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Sätze am Dreieck
28.12.2020
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DREIECKSUNGLEICHUNG Unter der Dreiecksungleichung wird die Aussage verstanden, nach der in einem Dreieck ABC mit den Seiten a, b und c die Summe von zwei Seitenlängen stets größer ist als die dritte Seitenlänge, z. B. a + b >c SEITENLANGE UND WINKEL Der längeren Seite in einem Dreieck liegt der größere Innenwinkel gegenüber und umgekehrt. INNENWINKEL (SUMMEN)SATZ Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180° a+ß+y=180° AUSSENWINKELSATZ Jeder Außenwinkel ist genau so groß wie die Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel a =ß+y B₁=a+y y=a+ß SEITENHALBIERENDE Die drei Seitenhalbierenden So So und So eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, dem Schwerpunkt S des Dreiecks. Durch S werden die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2: I geteilt. WINKELHALBIERENDE Die drei Winkelhalbierenden wa, wp und wy eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt W, welcher der Mittelpunkt des Inkreises ki des Dreiecks ist. MITTELSENKRECHTE Die drei Mittelsenkrechten mo, m, und mc eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt M, welcher der Mittelpunkt des Umkreises ku des Dreiecks ist. HOHEN Die drei Höhen ho, ho und he eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt H. Das Produkt der Längen der durch H entstehenden Höhenabschnitte ist dabei für alle Höhen gleich. SÄTZE AM DREIECK SATZ DES THALES Ein Dreieck aus den beiden Endpunkten des Durchmessers eines Halbkreises (Thaleskreis) und einem weiteren Punkt dieses Halbkreises, ergibt immer ein rechtwinkliges Dreieck. Sind a und b die Längen der am rechten Winkel anliegenden Seiten, der Katheten, und c. die Länge...
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der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite, der Hypotenuse, dann lautet der Satz als Gleichung ausgedrückt: a² + b² = c² C SATZ DES PYTHAGORAS In allen ebenen rechtwinkligen Dreiecken ist die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates. Hohensatz: Durch die Höhe h wird die Hypotenuse in die Abschnitte p und q geteilt. Der Höhensatz besagt, dass das Quadrat der Höhe h gleich dem p-q Produkt der Abschnitte der Hypotenuse p und qist. → h2p. q B 2 9² h² Kathetensatz: Der Kathetensatz besagt, dass jeweils das Quadrat einer Kathete gleich dem Produkt des anliegenden Achsenabschnitts der Hypotenuse und der Hypotenuse selbst ist. a² = p.c b² = q c KONGRUENZ UND ÄHNLICHKEIT Zwei Figuren heißen kongruent, wenn sie deckungsgleich sind, dh wenn sie in entsprechenden Seiten gleich lang und entsprechende Winkel gleich groß sind. Seite Seite - Seite (SSS) Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in den Längen aller drei Seiten übereinstimmen. Seite Winkel- Seite (SWS) Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in den Längen zweier Seiten und der Größe des eingeschlossenen Winkels übereinstimmen. Winkel - Seite - Winkel (WSW) Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in der Länge einer Seite und den Größen der anliegenden Winkel übereinstimmen. Seite Seite Winkel (SsW) Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in den Längen zweier Seiten und der Größe des Winkels übereinstimmen, welcher der längeren der beiden Seiten gegenüberliegt. Der WSW-Satz wird manchmal auch als SWW- oder WWS-Satz bezeichnet, da man bei zwei bekannten Winkel, aufgrund der Innenwinkelsumme, den Dritten ausrechnen kann. Somit findet man bei zwei gegebenen Winkel und einer Seite immer die beiden Winkel, die an dieser Seite anliegen. Zwei Dreiecke ABC und A'B'C' sind genau dann ähnlich, wenn sie übereinstimmen. ... in dem Längenverhältnis aller drei Seiten (SSS). ... in dem Längenverhältnis zweier Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (SWS). ... in dem Längenverhältnis zweier Seiten und dem der längeren Seite gegenüber liegenden Winkel (SsW). in zwei Innenwinkeln (WWW).