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Stochastik Kombinatorik k Auswahl von k Elementen aus n Elementen mit zurück- ohne zurück- Legen legen n! (n-k)! n Mit berücksichtigung der Reihenfolge (geordnet) Ohne berücksichtigung der Reihenfolge (ungeordnet) legen ohne zurück- mit zurück- legen (n+k-1) (2) Variationen Stichprobe k<n 1. ohne Zurüklegen -kaus n Objekten mit Beachtung der Reihenfolge + ohne Zurück!. (n-k) Bsp.: Urne mit 5 verschiedenen Kugeln, ziehe 3 ohru Zurücklegen 51 (5-3)! 2. mit Zurücklegen = k aus n Objekten mit Beachtung der Reihenfolge + mit Zurücklegen n² Bsp. Urne mit 5 Kugeln, ziehe 3 Kugeln mit Zurücklegen 5 Kombination! Stichprobe k>n 1. ohne Zurücklegen = k aus n Objekten ohne Beachtung der Reihenfolge + ohne Wiederholung (R) Bsp.: Ume mil 5 Kugeln Ziehe 3. Kugeln ohne zurücklegen + Reihenfolge ist egal →→ wie viele Möglichkeiten gibt es? (3) 2. mit Zurücklegen = k aus n Obiekten ohne Beachtung der Reihenfolge und mit zurücklegen /n+k-1 1. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung 0,5 0.5 0,5 Notenpunkte 7 10 20% 11 3456+9DU24 22113334344 2. Kenngrößen der Statistik In einer Klasse mit 24 Schülerinnen und Schülern wurde eine Klausur geschrieben. Dabei sind folgende Notenpunkte aufgetreten: 11, 12, 5, 6, 3, 14, 7, 9, 10, 7, 9, 11, 12, 13, 3, 4, 7, 9, 10, 12, 11, 10, 11, 4 12 13 015 14 015 015 80% Absolute H 0125 0125 0125 0125 3. Wahrscheinlichkeitsverteilung a) ohne Binomialverteilung Relative It. - TM 700 <100 7100 al 14 Ergebnismenge bb, brirbirr Ereignis • Mindestens eine blaue Kugel" P(E) = 1-0,25 = 0,75 ≈ 75% 1214 Einsatz: 1€ Zufallsgröße X: Gewinn राई रात तक राज हि Mittelwert (bei absolute Häufigkeit) 2.3+2 4+...+ 1.14 -= 8,75 X = 24 Standardabweichung (absoluten H.) S=√√₁/1₁ ((14-8₁75)² + (13-8,75)³²+...+(3-8₁75) ²)¹ 24 = 3,19 Mittelwert (bei relativen H.) X...

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= 3·1/12 +4·1/1/12 4. +...+ 14 · 12/4 = 8,75 Standardabweichung (relative H.) 1 +...+ 24 S=√(14-8,75)² 1 24 Glücksfeld rot blau 210 24 (3-8,75) ². 1 12 + (13-8,75)² = 3,19 Gewinn 4€ 0€ D₁ = 0₁2 P₂ = 0,8 Erwartungswert: E(X)= 0€ ·∙0,8 + 4€ ·012 = 0,8€ Standardabweichung: 0(x)=√(0-018)² · 0,8+ (4-0₁8) ² · 0₁²² = 1₁6 b) mit Binominalverteilung Bei einem Computerspiel gewinnt man 60% der Spiele. Der Spieler spielt 20-mal hintereinander. Die Zufallsvariable X ist die Anzahl der gewonnenen Spiele. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man genau achtmal gewinnt? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man mindestens zehnmal gewinnt? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man höchstens 15-mal gewinnt? p=0₁6 n = 20 20-8 P(x = 8) = (20) · 0₁68-0₁412 = 0,035 P(x ≥ 10) = A- P(X≤9) = 1-2 (²0) 0,6*·0₁4 20-x = 01872 X=0 0,4 20-* = 0.949 P(x≤15) = 45 X = 0 (²0) · 0₁6* . P(x=1) =0,9 umformung 1- P(x=0) ≥ 0,9 -0.95 + P(X-0) 0₁1 P(x=0)| einsetzen 0,1 ≥ (0) (4) ()" · · 4. Beurteilende Statistik Sigma-Regeln 1. P(u-osxsu+o) = 68,3% 2. P(μ-2σεXεμ+26) = 95,4% 3. P(u-30SXsμ+30) = 99,7% c) 3-mindestens-Aufgabe Berechnen Sie, wie viele Schokoladeneier mindestens gekauft werden müssen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % mindestens eine Sammelfigur zu erhalten - 4. P(u-1,640Xsu+1,640) = 90% 5. P(u-1,960 ≤X≤u+1,960) = 95% 6. P(u-2,580≤x≤μ+2,580) = 99% n 0,1 = (6) " Log & (0,1) ≤ n 15 ≤n Sigma Regeln 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03- 0,02- 0,01- + 0+ 30 P(X-r) 99,7% 95,4% 45 68,3% 10 55 TR: Kumulierte Binomialvert./ Binom CD n-100 p=0,5 Erwartungswert. N: n⋅p = 20⋅ 0₁6 = 12 Standard abweichung: : Anzahl r 70 n⋅p. 1-p=√ 20-0₁6-014 = = 2,19 | Log! Vorzeichen wechselt 100 3 [17,52; 49.14] 17; 50] ← Annahmebereich Einseitiger Hypothesentest Mit einem Würfel wird 200mal gewürfelt. X sei die Anzahl der gewürfelten Einsen. Gib ein Intervall an, in dem 99,7% aller Werte von X liegen. 0 = √n⋅ p⋅ 1-p² = √200.4 = 5,27 1 6 n=200 p = 1/ N⋅ n⋅p = 200. 1/ [N- 30 N + 30] [100-3-5,27; 100+ 3.5.27] Zweiseitiger Hypothesentest VI 8/2 Annahmebereich [a;b] ft Annahmebereich ●Ablehnungsbereich IV NR Ein Spieler vermutet, dass bei einem Glücksspiel ein Würfel verwendet wurde, bei dem nicht alle Zahlen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit fallen. Er vermutet, dass die Wahrscheinlichkeit für die Zahl 1 nicht 1 beträgt. 6 Um dies zu testen, führt er einen zweiseitigen Hypothesentest durch. Er will 100-mal würfeln. Das Signifikanzniveau soll 5% betragen. Formuliere die Entscheidungsregel. ●Sigma -Regeln H₂= p = ₁/2 n = 100 [M-1,960 ; M + 1,960] [9,28; 23.91] [9; 24] ← Anahmebereich [08] [25:100] + Ablehnungbereich X = 0,05 M: 16,6 0=3,73 H₁: p = ² / n = 100 [a,b] P(x≤ a) > 0,025 α = 0,05 H₁: p = 1/ P(x≤ b) > 0,975 P(x ≤10) > 0,025 [0:9] [1024] [25 100] Ablehnungsb. Annahmeb. Ablehnungsb. P(X ≤24) > 0, 975 5. Bedingte Wahrscheinlichkeit In einer Zeitung stehen Werbeanzeigen. Eine Werbeagentur geht davon aus dass 40 % aller Zeitungsleser die Werbeanzeigen auch lesen und dass 6 % die Anzeige lesen und das Produkt auch kaufen. Von den übrigen Zeitungslesern kaufen 5 % das Produkt. A) erstelle eine vier Felder Tafel für diese Situation B) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Zeitungsleser, der die Anzeige gelesen hat, das Produkt auch kauft.

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Cool, mit dem Lernzettel konnte ich mich richtig gut auf meine Klassenarbeit vorbereiten. Danke 👍👍

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= 3·1/12 +4·1/1/12 4. +...+ 14 · 12/4 = 8,75 Standardabweichung (relative H.) 1 +...+ 24 S=√(14-8,75)² 1 24 Glücksfeld rot blau 210 24 (3-8,75) ². 1 12 + (13-8,75)² = 3,19 Gewinn 4€ 0€ D₁ = 0₁2 P₂ = 0,8 Erwartungswert: E(X)= 0€ ·∙0,8 + 4€ ·012 = 0,8€ Standardabweichung: 0(x)=√(0-018)² · 0,8+ (4-0₁8) ² · 0₁²² = 1₁6 b) mit Binominalverteilung Bei einem Computerspiel gewinnt man 60% der Spiele. Der Spieler spielt 20-mal hintereinander. Die Zufallsvariable X ist die Anzahl der gewonnenen Spiele. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man genau achtmal gewinnt? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man mindestens zehnmal gewinnt? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man höchstens 15-mal gewinnt? p=0₁6 n = 20 20-8 P(x = 8) = (20) · 0₁68-0₁412 = 0,035 P(x ≥ 10) = A- P(X≤9) = 1-2 (²0) 0,6*·0₁4 20-x = 01872 X=0 0,4 20-* = 0.949 P(x≤15) = 45 X = 0 (²0) · 0₁6* . P(x=1) =0,9 umformung 1- P(x=0) ≥ 0,9 -0.95 + P(X-0) 0₁1 P(x=0)| einsetzen 0,1 ≥ (0) (4) ()" · · 4. Beurteilende Statistik Sigma-Regeln 1. P(u-osxsu+o) = 68,3% 2. P(μ-2σεXεμ+26) = 95,4% 3. P(u-30SXsμ+30) = 99,7% c) 3-mindestens-Aufgabe Berechnen Sie, wie viele Schokoladeneier mindestens gekauft werden müssen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % mindestens eine Sammelfigur zu erhalten - 4. P(u-1,640Xsu+1,640) = 90% 5. P(u-1,960 ≤X≤u+1,960) = 95% 6. P(u-2,580≤x≤μ+2,580) = 99% n 0,1 = (6) " Log & (0,1) ≤ n 15 ≤n Sigma Regeln 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03- 0,02- 0,01- + 0+ 30 P(X-r) 99,7% 95,4% 45 68,3% 10 55 TR: Kumulierte Binomialvert./ Binom CD n-100 p=0,5 Erwartungswert. N: n⋅p = 20⋅ 0₁6 = 12 Standard abweichung: : Anzahl r 70 n⋅p. 1-p=√ 20-0₁6-014 = = 2,19 | Log! Vorzeichen wechselt 100 3 [17,52; 49.14] 17; 50] ← Annahmebereich Einseitiger Hypothesentest Mit einem Würfel wird 200mal gewürfelt. X sei die Anzahl der gewürfelten Einsen. Gib ein Intervall an, in dem 99,7% aller Werte von X liegen. 0 = √n⋅ p⋅ 1-p² = √200.4 = 5,27 1 6 n=200 p = 1/ N⋅ n⋅p = 200. 1/ [N- 30 N + 30] [100-3-5,27; 100+ 3.5.27] Zweiseitiger Hypothesentest VI 8/2 Annahmebereich [a;b] ft Annahmebereich ●Ablehnungsbereich IV NR Ein Spieler vermutet, dass bei einem Glücksspiel ein Würfel verwendet wurde, bei dem nicht alle Zahlen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit fallen. Er vermutet, dass die Wahrscheinlichkeit für die Zahl 1 nicht 1 beträgt. 6 Um dies zu testen, führt er einen zweiseitigen Hypothesentest durch. Er will 100-mal würfeln. Das Signifikanzniveau soll 5% betragen. Formuliere die Entscheidungsregel. ●Sigma -Regeln H₂= p = ₁/2 n = 100 [M-1,960 ; M + 1,960] [9,28; 23.91] [9; 24] ← Anahmebereich [08] [25:100] + Ablehnungbereich X = 0,05 M: 16,6 0=3,73 H₁: p = ² / n = 100 [a,b] P(x≤ a) > 0,025 α = 0,05 H₁: p = 1/ P(x≤ b) > 0,975 P(x ≤10) > 0,025 [0:9] [1024] [25 100] Ablehnungsb. Annahmeb. Ablehnungsb. P(X ≤24) > 0, 975 5. Bedingte Wahrscheinlichkeit In einer Zeitung stehen Werbeanzeigen. Eine Werbeagentur geht davon aus dass 40 % aller Zeitungsleser die Werbeanzeigen auch lesen und dass 6 % die Anzeige lesen und das Produkt auch kaufen. Von den übrigen Zeitungslesern kaufen 5 % das Produkt. A) erstelle eine vier Felder Tafel für diese Situation B) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Zeitungsleser, der die Anzeige gelesen hat, das Produkt auch kauft.