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P(B) B PLANB) PLANB) PLB) P(A) P(A) = 1 D-THOOPOPHO Stochoslik Binomial verteilte Zufallsexperimente Bernoulli 2 mögliche Ausgänge → Treffer oder kein Treffer ↳ Wahrscheinlichkeiten verändern sich nicht ↳ p=WK Treffer i q= Wh kein Treffer n Umfang → Anzahl gesamt X (Zufallsgröße) = Was ist von Interesse ? (X=K) k = was will man wissen? Formel von Bernoulli Wh Tretter- allg.: Phip (X=K) = (2). K².on-k<- kein Treffer 9 Binomialkoeffizient Tretter ↳ eignet sich zur Bestimmung von wahrscheinlichkeiten der Verknüpfungen zweier Ereignisse A & B. ↳ Randwerte ergeben sich durch Summenbildung. Umfang größer als 0 Anzahl Versuche Kleiner als n Länge Bernoullikette Anzahl Treffer WK Kein Treffer 2 Pfade sind die Wege im Baumdiagramm 2.B. 3x Würfeln → 63 = 216 Pfade Prodmultiplikationsregel ↳ Wh entlang eines Pfades werden miteinander multipliziert ↳ Pradadditionsregel 4 ↳ Pfadwahrscheinlichkeiten, die zum selben Ereignis gehören werden addiert Binomialhoeffizient ↳gibt die Anzahl der Pfade an, die zu einem bestimmten Ereignis gehören → (2) (R)= != Fakultät Z.B. 5!= 1.2.3.4.5 Ki-(n-n)! ↳ 6TR-Berechnung (10) = (10) < gleicher place Wert ↳ ncr (nik) Anzahl der möglichen Pfade, die 4 bzw. 6 Treffer haben GTR-Einsatz → Befehle 1. Pn¡p (X=K)= binomPdf (ni pik) → genau 1 treffer 2. Pnip (X²K) binom(df (n;p;k) → höchstens k Summiert von 0 bis k Treffer 3. Pnip (r≤x≤K) = binom (alf (nipirik) → von r bis h ↳ Grenze von r bis k Treffer 4. Pnip (X²k)= 1-PCX ≤K-1) → mind. K-Treffer ↳Ppk = x≤n) = Dinom(df (nipi kin) Zufallsgrößen & inre Wahrscheinlichkeitsverteilung ↳ Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X gibt an, mit welchen Wahrscheinlich- keiten P₁, P₂,...,Pn die Zufallsgröße die möglichen Werte X₁, X2, ..., Xn annimmt. Tabellenform Xi P(X= x₁)| P₁|P₂| X₁Xx2 ... Xn X1 Pn Erwartungswert : x = hn (X₁) X₁+hn (X₂). X₂ + ... + hn (xn). Xn Bsp.: Histogramme 0,2+ 0,1+ X₁1234 524 9 201 201 20 h(i)l Standardabweichung: S=√(x₁-x)² · hn (X₁) + (x₂ −X)² ·hn (x₂)+...+ (x₂-x)² · hn (Xn) Bsp.: S= √(1-2,851²5/20 +(2-2,85)² · ²/20 +(3-2,85)² · 420 + (4-2,85)²9/20 0 Die Summe der Wahrscheinlichkeiten muss stets 1 ergeben D1 +Dz+ · + Pn= 1 u=höchste Saule (Erwartungswert) bei festem Wert ,n" & wachsender Trefferwahrscheinlichkeit ,p" wird der Erwartungswert immer größer ↳ Maximum wandert nach rechts P(X=k) p=0,3 p= 0,4 Stochastik 3 10 festes n = 20 x = 1·20 +2·²2 0+3·21/60 +42/10 = 2,85 20 k Entscheidungsregel 1. Fall: Grenze muss für Entscheidungs- regel gefunden werden das was gesucht wird durch x ersetzen 1. calculator 2. definieren → f(x): = binomCaf (nipi kin) Bsp.: binom(df(2010,1; x ; 20) 3. graphs 4. fcx) eingeben f₁(x)=f(x) 5. Wertetabelle → menu →7 →1 wenn p gesucht ist, Schrittweite einstellen 6. das auswählen, was unterhalb der Entscheidungsregel liegt - bei festem "P" & wachsenden „n" wird der Erwartungswert & die Streuung größer ↳ Maximum verschiebt sich nach rechts & Verteilung wird flacher & breiter P(X=k) 0,2+ 0,1+ n = 15 festes p = 0,4 n = 30 10 20 k 2. Fall: Wahrscheinlichkeit überprüfen, dass fälschlicherweise abgelehnt wird Pnip (y≤x≤n)=% ← Wh,dass fälschlicher- weise abgelehnt wird y→ Entscheidungsregel 2.B. ab wann ein Teil abgelehnt wird Stochastik Sigma Sigma S Standardabweichung normal =√(₁-x)² · hn (X₁) + (x₂ −X)² · hn (x₂)+...+ (xn−X)² ·nn (Xn) binomialverteilt: 8=√n⋅pa Z.B. 8 = √60.1.5 = 2,9 28=28=2·2,9 = 5₁8 /38-3-8=3·2₁9=8₁7 um es einzuzeichnen vom Erwartungswert ausgehen 26-Intervall: [u-28 ₁M+28] 2.B. [10-6,8 10+5,8] 36-Intervall [M-38₁M+36] Z.B. [10-817, 10+8,7] :