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Mathematik

Ableitungen und Anwendungen

Steigung der Tangente

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6. Feb. 2026

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Ableitungen und Tangenten berechnen leicht gemacht

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Die Konzepte der Steigung und Ableitung sind fundamentale Bausteine in... Mehr anzeigen

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# steigung & ableitungen • DURCHSCHNITTLICHE STEIGUNG - Formel: $\frac{\Delta Y}{\Delta X} = \frac{Y_2-Y_1}{X_2-X_1} = m$ Beispiel: f(x)=

Durchschnittliche Steigung und Ableitungen

Die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten kann mit folgender Formel berechnet werden:

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = m

Um die durchschnittliche Steigung zu berechnen:

  • Bestimme zwei Punkte auf dem Graphen
  • Setze die Koordinaten in die Formel ein
  • Berechne den Quotienten

Beispiel zur Berechnung der durchschnittlichen Steigung:

  • Funktion: f(x)=0,1x2+2xf(x) = 0,1x^2 + 2x
  • x-Bereich: 2 bis 5
  • Punkte berechnen:
    • f(2)=0,1⋅22+2⋅2=4,4f(2) = 0,1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 = 4,4 → (2∣4,4)(2|4,4)
    • f(5)=0,1⋅52+2⋅5=12,5f(5) = 0,1 \cdot 5^2 + 2 \cdot 5 = 12,5 → (5∣12,5)(5|12,5)
  • Durchschnittliche Steigung: 12,5−4,45−2=8,13=2,7\frac{12,5 - 4,4}{5 - 2} = \frac{8,1}{3} = 2,7

Wichtiges Konzept: Die mittlere Änderungsrate (durchschnittliche Steigung) gibt an, wie stark sich der Funktionswert im Verhältnis zur Änderung der x-Werte im Durchschnitt ändert.

Ableitungsregeln:

  • Faktorenregel: Faktor wird mit Exponent multipliziert z.B. $2x^3 \rightarrow 6x^2$
  • Potenzregel: Exponent wird um 1 reduziert z.B. $x^2 \rightarrow x^1$
  • Konstantenregel: Eine Zahl ohne xx wird zu 0

Mit der Ableitung erhält man eine Funktion, die die momentane Steigung des Ausgangsgraphen an jedem Punkt angibt. Man setzt einfach den x-Wert in die Ableitungsfunktion ein, um die Steigung an diesem Punkt zu berechnen.

Merke: Ein Durchschnittliche Steigung Rechner berechnet die Steigung zwischen zwei Punkten, während die Ableitung die Steigung an einem einzelnen Punkt (momentane Steigung) liefert.

# steigung & ableitungen • DURCHSCHNITTLICHE STEIGUNG - Formel: $\frac{\Delta Y}{\Delta X} = \frac{Y_2-Y_1}{X_2-X_1} = m$ Beispiel: f(x)=

Wurzeln, Potenzen und Steigung an einem Punkt

Umwandlung von Wurzeln in Potenzen:

  • x=x12\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}
  • x7=x72\sqrt{x^7} = x^{\frac{7}{2}}
  • x43=x43\sqrt[3]{x^4} = x^{\frac{4}{3}}

Brüche mit Potenzen:

  • abxu=ab⋅xu−k\frac{a}{b}x^u = \frac{a}{b} \cdot x^{u-k}
  • Beispiel: 16x2=16⋅x−2\frac{1}{6x^2} = \frac{1}{6} \cdot x^{-2}

Ableiten mit binomischer Formel:

  1. Binomische Formel bilden
  2. Klammer auflösen
  3. Ableitung bilden

Beispiel:

  • f(x)=3(x−2)2+xf(x) = 3(x - 2)² + x
  • f(x)=3(x2−4x+4)+xf(x) = 3(x² - 4x + 4) + x
  • f(x)=3x2−12x+12+xf(x) = 3x² - 12x + 12 + x
  • f′(x)=6x−12+1=6x−11f'(x) = 6x - 12 + 1 = 6x - 11

Praxistipp: In Excel kann man die durchschnittliche Steigung berechnen, indem man die Differenz der y-Werte durch die Differenz der x-Werte teilt oder die STEIGUNG()-Funktion verwendet.

Berechnung der lokalen Steigung an einem Punkt:

  1. Ableitung der Funktion bilden
  2. x-Wert in die Ableitung einsetzen

Beispiel:

  • Funktion: f(x)=x2+2x+4f(x) = x² + 2x + 4
  • Stelle: x=3x = 3
  • Ableitung: f′(x)=2x+2f'(x) = 2x + 2
  • Steigung an x = 3: f′(3)=2⋅3+2=8f'(3) = 2 \cdot 3 + 2 = 8

Steigungswinkel berechnen: α=tan⁡−1(m)\alpha = \tan^{-1}(m)

  • Für m = 8: tan⁡−1(8)=82,87°\tan^{-1}(8) = 82,87°

Stellen mit bestimmter Steigung finden:

  1. Ableitung bilden
  2. m-Wert einsetzen und nach x auflösen

Beispiel:

  • Funktion: f(x)=x4−6xf(x) = x⁴ - 6x
  • Gesucht: Stellen mit Steigung m = 2
  • Ableitung: f′(x)=4x3−6f'(x) = 4x³ - 6
  • Gleichung: $2 = 4x³ - 6$
  • Lösung: x=23x = \sqrt[3]{2}

Methodenhinweis: Um die Steigung in einem Punkt bei einer quadratischen Funktion zu berechnen, leitet man die Funktion ab und setzt den x-Wert ein. Die Ableitung einer quadratischen Funktion f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c ist f′(x)=2ax+bf'(x) = 2ax + b.

# steigung & ableitungen • DURCHSCHNITTLICHE STEIGUNG - Formel: $\frac{\Delta Y}{\Delta X} = \frac{Y_2-Y_1}{X_2-X_1} = m$ Beispiel: f(x)=

Tangenten bestimmen

Eine Tangente ist eine Gerade, die einen Graphen an genau einem Punkt berührt. Die allgemeine Tangentengleichung hat die Form:

f(x) = m \cdot x + b

Um eine Tangente zu berechnen, müssen wir die Parameter mm und bb bestimmen:

  1. Steigung mm bestimmen:

    • Ableitung der Funktion bilden
    • x-Wert des Berührpunkts in die Ableitung einsetzen

  2. y-Achsenabschnitt bb bestimmen:

    • Koordinaten des Berührpunkts (x0,f(x0))(x_0, f(x_0)) berechnen
    • In die Geradengleichung einsetzen und nach bb auflösen: f(x0)=m⋅x0+bf(x_0) = m \cdot x_0 + b

Beispiel zur Tangentenbestimmung:

  • Funktion: f(x)=x2f(x) = x^2
  • Berührpunkt bei x0=2x_0 = 2

Schritt 1: Steigung mm berechnen

  • Ableitung: f′(x)=2xf'(x) = 2x
  • Steigung am Punkt: f′(2)=2⋅2=4=mf'(2) = 2 \cdot 2 = 4 = m

Schritt 2: y-Koordinate des Berührpunkts bestimmen

  • f(2)=22=4f(2) = 2^2 = 4
  • Berührpunkt: (2,4)(2, 4)

Schritt 3: y-Achsenabschnitt bb berechnen

  • $4 = 4 \cdot 2 + b$
  • $4 = 8 + b$
  • b=−4b = -4

Damit lautet die Tangentengleichung: t(x)=4x−4t(x) = 4x - 4

Anwendungsbeispiel: Mit einem Tangentengleichung Rechner kann man diesen Prozess automatisieren. Für Funktionen wie die e-Funktion ist die Tangentengleichung besonders interessant, da die Steigung der e-Funktion an jedem Punkt dem Funktionswert entspricht.

Die Tangente ist ein wichtiges Werkzeug, um das lokale Verhalten einer Funktion zu analysieren. Die Tangentensteigung entspricht der momentanen Änderungsrate der Funktion am Berührpunkt.

Wichtiger Zusammenhang: Die zweite Ableitung ($f''(x)$) gibt Auskunft über die Krümmung des Graphen. Ist f′′(x)>0f''(x) > 0, ist der Graph nach oben gekrümmt (konvex), bei f′′(x)<0f''(x) < 0 nach unten (konkav).



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Beliebtester Inhalt: Steigung der Tangente

Ableitung mit h-Methode

Erlernen Sie die h-Methode zur Berechnung von Ableitungen anhand eines detaillierten Beispiels. Diese Schritt-für-Schritt-Anleitung erklärt die Grundformel, die Anwendung der binomischen Formeln und die Vereinfachung des Differentialquotienten. Ideal für Studierende der Mathematik.

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Tangenten & Normalen Berechnung

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Sekanten und Tangenten

Erlernen Sie, wie man Sekanten- und Tangentengleichungen aufstellt, einschließlich der Berechnung der Steigungen und der orthogonalen Normalen. Diese Zusammenfassung behandelt die durchschnittliche und momentane Änderungsrate anhand von Beispielen und Formeln. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich mit Differentialrechnung beschäftigen.

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Erfahren Sie, wie man die mittlere und momentane Änderungsrate einer Funktion berechnet. Diese Zusammenfassung behandelt den Differenzenquotienten, Beispiele zur Berechnung der Steigung und die Unterschiede zwischen durchschnittlicher und lokaler Änderungsrate. Ideal für Mathematikstudenten, die sich auf Analysis vorbereiten.

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Diese Zusammenfassung behandelt die Konzepte der mittleren und momentanen Änderungsrate in der Mathematik. Erfahren Sie, wie die durchschnittliche Steigung im Intervall [a, b] und die exakte Steigung an einem Punkt x durch Ableitungen berechnet werden. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis von Ableitungen vertiefen möchten.

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Sekante, Tangente, Normale

Erfahren Sie, wie man die Sekante, Tangente und Normale einer Funktion aufstellt. Diese Zusammenfassung behandelt die Berechnung der Steigungen, die Formeln zur Aufstellung der Gleichungen und die Unterschiede zwischen durchschnittlicher und momentaner Änderung. Ideal für Mathematikstudenten, die sich mit Ableitungen und graphischer Differenzierung beschäftigen.

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Ableitungsregeln und Anwendungen

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

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Anna

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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

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Xander S

iOS-Nutzer

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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

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Ableitungen und Anwendungen

Steigung der Tangente

 

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Die Konzepte der Steigung und Ableitung sind fundamentale Bausteine in der Mathematik, besonders in der Differentialrechnung. In diesem Studienmaterial werden wir verstehen, wie man die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten berechnet, wie die momentane Steigung (lokale Steigung) an einem bestimmten... Mehr anzeigen

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Durchschnittliche Steigung und Ableitungen

Die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten kann mit folgender Formel berechnet werden:

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = m

Um die durchschnittliche Steigung zu berechnen:

  • Bestimme zwei Punkte auf dem Graphen
  • Setze die Koordinaten in die Formel ein
  • Berechne den Quotienten

Beispiel zur Berechnung der durchschnittlichen Steigung:

  • Funktion: f(x)=0,1x2+2xf(x) = 0,1x^2 + 2x
  • x-Bereich: 2 bis 5
  • Punkte berechnen:
    • f(2)=0,1⋅22+2⋅2=4,4f(2) = 0,1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 = 4,4 → (2∣4,4)(2|4,4)
    • f(5)=0,1⋅52+2⋅5=12,5f(5) = 0,1 \cdot 5^2 + 2 \cdot 5 = 12,5 → (5∣12,5)(5|12,5)
  • Durchschnittliche Steigung: 12,5−4,45−2=8,13=2,7\frac{12,5 - 4,4}{5 - 2} = \frac{8,1}{3} = 2,7

Wichtiges Konzept: Die mittlere Änderungsrate (durchschnittliche Steigung) gibt an, wie stark sich der Funktionswert im Verhältnis zur Änderung der x-Werte im Durchschnitt ändert.

Ableitungsregeln:

  • Faktorenregel: Faktor wird mit Exponent multipliziert z.B. $2x^3 \rightarrow 6x^2$
  • Potenzregel: Exponent wird um 1 reduziert z.B. $x^2 \rightarrow x^1$
  • Konstantenregel: Eine Zahl ohne xx wird zu 0

Mit der Ableitung erhält man eine Funktion, die die momentane Steigung des Ausgangsgraphen an jedem Punkt angibt. Man setzt einfach den x-Wert in die Ableitungsfunktion ein, um die Steigung an diesem Punkt zu berechnen.

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Wurzeln, Potenzen und Steigung an einem Punkt

Umwandlung von Wurzeln in Potenzen:

  • x=x12\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}
  • x7=x72\sqrt{x^7} = x^{\frac{7}{2}}
  • x43=x43\sqrt[3]{x^4} = x^{\frac{4}{3}}

Brüche mit Potenzen:

  • abxu=ab⋅xu−k\frac{a}{b}x^u = \frac{a}{b} \cdot x^{u-k}
  • Beispiel: 16x2=16⋅x−2\frac{1}{6x^2} = \frac{1}{6} \cdot x^{-2}

Ableiten mit binomischer Formel:

  1. Binomische Formel bilden
  2. Klammer auflösen
  3. Ableitung bilden

Beispiel:

  • f(x)=3(x−2)2+xf(x) = 3(x - 2)² + x
  • f(x)=3(x2−4x+4)+xf(x) = 3(x² - 4x + 4) + x
  • f(x)=3x2−12x+12+xf(x) = 3x² - 12x + 12 + x
  • f′(x)=6x−12+1=6x−11f'(x) = 6x - 12 + 1 = 6x - 11

Praxistipp: In Excel kann man die durchschnittliche Steigung berechnen, indem man die Differenz der y-Werte durch die Differenz der x-Werte teilt oder die STEIGUNG()-Funktion verwendet.

Berechnung der lokalen Steigung an einem Punkt:

  1. Ableitung der Funktion bilden
  2. x-Wert in die Ableitung einsetzen

Beispiel:

  • Funktion: f(x)=x2+2x+4f(x) = x² + 2x + 4
  • Stelle: x=3x = 3
  • Ableitung: f′(x)=2x+2f'(x) = 2x + 2
  • Steigung an x = 3: f′(3)=2⋅3+2=8f'(3) = 2 \cdot 3 + 2 = 8

Steigungswinkel berechnen: α=tan⁡−1(m)\alpha = \tan^{-1}(m)

  • Für m = 8: tan⁡−1(8)=82,87°\tan^{-1}(8) = 82,87°

Stellen mit bestimmter Steigung finden:

  1. Ableitung bilden
  2. m-Wert einsetzen und nach x auflösen

Beispiel:

  • Funktion: f(x)=x4−6xf(x) = x⁴ - 6x
  • Gesucht: Stellen mit Steigung m = 2
  • Ableitung: f′(x)=4x3−6f'(x) = 4x³ - 6
  • Gleichung: $2 = 4x³ - 6$
  • Lösung: x=23x = \sqrt[3]{2}

Methodenhinweis: Um die Steigung in einem Punkt bei einer quadratischen Funktion zu berechnen, leitet man die Funktion ab und setzt den x-Wert ein. Die Ableitung einer quadratischen Funktion f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c ist f′(x)=2ax+bf'(x) = 2ax + b.

# steigung & ableitungen • DURCHSCHNITTLICHE STEIGUNG - Formel: $\frac{\Delta Y}{\Delta X} = \frac{Y_2-Y_1}{X_2-X_1} = m$ Beispiel: f(x)=

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Tangenten bestimmen

Eine Tangente ist eine Gerade, die einen Graphen an genau einem Punkt berührt. Die allgemeine Tangentengleichung hat die Form:

f(x) = m \cdot x + b

Um eine Tangente zu berechnen, müssen wir die Parameter mm und bb bestimmen:

  1. Steigung mm bestimmen:

    • Ableitung der Funktion bilden
    • x-Wert des Berührpunkts in die Ableitung einsetzen

  2. y-Achsenabschnitt bb bestimmen:

    • Koordinaten des Berührpunkts (x0,f(x0))(x_0, f(x_0)) berechnen
    • In die Geradengleichung einsetzen und nach bb auflösen: f(x0)=m⋅x0+bf(x_0) = m \cdot x_0 + b

Beispiel zur Tangentenbestimmung:

  • Funktion: f(x)=x2f(x) = x^2
  • Berührpunkt bei x0=2x_0 = 2

Schritt 1: Steigung mm berechnen

  • Ableitung: f′(x)=2xf'(x) = 2x
  • Steigung am Punkt: f′(2)=2⋅2=4=mf'(2) = 2 \cdot 2 = 4 = m

Schritt 2: y-Koordinate des Berührpunkts bestimmen

  • f(2)=22=4f(2) = 2^2 = 4
  • Berührpunkt: (2,4)(2, 4)

Schritt 3: y-Achsenabschnitt bb berechnen

  • $4 = 4 \cdot 2 + b$
  • $4 = 8 + b$
  • b=−4b = -4

Damit lautet die Tangentengleichung: t(x)=4x−4t(x) = 4x - 4

Anwendungsbeispiel: Mit einem Tangentengleichung Rechner kann man diesen Prozess automatisieren. Für Funktionen wie die e-Funktion ist die Tangentengleichung besonders interessant, da die Steigung der e-Funktion an jedem Punkt dem Funktionswert entspricht.

Die Tangente ist ein wichtiges Werkzeug, um das lokale Verhalten einer Funktion zu analysieren. Die Tangentensteigung entspricht der momentanen Änderungsrate der Funktion am Berührpunkt.

Wichtiger Zusammenhang: Die zweite Ableitung ($f''(x)$) gibt Auskunft über die Krümmung des Graphen. Ist f′′(x)>0f''(x) > 0, ist der Graph nach oben gekrümmt (konvex), bei f′′(x)<0f''(x) < 0 nach unten (konkav).

Wir dachten schon, du fragst nie...

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

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Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

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