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Mathe
29. Nov. 2025
1.670
3 Seiten
vanessa @vanixkv
Vektor-Operationen sind das Herzstück der analytischen Geometrie und begegnen dir überall - von der Physik bis zur Computergrafik.... Mehr anzeigen
Ein Spat ist ein schiefer Kasten, den drei Vektoren aufspannen - stell dir einen verformten Würfel vor. Mit dem Spatprodukt berechnest du sein Volumen super einfach.
Die Formel ist V = | · \vec{c})|. Du nimmst also zwei Vektoren, bildest das Kreuzprodukt, multiplizierst dann skalar mit dem dritten Vektor und nimmst den Betrag. Das war's!
Richtig praktisch wird's bei Pyramiden Eine dreiseitige Pyramide hat 1/6 des Spat-Volumens, eine vierseitige 1/3 und eine sechseitige 1/4. Diese Verhältnisse musst du dir merken - sie kommen garantiert in der Klausur vor.
💡 Merktipp Das Spatprodukt gibt dir immer ein Volumen - also eine positive Zahl mit dem Betrag!
Das Skalarprodukt ist dein bester Freund, wenn du Winkel zwischen Vektoren berechnen willst. Du multiplizierst einfach die entsprechenden Komponenten und addierst \vec{a} · \vec{b} = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃.
Die geometrische Bedeutung ist genial \vec{a} · \vec{b} = |\vec{a}| · |\vec{b}| · cos α. Daraus folgt direkt die Winkelformel cos α = /.
Besonders wichtig Wenn das Skalarprodukt null ist, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander! Das brauchst du ständig zum Prüfen von Orthogonalität.
🎯 Praxis-Tipp Skalarprodukt = 0 bedeutet immer Die Vektoren sind orthogonal (senkrecht zueinander)!
Das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt) von zwei Vektoren ergibt einen neuen Vektor, der senkrecht zu beiden ursprünglichen steht. Die Formel sieht kompliziert aus, ist aber systematisch aufgebaut.
Die 3-Finger-Regel der rechten Hand hilft dir bei der Richtung Zeigefinger = erster Vektor, Mittelfinger = zweiter Vektor, Daumen = Ergebnisvektor. So bildest du immer ein Rechtssystem.
Der Betrag |\vec{a} × \vec{b}| gibt dir den Flächeninhalt des Parallelogramms an, das die beiden Vektoren aufspannen. Das ist extrem praktisch für Flächenberechnungen in der Geometrie.
⚡ Wichtig Das Vektorprodukt ist nicht kommutativ - \vec{a} × \vec{b} = -! Die Reihenfolge entscheidet über die Richtung.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
74
Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Diese Zusammenfassung behandelt die wesentlichen Konzepte von Matrizen und stochastischen Prozessen, einschließlich: \n- Grundbegriffe und Rechenoperationen mit Matrizen \n- Matrizengleichungen und Inverse Matrizen \n- Zweistufige Produktionsprozesse und Materialbedarf \n- Kostenfunktionen und Produktionskosten \n- Zyklische und stochastische Prozesse \nIdeal für die Abiturvorbereitung.
MatheEigenschaften gannzrationaler Funktionen, Analytische Geometrie, Stochastik
MatheErfahren Sie alles über das Skalarprodukt, auch bekannt als inneres Produkt, und seine Anwendung zur Berechnung von Winkeln zwischen Vektoren. Diese Zusammenfassung behandelt die Definition, Formeln, orthogonale Vektoren und die Interpretation des Skalarprodukts in Bezug auf Winkelarten. Ideal für Studierende der Mathematik und Physik.
MatheEntdecken Sie die wichtigsten Formeln und Konzepte der Vektoren und Geometrie. Diese Zusammenfassung behandelt Vektorprodukte, Abstände zwischen Ebenen, die Position von Linien und mehr. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen auffrischen möchten.
MatheEntdecke die Grundlagen des Vektorprodukts und seine Anwendung zur Berechnung von Volumen und Flächeninhalten. Diese Zusammenfassung behandelt das Vektorprodukt, die Bestimmung des Normalvektors und bietet ein Beispiel zur Volumenberechnung einer dreieckigen Pyramide. Ideal für Studierende der Mathematik und Physik.
MatheErfahren Sie alles über Vektoren: Definition, mathematische Darstellung, spezielle Vektoren, Vektoroperationen (Addition, Subtraktion, Skalarprodukt) und deren Anwendungen in der Geometrie. Ideal für Studierende der multivariaten Analysis und Vektorgeometrie.
MatheApp Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Anna
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Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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vanessa
@vanixkv
Vektor-Operationen sind das Herzstück der analytischen Geometrie und begegnen dir überall - von der Physik bis zur Computergrafik. Du lernst hier die drei wichtigsten Rechenarten mit Vektoren kennen: das Spatprodukt für Volumenberechnungen, das Skalarprodukt für Winkel und das Vektorprodukt für... Mehr anzeigen
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Ein Spat ist ein schiefer Kasten, den drei Vektoren aufspannen - stell dir einen verformten Würfel vor. Mit dem Spatprodukt berechnest du sein Volumen super einfach.
Die Formel ist V = | · \vec{c})|. Du nimmst also zwei Vektoren, bildest das Kreuzprodukt, multiplizierst dann skalar mit dem dritten Vektor und nimmst den Betrag. Das war's!
Richtig praktisch wird's bei Pyramiden: Eine dreiseitige Pyramide hat 1/6 des Spat-Volumens, eine vierseitige 1/3 und eine sechseitige 1/4. Diese Verhältnisse musst du dir merken - sie kommen garantiert in der Klausur vor.
💡 Merktipp: Das Spatprodukt gibt dir immer ein Volumen - also eine positive Zahl mit dem Betrag!
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Das Skalarprodukt ist dein bester Freund, wenn du Winkel zwischen Vektoren berechnen willst. Du multiplizierst einfach die entsprechenden Komponenten und addierst: \vec{a} · \vec{b} = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃.
Die geometrische Bedeutung ist genial: \vec{a} · \vec{b} = |\vec{a}| · |\vec{b}| · cos α. Daraus folgt direkt die Winkelformel: cos α = /.
Besonders wichtig: Wenn das Skalarprodukt null ist, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander! Das brauchst du ständig zum Prüfen von Orthogonalität.
🎯 Praxis-Tipp: Skalarprodukt = 0 bedeutet immer: Die Vektoren sind orthogonal (senkrecht zueinander)!
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Das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt) von zwei Vektoren ergibt einen neuen Vektor, der senkrecht zu beiden ursprünglichen steht. Die Formel sieht kompliziert aus, ist aber systematisch aufgebaut.
Die 3-Finger-Regel der rechten Hand hilft dir bei der Richtung: Zeigefinger = erster Vektor, Mittelfinger = zweiter Vektor, Daumen = Ergebnisvektor. So bildest du immer ein Rechtssystem.
Der Betrag |\vec{a} × \vec{b}| gibt dir den Flächeninhalt des Parallelogramms an, das die beiden Vektoren aufspannen. Das ist extrem praktisch für Flächenberechnungen in der Geometrie.
⚡ Wichtig: Das Vektorprodukt ist nicht kommutativ - \vec{a} × \vec{b} = -! Die Reihenfolge entscheidet über die Richtung.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
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Diese Zusammenfassung behandelt die wesentlichen Konzepte von Matrizen und stochastischen Prozessen, einschließlich: \n- Grundbegriffe und Rechenoperationen mit Matrizen \n- Matrizengleichungen und Inverse Matrizen \n- Zweistufige Produktionsprozesse und Materialbedarf \n- Kostenfunktionen und Produktionskosten \n- Zyklische und stochastische Prozesse \nIdeal für die Abiturvorbereitung.
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MatheErfahren Sie alles über das Skalarprodukt, auch bekannt als inneres Produkt, und seine Anwendung zur Berechnung von Winkeln zwischen Vektoren. Diese Zusammenfassung behandelt die Definition, Formeln, orthogonale Vektoren und die Interpretation des Skalarprodukts in Bezug auf Winkelarten. Ideal für Studierende der Mathematik und Physik.
MatheEntdecken Sie die wichtigsten Formeln und Konzepte der Vektoren und Geometrie. Diese Zusammenfassung behandelt Vektorprodukte, Abstände zwischen Ebenen, die Position von Linien und mehr. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen auffrischen möchten.
MatheEntdecke die Grundlagen des Vektorprodukts und seine Anwendung zur Berechnung von Volumen und Flächeninhalten. Diese Zusammenfassung behandelt das Vektorprodukt, die Bestimmung des Normalvektors und bietet ein Beispiel zur Volumenberechnung einer dreieckigen Pyramide. Ideal für Studierende der Mathematik und Physik.
MatheErfahren Sie alles über Vektoren: Definition, mathematische Darstellung, spezielle Vektoren, Vektoroperationen (Addition, Subtraktion, Skalarprodukt) und deren Anwendungen in der Geometrie. Ideal für Studierende der multivariaten Analysis und Vektorgeometrie.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
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Julia S
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