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Skript Wendepunkte & Krümmung
13.10.2020
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Inhaltsverzeichnis 1 Analysis 1.1 Wendepunkte und Krümmung Lösungen 1 1 2 1 Analysis 1.1 Wendepunkte und Krümmung Merke 1. f"(x) bestimmen 2. Nullstellen der 2. Ableitung (= mögliche Wendestellen) 3. y-Werte der Wendepunkte 4. Krümmungstabelle 5. Wendepunkte angeben 6. Krümmungsintervalle angeben Beispiel: f(x)= x³ 3x² +8 f'(x) = 3x² - 6x f"(x) = 6x - 6 6x - 6=0 | +6 6x = 6:6 X f"(x) Gf x = 1| +6 y = f(1) = 6 x = 1 1<x<∞ 0 + rechtsgekrümmt WEP(1|6) linksgekrümmt -∞ < x < 1 Der Graph der Funktion f ist im Bereich ]-∞0; 1[ rechtsgekrümmt und im Bereich ]1; ∞[ linksgekrümmt. Aufgabe 1: Bestimme für folgende Funktionen Art und Lage der Wendepunkte und gib das Krümmungsverhalten an. a) f(x) = (2x - 4). ex-1 b) f(x) = (x-2)² 1 S. 2 Lösungen Lösung 1: a) f(x) = (2x-4) ex-1 f'(x) = 2. ex¹ + (2x −4) · ex-¹ = ex-1(2+2x-4)= ex-¹(2x - 2) f"(x) = ex-1. (2x - 2) + ex-1.2 = ex-1. (2x −2+2) = ex-1.2x ex-1.2x = 0 (ex-1 kann nicht 0 werden) 2x = 0:2 x = 0 y = f(0) = -4.e-¹ -∞ < x < 0 X f"(x) Gf 0<x<∞ X=0 0 + rechtsgekrümmt WEP (0] -4e-¹) linksgekrümmt Der Graph der Funktion f ist rechtsgekrümmt im Bereich ]-∞; 0[ und linksgekrümmt im Bereich ]0; ∞[. 2 S. 1 b) f(x) = f'(x) = f"(x) = X (x - 2)² X x² - 4x + 4 X x (2x4) (x² - 4x + 4). 1 — = x² (x²-4). 2x x4 x²2x = Lösungen f"(x) Gf rechtsgekrümmt 2x²4x-x² + 4x4 x² 2x³2x³ + 8x 8x x4 8 0= (Zähler 0 setzen) 0 = 8 (Widerspruch!) Es existiert...
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Alternativer Bildtext:
also kein Wendepunkt. Das bedeutet jedoch nicht, dass die Funktion keine Krümmung besitzt. Bei gebrochenen Funktionen ist es äußerst wichtig, dass die Definitionslücke x = 0 ebenfalls in die Krümmungstabelle eingetragen wird! -∞ < x < 0 X = 0 + 1 Def-Lücke linksgekrümmt 8 x4 x3 0<x<∞ x² - 4 x² Der Graph der Funktion f ist rechtsgekrümmt im Bereich ]-∞; 0[ und linksgekrümmt im Bereich ]0; ∞[. 3