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Stochastik Abitur

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 STOCHASTIK
M. EREIGNISSE
•Ergebnisraum
Der Ereignisraum 2
(Ergebnisse) eines zufallsexperiments.
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-Ereignisse -Wahrscheinlichkeitsrechnung (Baumdiagramme, Laplace, Bedingte Wahrscheinlichkeiten, Stochastische Unabhängigkeit) -Urnenmodelle (Möglichkeiten, Wahrscheinlichkeiten, Bernoulli) -Zufallsgrößen (Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung)

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STOCHASTIK M. EREIGNISSE •Ergebnisraum Der Ereignisraum 2 (Ergebnisse) eines zufallsexperiments. Die Anzahl der Elemente von 12 wird Machtigueit 121 genannt. Ereignis Jede Tellmenge des Ereignisraums beschreibt ein Ereignis A. selbst heißt sicheres Ereignis (tritt auf jeden Fall ein). Die leere Menge {} heißt unmögliches Ereignis (tritt nie ein). Ein einzelnes Ereignis wird auch als Elementarereignis i bezeichnet. Durch die Bildung von Schnitt-/vereinigungsmengen entstehen neue Ereignisse: Gegenereignis A=21A 11 alle Elemente aus die nicht zu A gendren" Schnittmenge ANB 4, alle Elemente aus. 2, die souhl zul A als auch zu B gehören" 12 umfasst alle möglichen Ausgange Vereinigungsmenge AUB alle Elemente aus 2₁ A die zu A, zu B, oder zu beiden generen" BRUNNEN A A n *D n Nur Ereignis A A/B = AnB. 11 alle Elemente aus 2, die zu A aber NICHT zu B. gehören" Ereignis A oder B AIBUBIA = (ANB)U(BNA) 11 alle Elemente aus 2, die entweder zu A ODER ZU B generen Gegenereignis zu AUB AAB = AUB alle Elemente aus 1, die weder zu A noch" zu B generen" Gegeneeignis zu ANB AUB ANB 111 alle Elemente aus 2, nicht gleichzeitig zu A und & generen" A A A ♡ B G FL C 16 2. WAHRSCHEINLICHKEITSRECNUNG 2.1. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff -Definition Die Punution P: A + P(A) mit Ac_√2 und P(A) ER heißt wahrscheinlichkeitsvertelung. Sie erfüllt folgende Bedingungen: 1. Nichtnegativitat: P(A) >0 2. Normierung: P(-2) = 1 3. Addivitāt: P(AUB) = P(A) + P(B), falls P(ANB) = 0 Eigenschaften der Wahrscheinuchheit 0≤ P(A) ≤1 für jedes Ereignis ACR P(R) = 1 • P({})=0 • P(A) = 1- P(A) • P(AUB) = P(A) + P(B)- P(ANB) Additionssatz • Ø P(ANB) = 0 +...

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Ereignis A und Ereignis 3 and invereinbar 2.2. Laplac-Experimente Laplace-Experimente sind zufallsexperimente, bei dem alle Ergebnisse (Elementareseignisse) aus 12 gleich wahrscheinlich sind (bspw. würfelwuif) P(A) = JAI 1221 BRUNNEN Anzan des günstigen Fälle Anzahl der moguchneiten bsp: würfeln einer geraden zahl: P (2;4; 6) = 3/64 würfeln einer s P($) = 2 TIN 2 17 2.3. Baumdiagrame und Vierfeldertafel -1) Baumdiagramm Lo mehrstufige Izusammengestze zufalsexperimente ·PA (B). 0₁2 0,12 P(ANB) P(A) 0,6 PA(B) B. B 018 0,48 P(ANB) •P(B) BRUNNEN P(A) 0,4 P= (B) 0,75 013 P(ANB) Verzweigungsregel Summe der Aste von einem Punkt ausgehend beträgt 1 bop: 0175 +0,125=1 1. Pladregel (Produktregel): Die wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist das Produkt seines Pfades bap: 0,6-0,8 = 0,48 2) Vierfeldertafel 2D verknüpfung zweler Ereignisse A und B A P(ANB) P(ANB) P(A) P(ANB). P(A) M 2. Pfadregel (Summen regel): Die wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der dazugehörigen Pfade bsp: P(L) = 0,48 +0,3 = 0,78 A P(ANB) P(ANB) P(A) PA (B) 0,25 Ⓒ 0,1 P(ANB) P(B) P(B) P(-2)=1 2.4. Bedingte Wahrscheinlich weit Die Durch A bedingte wahrscheinlichkeit von B, ist die wahrschein- lichkeit, dass B eintritt, unter de vorraussetzung, dass vorher A ein- getreten ist. 18 2.5. Stochastische Unabhängigheit. Zwei Ereignisse A und B heißen Stochastisch unabhängig, wenn Sie keinen Einfluss auf das gegenseitige Eintreten haben: PA (B) = P(B) und PB (A) = P(A) Dies ist der Fall wenn gilt: P(ANB) = P(A): P(B), anderenfalls sind sie stochastisch abhängig 3. URNEN MODELLE L▷ mit I ohne zurúculegen LD mit lonne Betrachtung der Reihenfolge. 3.1. Anzahl der Möglichkeiten. mit Betrachtung der Reihenfolge ohne Betrachtung der Reihenfolge n: Anzahl der Kugeln u: Anzahl der Züge mit zurachlegen nk ohne zurüculegen Pl, genau u schwarze ungern") = (1) n! (n-k)! n! u!·(n-4)! 3.2. Wahrscheinlichweltsberechnung a) Ziehen ohne zurücklegen Zieht man aus einer Urne mit N Kugeln, von denen u schwarz sind, n uugeln ohne zuruculegen, so ist die wahrscheinuchuelt für genau u schwarze lugeln : (2)-(4-4). N-K Binomialuoefizient. n|ncr/k BRUNNEN die wahrscheinlichkeit ändert sich mit jedem Zug →→ ohne Reihenfolge = Ziehen mit einem Griff ..19 6) Zienen mit Zurüchlegen. Zieht man aus einer vine mit einem bestimmten Anteil p schwarze Kugeln n uugeln mit zurüchegen, so ist die Wahrscheinlichuelt, genau li schwarze Lugein zu ziehen. Pli, genau ui Schwarze Uugeln") = (~).pu. (^-p)n-k ри 2 bei Betrachtung der Reihenfolge wann diese Formel nicht ange- wendet werden 4: ZUFALLSGRÖSSEN Eine Zufallsgröße oder Zufallsvariable ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reele zaini zu. Die wahrscheinlichweltsverteilung einer Zufallsgröße X gibt an, mit welchen Wahrscheinlichkeiten PriPri P3; ¡Pn die Zufallsgraße die möglichen were X₁₁Xz₁Xz; X₁ annimmt. .X₂ Xn Pn Xi .X₁ P(X=Xi) P₁ Wahrschein- lichkeiten P₂ Schritt 1: Werte, die die Zufallsgröße X annehmen uann, auflisten Schritt 2: Zugehörige wahrscheinuchwelt berechnen Schritt 3 Tabelle und ggf. Stabdiagram estellen P BRUNNEN X₁ P3 X.2 X.3 Xu X5 X6 Standarta bweichung (in beide Richtungen) Zufallsgrößen M.Erwartungswert 20

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