Stochastik

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relative Häufigkeit ist, wenn alle absoluten Häufigkeiten als Dividend durch den Divisor der gesamten Anzahl geteilt werden, also z.B: 2 3 0,21 0,37 2 4 1 0,16 3 7 4 3 5 2 4 0,16 5 0,11 Gesamt 19 6 0 3.4 Erwartungswert / Standardabweichung Synonyme: Durchschnitt; Mittelwert; Streuungsverhalten; Streuverhalten; Durchschnittliche Abweichung ● Ziel: Den Durchschnitt einer Häufigkeitsverteilung ermitteln und wie weit die Ergebnisse davon streut sind Gesamt 1 Berechnung: O Der Erwartungswert wird als E(x), x oder u bezeichnet und gibt den Durchschnitt einer Häufigkeitsverteilung an Bei absoluten Häufigkeiten berechnet sich μ = x1 *N₁+x2*N₂+x3*N3+...+xn*Nn n ● ● O O 3.5 Kombinatorik Ziel: Es gibt verschiedene Arten, ein Zufallsexperiment mit verschiedenen Ereignissen durchzuführen, wofür es immer andere Rechenwege gibt. Hier gilt es, herauszufinden, wie viele Ereignisse ein mehrstufiges Zufallsexperiment haben kann ● ● O O Bei relativen Häufigkeiten ist u≈ P₁ * N₁ + P₂ * N₂+...+Pn * NN Die Standardabweichung gibt an, in welchem Bereich sich durchschnittlich 68,3% aller Ergebnisse vom Mittelwert befinden Die Standardabweichung wird mit einem o bezeichnet Erklärung: O ,,Mit Zurücklegen" meint, dass die Kugeln (wenn z.B. Kugeln gezogen werden) nach dem Ziehen zurückgelegt werden → Die Wahrscheinlichkeiten bleiben konstant ,,Mit Reihenfolge" meint, dass es wichtig ist, in welcher Reihenfolge die Kugeln gezogen werden, also z.B. P (Schwarz, Rot, Schwarz) wäre ein Ereignis, bei dem die Reihenfolge wichtig ist Berechnung: n = Anzahl der Elemente k = Anzahl der gezogenen Elemente Bei absoluten Häufigkeiten ist o = Bei relativen Häufigkeiten ist 0≈ √√P₁ * (x − x₁)² + P₂ * (x − x₂)²+...+ Pn * (x − xn)² Die Standardabweichung addiert und subtrahiert man jeweils einmal vom Erwartungswert und erhält den Intervall für ca. 68% aller Ergebnisse [μ -o; μ+o] O mit Zurücklegen ohne Zurücklegen ,,Ohne Reihenfolge" meint, dass es nur auf die Anzahl ankommt, die Reihenfolge aber egal ist, also z.B. P(1 * Rot, 2 * Schwarz) O n!n Fakultät O O 5! 5* 4 * 3*2*1 (2) (x-x₁)²+(x-x₂)²+...+(x-xn)² n Binomialkoeffizient = 3.6 Bedingte Wahrscheinlichkeiten mit Reihenfolge nk n! (n-k)! n! k!*(n-k)! O Taschenrechner: Home → 2nd +5 →7: Wahrscheinlichkeit 3: Kombinat(n, k) ohne Reihenfolge (n + k-1) (22) Ziel: Wahrscheinlichkeiten, die sich gegenseitig bedingen, ermitteln Die Wahrscheinlichkeiten B der zweiten Stufe eines Zufallsexperiments sind je nachdem, ob A oder A gilt, unterschiedlich PA(B) bedeutet Wahrscheinlichkeit B unter der Bedingung von A P(An B) bedeutet Wahrscheinlichkeit für A und B 3.7 Bernoulli-Experiment / Binomialverteilung 3.7.1 Bedingungen ● Eine Binomialverteilung liegt vor, wenn: 3.7.2 Bernoulliformel Ziel: Die Wahrscheinlichkeit für (ein) Ergebnis/se eines Bernoulli-Experimentes einfach berechnen ● ● Taschenrechner ,,Eine Wahrscheinlichkeit": Home Catalog → F3 → BinEwkt(n, p, k) Taschenrechner ,,Summe aller Wahrscheinlichkeiten von k = a bis k = b": Home Catalog → F3 → Binlwkt(n, p, a, b) • P(X k) = 1- P(X <k) = 1 - P(X ≤k-1) 3.7.3 Erwartungswert / Standardabweichung ● Ziel: μ und eines Bernoulli-Experimentes einfach berechnen ● O es genau 2 mögliche Ergebnisse gibt S = = {A; Ā} O die Wahrscheinlichkeiten unabhängig voneinander sind O p für eine Wahrscheinlichkeit konstant bleibt ● ● n Anzahl der Möglichkeiten k Anzahl der gewünschten Möglichkeiten p = Wahrscheinlichkeit der gewünschten Möglichkeit X Name des gewünschten Ergebnisses P(X = k) = () * pk * (1 − p)n-k 3.7.4 o-Umgebungen ● Berechnung: O μ = np O o = √np(1-p) Ziel: Überprüfen, wie viel % der gesamten Ereignismenge sich in einer Vielfachen o- Umgebung von u befinden [μ-ko; μ + ko] O k=1 → P(u-o ≤ x ≤µ+o) ≈ 0,683 o k=2→P(μ - 2σ < X < μ + 2σ) ~ 0,954 o k = 3→ P(μ-30 ≤ x ≤μ +30) ≈ 0,997 Alle Werte befinden sich im Tafelwerk auf Seite 43 3.7.5 Histogramme ● Ziel: Wahrscheinlichkeitsverteilungen grafisch darstellen Von jeder natürlichen Ergebnismenge wird ein Balken in Höhe der Wahrscheinlichkeit p gezeichnet, der ±0,5 Einheiten in beide Richtungen breit ist Der Flächeninhalt dieser Fläche entspricht somit der Wahrscheinlichkeit ● Histogramme sehen z.B. so aus: ● 0,25 0,2- 0,15 0,1- 0,05- 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.7.6 Parameter bestimmen Ziel: Manchmal fehlen gewisse Parameter bei einer Binomialverteilung, die man berechnen muss Der höchste Balken eines Histogramms ist immer der Erwartungswert u der Binomialverteilung Berechnungen mit Beispielen: O Ein Flugzeug hat 194 Plätze. Die Fluggesellschaft verkauft aber 200 Tickets, weil laut ihrer Statistik durchschnittlich nur 95% aller Gäste, die gebucht haben, zum Flug erscheinen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit muss mehr als ein Fluggast entschädigt werden? O Wenn mindestens 196 Fluggäste erscheinen, muss mehr als ein Fluggst entschädigt werden: P(X ≥ 196) = 1- P(X ≤ 195) = 0,0264 Parameter n bestimmen: In einem Land sind 4% der männlichen Bevölkerung farbenblind. Wie groß muss eine Gruppe von Männern in dem Land mindestens sein, damit mit mindestens 90 Prozent Wahrscheinlichkeit fünf auf der Gruppe farbenblind sind? Es muss gelten: P(F ≥ 5) ≥ 0,9 bzw. P(F ≤4) ≤ 0,1 Man bildet eine Funktion im y-Editor: y = Binlwkt (X, 0.04,4) und schaut in der Tabelle, ab welcher natürlichen Zahl 0,1 unterschritten wird O Parameter p bestimmen: Jedes Bauteil in einer Produktionsserie fällt mit der Wahrscheinlichkeit p aus. Wie groß darf p höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% höchstens zehn von 100 Bauteilen ausfallen? Es muss gelten: P(A ≤ 10) ≥ 0,8 Man stellt zwei Gleichungen im y-Editor auf, einmal die kumulierte Wahrscheinlichkeit mit x für den Parameter p als Unbekannte und einmal y = 0,8 um den Schnittpunkt ermitteln zu können Der Schnittpunkt sagt einem, wie groß p sein muss 3.7.7 Konfidenzintervall für p Ziel: Relative Häufigkeitsangaben in denen sich bestimmte prozentuale Anteile der Gesamtergebnisse befinden (vergleichbar mit der o-Umgebung) Berechnung: O O ● ● ● ● ● O 3.8 Dichteverteilung / Normalverteilung ● p≈ h Um eine bestimmte prozentuale Anzahl von Wahrscheinlichkeiten in einem Bereich angeben zu können, benutzt man das folgende Intervall (k aus dem Tafelwerk entnehmen) k%: h-k O h*(1-h) n ; h + k h*(1-h) n Ziel: Wird verwendet, wenn es als Ergebnis reelle Zahlen gibt Ist eine Verteilung nicht normalverteilt, so gilt: O Dichtefkt.: f(x) ≥ 0, Vx € [a, b] O f f(x) dx = 1 → Wahrscheinlichkeit P Fläche μ = 50 (x *) (x * f (x)) dx 0 0 = (x-μ)² + f(x) dx Die häufigste Dichtefunktion ist die Gaußsche Glockenkurve: 4(x) = e(-), sie ist normalverteilt σνιπ Die Wahrscheinlichkeit ist die Fläche, also die Stammfunktion der Gaußschen Glockenkurve: (x) = f(x) = 1 → Indem man die Grenzen neu setzt, kann man die Dichteverteilung innerhalb zweier Grenzen ermitteln Näherungsweise Berechnung von Intervallwahrscheinlichkeiten bei Binomialverteilung: O Für eine Binomialverteilung mit n Stufen und der Erfolgswahrscheinlichkeit p, also mit dem Erwartungswert μ = np und der Standardabweichung o = √np(1 − p) > 3 gilt für die Anzahl X der Erfolge: O P(k ≤ x ≤ 1) = √² +0,5 P(x) dx Taschenrechner: Home Catalog → F3NV_Dfkt(x, u, o) zum Berechnen einer Einzelwahrscheinlichkeit Taschenrechner: Home → Catalog → F3 → NV_Iwkt("von","bis",μ,o)