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Stochastik Abiturzusammenfassung

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 STOCHASTIK
Zufallsversuch
Ein Versuch mit mehreren möglichen Ergebnissen, deren Eintreten nicht
vorhergesagt werden kann
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- Zufallsversuche, Wahrscheinlichkeiten, La Place - Baumdiagramm/Pfadregeln - bedingte Wahrscheinlichkeit - Zufallsvariablen - Stochastische Unabhängigkeit - Vierfeldertafel - Binomialverteilung - Prognoseintervalle - Konfidenzintervalle

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STOCHASTIK Zufallsversuch Ein Versuch mit mehreren möglichen Ergebnissen, deren Eintreten nicht vorhergesagt werden kann Eigenschaften Zufallsexperimente: - gibt mehrere mögliche Ergebnisse Beispiele:-Werfen einer Münze oder lines Würfels -Ziehen einer karte -Drehen eines Glückrads Häufigkeit absolute Häufigkeit: Anzahl des Auftretens eines Ergebnisses (Hx (n)) ↳ Wie oft x innerhalb einer Stichprobe mit dem umfang n vorkommt relative Häufigkeit: h(x) (hx (n)) - Experiment kann beliebig oft wiederholt werden -Zwei Ergebnisse können nicht gleichzeitig eintreten -Ergebnis kann nicht vorher gesagt werden -Regeln und Bedingungen werden während des Experiments nicht geändert = La Place Formel: P(E) 8 Hn (x) n E 3 wahrscheinlichkeit berechnen absolute Häufigkeit Gesamtanzahl der versuche PIEJ Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E € = Anzahl der günstigen Ergebnisse n = Anzahl der möglichen. Ergebnisse Sind alle Versuche gleich wahrscheinlich, spricht man von einem La Place - versuch Definitionen mehrstufige Zufallsexperimente: → Zufallsexperiment, das aus mehreren Teilvorgängen besteht, die zufällig Sind →2 Teil vorgänge: Zweistufiger Zufallsversuch Ergebnis: -Ausgang eines Zufalls versuches. Ergebnis raum: menge aller Ergebnisse ·(52) Ereignis:-Verbund" von möglichen Ergebnissen Sicheres Ereignis (p = 100%) •unmögliches Ereignis (p = 0x) Darstellung Baumdiagramm: → Stellt Zufalls versuche übersichtlich dar → hilfreich, wenn ein mehrstufiger Zufalls versuch vorliegt 1 Teilvorgang Ⓒ2. Teilvorgang 1. Pfadregel / Produktregel Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des jeweiligen Pfades im Baumdiagramm. 2. Pfadregel / Summenregel Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten. aller Pfade, die für dieses Ereignis günstig sind. A=BA und B sind gleich A=B AC B Beziehungen zwischen Mengen B A B →Alle...

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Elemente von A Sind auch Elemente von B Schnittmenge. An B→ Schnittmenge von A und B Aist eine Telmenge bzw. Untermenge BIA // A A vereinigungsmenge AUB → Vereinigungsmenge von. A und B 2 Komplementmenge von B. Alle Elemente, die zu A oder B gehören 17 Differenzmenge Alle Elemente, die in A und B enthalten. Sind A A Sind alle Elemente, die nicht in A enthalten sind Alle Elemente, die In B liegen, aber nicht in A W a P= (Ā) PIBĀ) Beispiel: 9 (c) (i) Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis A eintritt unter der Bedingung, dass ein anderes Ereignis B eingetreten ist B e (s). (c)(h) (e) (d) (i Baumdiagramm P(B). Für Zwei Ereignisse A und B mit (P(B) #0) ist PB(A) = P(ANB) P.(B) die bedingte Wahrscheinlichkeit für Ereignis A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist. PB (A) PB(A) A PIBNA) P(BOA). 9 Kugeln 5 rote \4 Orangene n P (B). 5 PB(A) = = = 62,5 % Darstellungsmöglichkeiten B PB(A) P(BNA). t) (e → Zweimal ziehen ohne Zurücklegen 1. Wahrscheinlichkeit dafür, dass die 2. Kugel rot ist, Wenn die 1. Kugel auch rot war P² (A) = = = = = 50% Multiplicationssatz: P(An B)=P(B). PB (A) 2. Wahrscheinlichkeit dafür, dass die 2. Kugel rot ist, Wenn die 1. Kugel orange war h. 3. Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide kugeln rot sind P(ANB) = P(B) · P₁₂ (A) = 5/₁4/2 - 3/₁1/20 노 = -24 27,78% B 2. Ziehen: Ereignis A: rote kugel 1. Ziehen: Ereignis B: orangene Kugel B P(ANB) P(ANB) P.(B) Summe P(A). P(Ā) 1 A N/A Vierfeldertafel. A Ā Summe P(ANB) PAB) P(B) B (t) છગન Hoo SIN m100 A J|0 s 1000 5 8 Zufallsvariablen Zufallsgrößel Zufalls variable Eine Zufallsvariable oder Zufallsgröße X ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsversuches eine reele Zahl zu. X= x; ist das Ereignis, zu dem alle Ergebnisse des Zufallsversuches genören, deren Eintritt dazu führt, dass die Zufalls variable X den Wert X; annimmt xi, Man Spricht von der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X, wenn jedem Wert X;,. den X annehmen kann, die Wahrscheinlichkeit P(X=x;) mit der X diesen Wert ann nnimmt, zugeordnet wird. Erwartungswert einer Zufallsgröße X sei eine Zufallsgröße mit.der wertemenge x₁, ..., xn Dann ist. M= = E(x) = x₁· P(x=x₂) + X₂.· P(X ≤ x₂) +... + Xn• P(X= xn) M = E(X) U Erwartungswert Varianz einer Zufallsgröße X sei eine Zufallsgröße mit der Wertemenge X₁, ..., Xn und dem Erwartungswert μ = E(X) V(x) = (x₁¯M)². P(x = x₁) +(X₂¯M)²; P(x = x₂] + ... +(Xn¯μ)². P(x = x₂) Standardabweichung Die Standardabweichung ist die Wurtel aus der varianz 5(x)=√V(x) Zufallsgrößen einer Bernoulli-kette X. Sei die Trefferzahl in einer Bernoulli-Kette der Länge n und der Treffer wahrscheinlichkeit p, dann gilt: M = E(x)=n·p. O(x)=¹h.p. (1-P) und varianz

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