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Quadratische Funktionen

8.5.2021

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Was ist eigentlich eine Funstion?
Eine Funktion ist eine
füs y zuordnet.
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Funktionen Was ist eigentlich eine Funstion? Eine Funktion ist eine füs y zuordnet. 14 13 12 le A lo + ง 4 Uhrzeit 1500 Have nicht eindeutig! Höhe-Zeit Zuordnung x 1700 1900 2100 iu m v eindeutig! 11111 Zeit-Hohe HP Höhe i → Uhrzeit die jedeur! 3. Mit einem Стиарием 4. Mit einer Weate tabelle eine Weat für x genau Die Zuordnung 1st eindeutig. Formen: Die Zuordnung Höne ist nicht eindeutig. x → 1/2x²-2 einen Welche Möglichkeiten gibt es, Чистовишу zu beschreiben? 1. Mit Worten (Ordne jeder Zahl die Hälfk ikses Quadrates zu und vermindere das Ergebnis им г) 2. Mit einer Funktionsvorschrift: 132²-451-2-150 5. Mit einer Funktionsgleichung f(x) = 1/² x ² - 2 odev y = 1/x²-2 Zeit - Allgemeine Form - Scheitelpunktform - Linearfaktorzerlegung (Nullpunktformel) z.B f(x) = a (x-2)(x-4) R Wert Höhe Zeit Punkte einer Funktion: Eine Funktion besteht aus unendlich vielen Punsten Ein Punkt P(xp/ yp) liegt genau dann auf dem Graphen von f(x) b= f(a) ist. , wenn Bsp: f(x - 1x²-2 ; P(4(7,5) liegen P&Q auf dem Graphen von f(x) = 7₁5 f(3) = 1 · (-3)²- 2 = 2,5 = ! Wir rechnen: f(4)= 1.4²-2= 6 → f(4) = 6 = 7₁5 s stimmt nicht! P liegt nicht auf f(x) Auf x auflösen: (x13) f(x) = y = 3 = ²/³√x ² 3 - x² / 31/1/2 = 4 4 = x² ¡ Q (-3125) 2 = x f (x)? 3 3 = ²³√x² 1. § + Achtung - Umkehrung! Ir 1 2.5✓ Q liegt auf f(x) * Wenn direkte Rechnung nicht möglich, dann y-Wert durch quadrierten x-Wert! Bsp.: P(141/360) f(360)-a 4²- Die quadratische Funktion Eine Funktion heisst rein quadratisch, wenn sie die Form: fro= ax² hat- Sie hat den Scheitelpunst im Ursprung und ist um den Fastor a 1st aso, so ist die...

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Alternativer Bildtext:

Parabel nach unten geöffnet. 1st a>0, so ist sie nach oben geöffnet. gestreckt. Gilt: -1 < a < 1, so ist die Parabel breiter als die Normalparabel, für alle anderen a ist sie schmaler. Verschiebungen der Parabel: 1. Verschiebung in 9- Richtung: f(x) = ax² + v 1st v positiv (>0), so ist die Parabel nach oben verschoben. 1st u negativ (v<0), so ist sie nach unten verschoben. 2. Verschiebung in X-Richtung: a(x+4)² lot u positiv (uso), so ist die Parabel nach links verschoben. 1st u negativ (u<0), so ist sie nach rechts verschoben. Setzt man nun alles zusammen, erhält man die Scheitelpunkstform: fα-a (x+u)² + v + Scheitelpunkt 5(-u/v) = Von der Scheitelpuulstform zur allgemeinen Form f(x) = a(x+u)² + v f(x) = a (x² + 2xu + ²) + V f(x) = 9x² + 2xua + au² + √ quadratisches Glied 1. Binomische Formel auflösen 2. Klammer auflösen lineares Glied Die Klammer evgibt 0! 3. sebe: b = 2ua C = 94² + V Wir schreiben: f(x) = ax² + bx + c Bemertsung: aus der allgemeinen Form lässt sich nur der Streckfaktor a ablesen. Den Scheitelpunkst finden wir nicht mehr. Die allgemeine Form heisst also: f(x) = ax² + bx + C Von der allgemeinen Form zur Scheitelpunkt form Quadratische Ergänzung f(x) = 2x² + 9x₁ + 15 fcx) = 2- (x² + ¾/2x) + 15 2. (x² + 4,5 x) + 15 - f(x) fex) = 2. (x² + 2 4₁² x) + 15 2 f(x) = 2 · (x² + 2. ²45 × = (45) ² - (45) ² ) + 15 + Binomische Formel f(x) = 2- [(x + 4/5)² = (45)² ] + 15 = 2. (x + 415)² - 2. (415) ² + 15 for f(x) = 2. (x + 4,5)² + 4,875 Scheitelpunkt form Anleitung 1.) das a austlammern 2.) Zahl vor dem x halbieren => So finden wir b 3.) jetzt eugänzen wir quadratisch "6" hinzufügen und wieder abziehen 4.) Binomische Formel aufschreiben f(x) = ax² + bx + c # =a(x+4)²+v -2. 4,5² 4,15²2 - 4,895 5.) v ausrechnen... du zuerst Term aus der Klammer cholen" V und dann mit C verrechnen Serapie. Nullstellen fin O 3 2 - 2x²-3 6 2x²-3143 2x2 1:2 -$2 N₁ (10) x₂= -√ №₂ (10) 20- Gegeben ist ein Funktion fixs x²-9 we finden wir die Wallstellen? Wir wissen: diese Funktion besitzt 2 thell stellen, che so nach unten verschoben jet und nach oben geiffunt. Wo der sted diest Lusteken? Sie sind genau dort, wo der g-West (frol) - ist. D.&. (0₂) -o- x²-g Wir erhalten eine quadratische greichung: *²-3-0 → chiese lassen wir aufirsen! x² - 9-0 1+3 -9 Loewingsinerge Die Funation bat die Mällstolen bei (-310) and (310) x-18 Quadratische Gleichungen loser: 1. Möglichkeit: ax² 2. Möglichkeit: O → US (010) ax² + c = 01-c ax? x N Bewerbung: 8. Möglichkeit: = = durch das Wurzel zeichen -c 1: a -& 15 geht eine Lösung verloren! fa ⇒ L = { Fa : - FE¹} → NS₁ (√/0) NS₂ (-√√(0) : ist - < 0 -> a² +² + 2abx + b² (ax + b)² = 0 es existiert keine Nullstelle ax+ b = 01-b lia 4 + genau down west. (Krist) ax = -b X = = 0 I binomische Formel - NS (-10) 4. Möglichblit! (x-a) (x-b) O. (x-6) oder x-b (x-a). Ou NS₁ (a/0) NS₂ (blo) 55. Möglichseit x² + px + 9 = 0 Б. = 0 x = 9 X ₁ = -1/2 = √ (²7/1²2-9 P + x₂ = - 1²/2² (22²-9 NS₁ (- 1 + √(²2²-₁ (0) NS₂ (-1/2) √(2)²-9/0) -6± 29 7. Möglichkeit: ax² + bx + c Die allgemeine X112 x=b 6. Möglichkeit: ax² + bx = G X. (ax +b) = 0 2a US₁1 = (-6+ √6²-kac 68-49c x²-ax-bx + ab = x² - (a+b)x + ab NS₁ (0/0) NS₂ (-10) sogenannte Formel (Auflösungsformel) = 0 10) NS₂ (-b- oder ax+b X = b.d La Sab des Vieta Form lösen wir mit der Mitternachtsformel -6-√b²-4ac / 0) 2a 2 Lösungen! falls (1) ²-90 falls (²9-0 existiert genau eine Lösung Sonst bine 0 ax = X -6