Stochastik Abiturzusammenfassung

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B →Alle Elemente von A Sind auch Elemente von B B A Beziehungen zwischen mengen B Schnittmenge. An B→ Schnittmenge von A und B Aist eine Teilmenge bzw. Untermenge BIA All A ·Vereinigungsmenge AUB → Vereinigungsmenge von. A und B 12 Komplementmenge A von B Differenzmenge Alle Elemente, die zu A oder B gehören 17 A Alle Elemente, die in A und B enthalten. Sind A Sind alle Elemente, die nicht in A enthalten sind Alle Elemente, die in B liegen, aber nicht in A W a P= (Ā) A PIBĀ) Beispiel: h B r (s) (c)(h) (e) 5 PB(A) = 1/2/2 1/² 8 b) (e) (d) (i ↳ Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis A eintritt unter der Bedingung, dass ein anderes Ereignis B eingetreten ist Baumdiagramm P(B). Für zwei Ereignisse A und B mit (P(B) #0) ist PB(A) = P(ANB) P.(B) die bedingte Wahrscheinlichkeit für Ereignis A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist. PB (A) PB(A) A Ā P(BNA) P(B₁A). .5 rote `4 Orangene 19 Kugeln n) (9 t) (e (n) (u) (i)) P (B). Darstellungsmöglichkeiten B = 62,5% PB(A) P(BnA) с → Zweimal ziehen ohne Zurücklegen 1. Wahrscheinlichkeit dafür, dass die 2. Kugel rot ist, Wenn die 1. Kugel auch rot war P²₁ (A) = ²/² = 1/²/² = 50 % 2. Wahrscheinlichkeit dafür, dass die 2. Kugel rot ist, Wenn die 1. Kugel orange war h. Multiplikationssatz: P(An B)=P(B). PB (A) 3. Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide kugeln rot sind P(ANB) = P(B) · P₁₂ (A) = § ₁4 - 15 - 12/2 5.4 = 27,78% 5 18 B 2. Ziehen:Ereignis A: rote kugel 1. Ziehen: Ereignis B: Orangene Kugel B P(ANB) P(ANB) Summe P(A). P(Ā) +100 SIN A Vierfeldertafel. B (t A P(ANB) PAB) P(B) ર્શન A Summe Hoo SIN ro m100 A P. (B) 1 5/0 (00/07 5 Zufallsvariablen Zufallsgrößel Zufallsvariable Eine Zufallsvariable oder Zufallsgröße X ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsversuches eine reele Zahl zu. X = x; ist das Ereignis, zu dem alle Ergebnisse des Zufallsversuches genören, deren Eintritt dazu führt, dass die Zufalls variable X den Wert X; annimmt Man Spricht von der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X, wenn jedem Wert X;,. den X annehmen kann, die Wahrscheinlichkeit P(X=x;) mit der X diesen wert annimmt, zugeordnet wird. Erwartungswert einer Zufallsgröße X sei eine Zufallsgröße mit der Wertemenge x₁,..., Xn Dann ist. M = E(X)= X₁₂₁ · P(x=x₂) + X₂· P(X = x₂) + ... + X₁• P(X= xn) M = E(X) U Erwartungswert Varianz einer Zufallsgröße X sei eine Zufallsgröße mit der Wertemenge X₁, ..., Xn und dem Erwartungswert μ = E(X) v( x) = (x₁¯µ)². P(x = x₂) +(X₂¯M)²: P(x = x₂) + ... +(X₁¯M)³². P(x = x₂) Standardabweichung Die Standardabweichung 1st die Wurzel aus der varianz σ(x)=1v(x). Zufallsgrößen einer Bernoulli-kette X. Sei die Trefferzahl in einer Bernoulli-Kette der Länge n und der Treffer wahrscheinlichkeit p., dann gilt:. M = E(x) = np. und O(x)=1h.p. (1-P) varianz Histogramme 7.1.1. 1···· IA der Binomialverteilung und ihrer Eigenschaften B5.p Abhängigkeit der Binomialverteilung von p (n=5= konst.): p=0,35 p= 0,5 1410 P=0,₁ 4 je größer p, umso weiter rechts liegt das Maximum der verteilung p=q₁s Symmetrische Verteilung ES :s gilt: Bn; p fürk ist das gleiche wie Bn; 1-p für m=n-K (→=Bn;q und Bn; 1-p Sind Spiegel symmetrisch zueinander) Abhängigkeit der Binomialverteilung von n (p=0,4 = Konst.): Bn₁0,4 n=3 dhdhdh Mit wachsendem n → verteilung flacher Mit wachsendem n→ verteilung symmetrischer 2 p=0,65 8 10 Stochastische Unabhängigkeit. Zwei Ereignisse Sind Stochastisch unabhängig, wenn gilt. PB (A) = P(A) (P(A) +0;" P(B) + 0) .10 Beispiel: Aus einer Urne werden zwei Kugeln gezogen. A: rote Kugel im 1. Zug B: rote Kugel im 2. Zug Sind A und B Stochastisch unabhängig? a) Ziehen mit Zurücklegen b) Ziehen ohne Zurücklegen Baumdiagramm Baumdiagramm álos 10 4 10 1. Zug Gleichwertige Bedingungen für Stochastische Unabhängigkeit 1) PB (A) = P(A) 2. Zug Jie 2) P₂ (B) = P(B) A 3) P(ANB)=P(A). P(B) ·P (B) = (²0 · 4 ) + ( 4 4 ) = ²/ 40 4 P₁ (B) = = = ² (grün markiert) 10 → P(B) = PA (B) Die Ereignisse A und B Sind Stochastisch unabhängig 50 O alo 10 عاف 0 1. Zug 2. Zug J P(B) = 1 1 1 1 1 . 10. O colf o colo + colw O colu 10 g P₁ (B) = + (grün markiert) g N/5 →P (B) = P₁(B). Die Ereignisse A und B Sind nicht Stochastisch unabhängig allgemeine Form: S ड P₂ (M)= P = Vierfeldertafel vierfeldertafeln dienen zur Darstellung von Wahrscheinlichkeiten zweier Ereignisse. Beispiel: Bei einer Reisegruppe von Touristen, tragen 60 von 200 Männern Keine Sonnenbrille und von den Frauen tragen 10 eine Sonnenbrille und 40 tragen keine. M. 40 250 60 A Ā B P(ANB) PAB) P(B). 200 B 140 10 P(ANB) P(ANB) P(B). pro pop P(A) P(A) Summe P(MOS) 140 P(S) 150 = 0,16 = 16% M 40 Eine beliebige Person der Reisegruppe mit Sonnenbrille geht verloren. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die ·Person männlich? 50 In die 5 Rand felder werden die Zeilen- und Spaltensummen eingetragen. bedingte Wahrscheinlichkeit. PB(A) (150) (tragen eine Sonnenbrille 100 (< tragen tene) 250 0,9333=93,33 % M: die Person ist männlich M: die Person ist weiblich 200. Männer + 50 Frauen = 250 Menschen ✓ .). ( Sonnenbrille keine 200-60=140 Wie wahrscheinlich ist es, dass eine beliebige Person der Reisegruppe eine Frau ist und keine Sonnenbrille trägt? S: die Person trägt eine Sonnenbrille s : die Person keine Sonnenbrille Sonnenbrille Sonnenbrille 60 ·.10. P(ANB) = P(B) keine Sonnenbrille 40 Binomialverteilung Bernoulli-Experiment man spricht von einem Bernoulli- Experiment, wenn bli linem Zufallsexperiment nur 2 Ausgänge möglich sind, E und E. E gilt als Erfolg und E als Misserfolg. Die Treffer wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit p für das Eintreten von E. Wiederholt man ein Bernoulli-Experiment n-mal, Spricht man von einer Bernoulli-kelte der Längen mit der Treffer wahrscheinlichkeit p... Formel von Bernoulli für Liegt eine Bernoulli-Kette der Länge in mit der Trefferwahrscheinlichkeit p vor, so wird die Wahrscheinlichkeit genau kTreffer mit B(n;p; k) bezeichnet. P(x = k) = B(n;p; k) = (h).pk. (1-p)n-k Bsp Binomialverteilte Zufallsgrößen Binomialverteilung. Es sein eine natürliche Zahl und pe [0, 1] line reele Zahl. Eine Zufallsgröße X heißt Binomialverteilung mit den Parametern in unap, wenn fürk = 0,1,2,...,n gilt: P(x = k) = B(n;p;k) = (2).pk. (1-p) ^-k X = Anzahl der gezogenen. roten Kugeln Berechne P(x=k) für k=0, ..., 4 gegn=4 k = 0, 1, 2, 3, 4 p₁ = 0,4. ( = 3, da 2 von 5 Kugeln rot sina) p = Wahrscheinlichkeit. k Anzahl der Treffer / Erfolge. A n Es werden 4 Kugeln nacheinander mit Zurücklegen gezogen. L binomial verteilt, da clie Bedingungen bei jedem. Ziehen gleich, Sind Lsg= P(x=0) = (4) · 0,4°· (1-0,4) 4-0 = 0,1296 = 12, 96 % · P(x=1) = (4) · 0μ· (1-0,4) 4-1 = 0₁3456 = 34,56% P(x=2) =(4) 0,4² (1-0,4) 4-2 = 0₁ 3456 = 34,561 P(x=3) = (3) 0,4³. (1-0,4) 4-3 = 0,1536 = 15,36% P(x=4) =(4) 0,44. (1-0,4) 4-4 = 0,0256 = 2,56% Binomial koeffizient n. In-^)... (n-k+1) n! (2) = Punkt wahrscheinlichkeit Beispiel: p=9514 n=6 k=3 B( 6; 0,514; 3) = (0,514³. (1-0,514) 6-3 0,31231,2% Intervall wahrscheinlichkeiten -linksseitige Intervallwahrscheinlichkeit Pl x ≤k) P(x ≤k)=P(x=0) + P(x=1) + ... + P(x = k) Bnig ({0;...; }) Beispiel: p= 0,23 n = 6 k= 0,1,2 P(x≤k) = P(x=0) + P(x =1) +P(x=2) Beispiel: p=0,3 n = 12 k =4,5,6,7,8,9,10,11,12 = (6) -0,23⁰ (1-0, 23) 6-0 + (6) -0,23 (1-0,23) 6-4 (5) -0,23² (1-0,.23) 6- = 0,2084 +0,3735 +0,2789 = 0,860886,08% -rechtsseitige Intervallwahrscheinlichkeit P(x2k) = P(x=k) + P(x=k+1) + ... + P(x=h) kumulierte Wahrscheinlichkeit P(K≤ x ≤m) 4 делай X nimmt einen wert an und Zwar k. P(x ≥4)= P(x=4) + P(x=5)+ P(x=6) + ... + P(X= 12) = 1- P(X≤3) = 1-0,4925 = 0,5075 = 50,75% eventuelles Gegenereignis: P(x2 k) = 1- P(x ≤k-1) -klassische Intervall wahrscheinlichkeit . kam. Zusammensetzung":"kumuliert bis m kumuliert bis k-1" oder Punktwahrscheinlichkeiten addieren P(K≤x≤m) = P. (X ≤m) - P(x ².K-1) Beispiel: S.12117 - n=12 p = 0,7 7≤k≤10 P(7≤k≤10)=P( X =7) +P ( X = 8) + P(x =9) + P(x=10) = P(x ≤10) - P(x≤6) 97971 = 79,71% P(x >k)=P(x >k + 1) = 1 - P ( x≤k). P.( x <k) = P( x ≤k -1) 3-mal mindestens... → Berechnung der Länge einer Bernoulli-Kette um die Ansatzgleichung zu erfüllen → 3 Bedingungen mit mindestens Vorgehensweise 1. Ungleichung für den Sachverhalt aufstellen P(X.=K). = wahr. Scheinlichkeit 2. Ungleichung mit Gegenereignis aufstellen 1- P(x=0) 2. Wahrscheinlichkeit 3. um formen nach P Beispiel 1: Wie oft muss ein Würfel mindestens geworfen werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit. von mindestens 98% mindestens einmal die Sechs fällt?. 1. P(x ≥ 1) 2.0,98 1-P.(x=0) ≥ 0,98 1 + P(X=0) 1-0,98 P(x=0) ≤ 0,02 n P.(x =0) = (=) ^ 4. einsetzen in Bernoulli Formel → (Gegenwahrscheinlichkeit)" = (1-Wahrscheinlichkeit) 5. umstellen nach n (mit Logarithmus) (5) ≤0,02 llg 19 (1) ^ n. 19 €/ n n Aufgaben ≤ 19 0,02 ≤ 19 0,02 1:19 219 0,02 1923/2015 Das Vergleichszeichen dreht sich, da durch eine negative Zahl dividiert wird (der log* für 0<x< 1 ist immer negativ) ≥ 21,5 Das Ergebnis wird immer aufgerundet →Der Würfel muss mindestens 22-mal geworfen werden damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 98% mindestens einmal die Sechs fällt. Schluss von der Gesamtheit auf die Stichprobe - Umgebung des Erwartungswertes μ der Trefferzahl -Wahrscheinlichkeit, mit der die Trefferzahl in die Umgebung des Erwartungswertes fallen wird (=vertrauenswahrscheinlichkeit) Prognoseintervalle •häufige verwendung: 10 - Umgebungen (68,3%) 20-Umgebungen (95,5%) 30-Umgebungen (99,7%) - merkmale:-wahrscheinlichkeit p ist gegeben Strichpoben umfang n ist gegeben - Prognose für Ergelonisse eines Bernoulli-versuchs ist gesucht 90%-Prognose intervall → [μ(x)-1,646 ≤ x ≤ μ(x) + 1,640] 95%-Prognose intervall → [M(x)-1,96 0 ≤ x ≤ μ(x) +1,960] 99% - Prognose intervall → [M(x)-2,580 ≤ x ≤ M(x) + 2,580] Beispiel: Eine Bäckerei bestelt 800 Brötchen, von denen ein Brötchen mit. einer Wahrscheinlichkeit von 15% verbrannt ist. Die Bäckerin will eine Prognose über die Anzahl der verbrannten Brötchen, die mit einer Sicherheit von 95%.. lintritt. geg: n=₁ 800 p = 0,15 95% 1,960-Umgebung Lsg: E(x) = μ(x) = h⋅p = 800·0,15 = 120. ·5(x) = 1n.p.(^-p)¹ =√120·0,15. (1-0,15)=3,9115> 3 Anwendung der Sigma-Regeln. Intervall [M(x)-1,960 ≤ x ≤ μ(x) + 1,960] [120-1,96-3, 9115 ≤ x ≤ 120+1,96.3,9115] [112,33 ≤ x ≤ 127,67] [112 ≤x≤128] La Place-Bedingung erfüllt Mit einer Wahrscheinlichkeit von circa 95% werden zwischen 112 und 128 Brötchen verbrannt sein. VERTRAVENSINTERVALLE Bestimmung von vertrauensintervallen Merkmale:-p ist unbekannt X hn == Strichpobenumfang n ist gegeben. relative Häufigkeit Ihn-pl = o |_X -p| c/mp (1-P) n (Konfidenzintervalle) ↳ Intervall in dem Näherungsformel: gilt nur für 0,3≤p≤0,7 [hn-, hnton] [ha- nachp auflösen mit einer Wahrscheinlichkeit von 68,3% liegt: [P-₁ p+] In⋅hn⋅ (1-hn) n Lsg.: hn 1710 171 3500 350 Näherungsformel: 1-pl ≤20 nn + In⋅hn·(1-hn) n Beispiel: Eine Münze wird 3500-mal geworfen, wobei 1710-mal Kopf oben liegt. Entscheide, ob die Münze mit einer vertrauenswahrscheinlichkeit von 95,5% echt ist.. 0,4886 | 171 -pl = 0,0169 350 ·10 - Umgebungen (68,3%) 20-Umgebungen (95,5%) 30-Umgebungen (99,7%) n.hn. (1-hn) 90%-Intervall → 1,640 95%-Intervall → 1,960 99% - Intervall → 2,580 95,5% 20 Umgebung X = 1710 n = 3500 1 / -pl ≤ 2 171-pl = 2√3500-150 (1-10) 350 3500 Vertrauensintervall: [0,4886-0,0169 ≤p ≤ 0,4886 -0,0169] C0,4717 Sp ≤ 0,5055] → Die Münze ist mit einer vertrauenswahrscheinlichkeit von 95,5% echt, da die Wahrscheinlichkeit, dass kopf oben liegt bei einer Münze 0,5 beträgt und diese Wahrscheinlichkeit innerhalb des Vertrauensintervalls liegt.