkts zweier differenzierbarer Funktionen ermöglicht. Sie wird angewendet, wenn eine Funktion f(x) als Produkt zweier Faktoren u(x) und v(x) dargestellt wird: f(x) = u(x) · v(x).

Definition: Die Produktregel besagt, dass für eine Funktion f(x) = u(x) · v(x), wobei u und v differenzierbar sind, die Ableitung f'(x) = u'(x) · v(x) + u(x) · v'(x) ist.

Diese Regel lässt sich merken als: "Erster Faktor abgeleitet mal zweiter Faktor unverändert plus erster Faktor unverändert mal zweiter Faktor abgeleitet."

Example: Für f(x) = x² · x³ = x⁵ ergibt die Anwendung der Produktregel: f'(x) = 2x · x³ + x² · 3x² = 2x⁴ + 3x⁴ = 5x⁴, was der direkten Ableitung von x⁵ entspricht.

Die Produktregel kann auch auf Funktionen mit drei Faktoren erweitert werden:

Highlight: Bei drei Faktoren lautet die Produktregel: (u·v·w)' = u'·v·w + u·v'·w + u·v·w'

Example: Für f(x) = (2x²) · (3x⁴) ergibt die Anwendung der Produktregel: f'(x) = 4x · 3x⁴ + 2x² · 12x³ = 12x⁵ + 24x⁵ = 36x⁵

Die Produktregel kann auch in Kombination mit anderen Ableitungsregeln wie der Kettenregel oder der Quotientenregel angewendet werden, um komplexere Funktionen zu differenzieren.

Example: Für f(x) = (x³ + x²) · (x² + x) ergibt die Anwendung der Produktregel und anschließende Vereinfachung: f'(x) = 5x⁴ + 8x³ + 3x²

Die Beherrschung der Produktregel ist essentiell für fortgeschrittene mathematische Analysen und findet Anwendung in verschiedenen Bereichen wie Physik, Ingenieurwesen und Wirtschaftswissenschaften.