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Ableitungen und Tangenten berechnen leicht gemacht

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marlene👩🏼‍🦰

15.1.2021

Mathe

Steigung & Ableitung

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Ableitungsregeln

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Quotientenregel

Ableitungen und Tangenten berechnen leicht gemacht

Die Konzepte der Steigung und Ableitung sind fundamentale Bausteine in der Mathematik, besonders in der Differentialrechnung. In diesem Studienmaterial werden wir verstehen, wie man die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten berechnet, wie die momentane Steigung (lokale Steigung) an einem bestimmten Punkt ermittelt wird und wie man Ableitungsregeln anwendet. Außerdem lernen wir, wie man Tangentengleichungen aufstellt und den Steigungswinkel bestimmt. Diese Fähigkeiten sind nicht nur für mathematische Berechnungen wichtig, sondern finden auch Anwendung in der Physik, Wirtschaft und vielen anderen Bereichen.

...

15.1.2021

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•Steigung & ableitungen • DURCHSCHNITTLICHE STEIGUNG - Formel: ΔΥ = AX X₂ X₁ → Beispiel: f(x) = 0,1x² + 2x x-Bereich 2-5 = = m → 2 Punkte de

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Durchschnittliche Steigung und Ableitungen

Die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten kann mit folgender Formel berechnet werden:

ΔyΔx=y2−y1x2−x1=m\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = m

Um die durchschnittliche Steigung zu berechnen:

  • Bestimme zwei Punkte auf dem Graphen
  • Setze die Koordinaten in die Formel ein
  • Berechne den Quotienten

Beispiel zur Berechnung der durchschnittlichen Steigung:

  • Funktion: f(x)=0,1x2+2xf(x) = 0,1x^2 + 2x
  • x-Bereich: 2 bis 5
  • Punkte berechnen: f(2)=0,1⋅22+2⋅2=4,4f(2) = 0,1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 = 4,4 → (2∣4,4)(2|4,4) f(5)=0,1⋅52+2⋅5=12,5f(5) = 0,1 \cdot 5^2 + 2 \cdot 5 = 12,5 → (5∣12,5)(5|12,5)
  • Durchschnittliche Steigung: 12,5−4,45−2=8,13=2,7\frac{12,5 - 4,4}{5 - 2} = \frac{8,1}{3} = 2,7

Wichtiges Konzept: Die mittlere Änderungsrate durchschnittlicheSteigungdurchschnittliche Steigung gibt an, wie stark sich der Funktionswert im Verhältnis zur Änderung der x-Werte im Durchschnitt ändert.

Ableitungsregeln:

  • Faktorenregel: Faktor wird mit Exponent multipliziert z.B. $2x^3 \rightarrow 6x^2$
  • Potenzregel: Exponent wird um 1 reduziert z.B. $x^2 \rightarrow x^1$
  • Konstantenregel: Eine Zahl ohne xx wird zu 0

Mit der Ableitung erhält man eine Funktion, die die momentane Steigung des Ausgangsgraphen an jedem Punkt angibt. Man setzt einfach den x-Wert in die Ableitungsfunktion ein, um die Steigung an diesem Punkt zu berechnen.

Merke: Ein Durchschnittliche Steigung Rechner berechnet die Steigung zwischen zwei Punkten, während die Ableitung die Steigung an einem einzelnen Punkt momentaneSteigungmomentane Steigung liefert.

•Steigung & ableitungen • DURCHSCHNITTLICHE STEIGUNG - Formel: ΔΥ = AX X₂ X₁ → Beispiel: f(x) = 0,1x² + 2x x-Bereich 2-5 = = m → 2 Punkte de

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Wurzeln, Potenzen und Steigung an einem Punkt

Umwandlung von Wurzeln in Potenzen:

  • x=x12\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}
  • x7=x72\sqrt{x^7} = x^{\frac{7}{2}}
  • x43=x43\sqrt[3]{x^4} = x^{\frac{4}{3}}

Brüche mit Potenzen:

  • abxu=ab⋅xu−k\frac{a}{b}x^u = \frac{a}{b} \cdot x^{u-k}
  • Beispiel: 16x2=16⋅x−2\frac{1}{6x^2} = \frac{1}{6} \cdot x^{-2}

Ableiten mit binomischer Formel:

  1. Binomische Formel bilden
  2. Klammer auflösen
  3. Ableitung bilden

Beispiel:

  • f(x)=3(x−2)2+xf(x) = 3(x - 2)² + x
  • f(x)=3(x2−4x+4)+xf(x) = 3(x² - 4x + 4) + x
  • f(x)=3x2−12x+12+xf(x) = 3x² - 12x + 12 + x
  • f′(x)=6x−12+1=6x−11f'(x) = 6x - 12 + 1 = 6x - 11

Praxistipp: In Excel kann man die durchschnittliche Steigung berechnen, indem man die Differenz der y-Werte durch die Differenz der x-Werte teilt oder die STEIGUNG()-Funktion verwendet.

Berechnung der lokalen Steigung an einem Punkt:

  1. Ableitung der Funktion bilden
  2. x-Wert in die Ableitung einsetzen

Beispiel:

  • Funktion: f(x)=x2+2x+4f(x) = x² + 2x + 4
  • Stelle: x=3x = 3
  • Ableitung: f′(x)=2x+2f'(x) = 2x + 2
  • Steigung an x = 3: f′(3)=2⋅3+2=8f'(3) = 2 \cdot 3 + 2 = 8

Steigungswinkel berechnen: α=tan⁡−1(m)\alpha = \tan^{-1}(m)

  • Für m = 8: tan⁡−1(8)=82,87°\tan^{-1}(8) = 82,87°

Stellen mit bestimmter Steigung finden:

  1. Ableitung bilden
  2. m-Wert einsetzen und nach x auflösen

Beispiel:

  • Funktion: f(x)=x4−6xf(x) = x⁴ - 6x
  • Gesucht: Stellen mit Steigung m = 2
  • Ableitung: f′(x)=4x3−6f'(x) = 4x³ - 6
  • Gleichung: 2=4x3−62 = 4x³ - 6
  • Lösung: x=23x = \sqrt[3]{2}

Methodenhinweis: Um die Steigung in einem Punkt bei einer quadratischen Funktion zu berechnen, leitet man die Funktion ab und setzt den x-Wert ein. Die Ableitung einer quadratischen Funktion f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c ist f′(x)=2ax+bf'(x) = 2ax + b.

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Ableitungen und Tangenten berechnen leicht gemacht

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marlene👩🏼‍🦰

@marlene

Die Konzepte der Steigung und Ableitung sind fundamentale Bausteine in der Mathematik, besonders in der Differentialrechnung. In diesem Studienmaterial werden wir verstehen, wie man die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten berechnet, wie die momentane Steigung (lokale Steigung) an einem bestimmten... Mehr anzeigen

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Durchschnittliche Steigung und Ableitungen

Die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten kann mit folgender Formel berechnet werden:

ΔyΔx=y2−y1x2−x1=m\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = m

Um die durchschnittliche Steigung zu berechnen:

  • Bestimme zwei Punkte auf dem Graphen
  • Setze die Koordinaten in die Formel ein
  • Berechne den Quotienten

Beispiel zur Berechnung der durchschnittlichen Steigung:

  • Funktion: f(x)=0,1x2+2xf(x) = 0,1x^2 + 2x
  • x-Bereich: 2 bis 5
  • Punkte berechnen: f(2)=0,1⋅22+2⋅2=4,4f(2) = 0,1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 = 4,4 → (2∣4,4)(2|4,4) f(5)=0,1⋅52+2⋅5=12,5f(5) = 0,1 \cdot 5^2 + 2 \cdot 5 = 12,5 → (5∣12,5)(5|12,5)
  • Durchschnittliche Steigung: 12,5−4,45−2=8,13=2,7\frac{12,5 - 4,4}{5 - 2} = \frac{8,1}{3} = 2,7

Wichtiges Konzept: Die mittlere Änderungsrate durchschnittlicheSteigungdurchschnittliche Steigung gibt an, wie stark sich der Funktionswert im Verhältnis zur Änderung der x-Werte im Durchschnitt ändert.

Ableitungsregeln:

  • Faktorenregel: Faktor wird mit Exponent multipliziert z.B. $2x^3 \rightarrow 6x^2$
  • Potenzregel: Exponent wird um 1 reduziert z.B. $x^2 \rightarrow x^1$
  • Konstantenregel: Eine Zahl ohne xx wird zu 0

Mit der Ableitung erhält man eine Funktion, die die momentane Steigung des Ausgangsgraphen an jedem Punkt angibt. Man setzt einfach den x-Wert in die Ableitungsfunktion ein, um die Steigung an diesem Punkt zu berechnen.

Merke: Ein Durchschnittliche Steigung Rechner berechnet die Steigung zwischen zwei Punkten, während die Ableitung die Steigung an einem einzelnen Punkt momentaneSteigungmomentane Steigung liefert.

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Wurzeln, Potenzen und Steigung an einem Punkt

Umwandlung von Wurzeln in Potenzen:

  • x=x12\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}
  • x7=x72\sqrt{x^7} = x^{\frac{7}{2}}
  • x43=x43\sqrt[3]{x^4} = x^{\frac{4}{3}}

Brüche mit Potenzen:

  • abxu=ab⋅xu−k\frac{a}{b}x^u = \frac{a}{b} \cdot x^{u-k}
  • Beispiel: 16x2=16⋅x−2\frac{1}{6x^2} = \frac{1}{6} \cdot x^{-2}

Ableiten mit binomischer Formel:

  1. Binomische Formel bilden
  2. Klammer auflösen
  3. Ableitung bilden

Beispiel:

  • f(x)=3(x−2)2+xf(x) = 3(x - 2)² + x
  • f(x)=3(x2−4x+4)+xf(x) = 3(x² - 4x + 4) + x
  • f(x)=3x2−12x+12+xf(x) = 3x² - 12x + 12 + x
  • f′(x)=6x−12+1=6x−11f'(x) = 6x - 12 + 1 = 6x - 11

Praxistipp: In Excel kann man die durchschnittliche Steigung berechnen, indem man die Differenz der y-Werte durch die Differenz der x-Werte teilt oder die STEIGUNG()-Funktion verwendet.

Berechnung der lokalen Steigung an einem Punkt:

  1. Ableitung der Funktion bilden
  2. x-Wert in die Ableitung einsetzen

Beispiel:

  • Funktion: f(x)=x2+2x+4f(x) = x² + 2x + 4
  • Stelle: x=3x = 3
  • Ableitung: f′(x)=2x+2f'(x) = 2x + 2
  • Steigung an x = 3: f′(3)=2⋅3+2=8f'(3) = 2 \cdot 3 + 2 = 8

Steigungswinkel berechnen: α=tan⁡−1(m)\alpha = \tan^{-1}(m)

  • Für m = 8: tan⁡−1(8)=82,87°\tan^{-1}(8) = 82,87°

Stellen mit bestimmter Steigung finden:

  1. Ableitung bilden
  2. m-Wert einsetzen und nach x auflösen

Beispiel:

  • Funktion: f(x)=x4−6xf(x) = x⁴ - 6x
  • Gesucht: Stellen mit Steigung m = 2
  • Ableitung: f′(x)=4x3−6f'(x) = 4x³ - 6
  • Gleichung: 2=4x3−62 = 4x³ - 6
  • Lösung: x=23x = \sqrt[3]{2}

Methodenhinweis: Um die Steigung in einem Punkt bei einer quadratischen Funktion zu berechnen, leitet man die Funktion ab und setzt den x-Wert ein. Die Ableitung einer quadratischen Funktion f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c ist f′(x)=2ax+bf'(x) = 2ax + b.

•Steigung & ableitungen • DURCHSCHNITTLICHE STEIGUNG - Formel: ΔΥ = AX X₂ X₁ → Beispiel: f(x) = 0,1x² + 2x x-Bereich 2-5 = = m → 2 Punkte de

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Tangenten bestimmen

Eine Tangente ist eine Gerade, die einen Graphen an genau einem Punkt berührt. Die allgemeine Tangentengleichung hat die Form:

f(x)=m⋅x+bf(x) = m \cdot x + b

Um eine Tangente zu berechnen, müssen wir die Parameter mm und bb bestimmen:

  1. Steigung mm bestimmen: Ableitung der Funktion bilden x-Wert des Berührpunkts in die Ableitung einsetzen
  2. y-Achsenabschnitt bb bestimmen: Koordinaten des Berührpunkts (x0,f(x0))(x_0, f(x_0)) berechnen In die Geradengleichung einsetzen und nach bb auflösen: f(x0)=m⋅x0+bf(x_0) = m \cdot x_0 + b

Beispiel zur Tangentenbestimmung:

  • Funktion: f(x)=x2f(x) = x^2
  • Berührpunkt bei x0=2x_0 = 2

Schritt 1: Steigung mm berechnen

  • Ableitung: f′(x)=2xf'(x) = 2x
  • Steigung am Punkt: f′(2)=2⋅2=4=mf'(2) = 2 \cdot 2 = 4 = m

Schritt 2: y-Koordinate des Berührpunkts bestimmen

  • f(2)=22=4f(2) = 2^2 = 4
  • Berührpunkt: (2,4)(2, 4)

Schritt 3: y-Achsenabschnitt bb berechnen

  • 4=4⋅2+b4 = 4 \cdot 2 + b
  • 4=8+b4 = 8 + b
  • b=−4b = -4

Damit lautet die Tangentengleichung: t(x)=4x−4t(x) = 4x - 4

Anwendungsbeispiel: Mit einem Tangentengleichung Rechner kann man diesen Prozess automatisieren. Für Funktionen wie die e-Funktion ist die Tangentengleichung besonders interessant, da die Steigung der e-Funktion an jedem Punkt dem Funktionswert entspricht.

Die Tangente ist ein wichtiges Werkzeug, um das lokale Verhalten einer Funktion zu analysieren. Die Tangentensteigung entspricht der momentanen Änderungsrate der Funktion am Berührpunkt.

Wichtiger Zusammenhang: Die zweite Ableitung $f''(x)gibtAuskunftu¨berdieKru¨mmungdesGraphen.Ist) gibt Auskunft über die Krümmung des Graphen. Ist f''xx > 0,istderGraphnachobengekru¨mmt(konvex),bei, ist der Graph nach oben gekrümmt (konvex), bei f''xx < 0$ nach unten konkavkonkav.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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