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13.2.2021
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Empirisches Gesetz der großen Zahlen: Die relative Häufigkeit eines Ereignisses stabilisiert sich mit steigender Anzahl von Versuchen um einen festen Wert Mathe Leistungskurs Verabitur Qualitative Merkmale prägen sich als Zahlen auf einer metrischen Skala aus Körpergröße, Gewicht, Anzahl = {eniezi... i en} Ergebnisraum, Menge aller möglichen Ergebnisse X= 2 Arithmetisches Mittel Summe aller Daten Anzahl aller Daten x= Bsp: E₁ = {1,3,5,7,93 €₂= {0.3.6.0} Vereinigungsmenge E₁ U E₂ = { 0, 1, 3, 5, 6, 7,9} Schnittmenge E₁ E₂ = {3,93 Definition Zufallsexperiment: -unter gleichen Bedingungen wiederholbar -alle möglichen Ergebnisse sind vorher bekannt -Ergebnis lässt sich nicht mit Sicherheit vorhersagen EEN Teilmenge des Ergebnisraumes 2.5+3 6+4.7 +2.8 2+3+4+2 Quantitative Merkmale können in nominale Merkmale mit Namen (Haarfarbe, Telefonnummer) und ordinale Merkmale mit Rängen (Schulnoten,Skala 1-10) unterteilt werden = 6,55 Additionssatz: P(E₂UE₂)= P/E)+ P(E₂) - P(E₁ E₂) X; a; 2 3 7 4 8 2 5610 E= E = Sicheres Ereignis Unmögliches Ereignis Gegenereignis E₁= {0,2,4,6,8 3 Empirische Standardabweichung = Wurzel aus der mittleren quadratischen Abweichung der Daten vom arithmetischen Mittel der Verteilung S=√(5-6,5S) ².2 + ( 6 - 6,55)². 3 + (7-6,55) ².4 + ( 8- 6,551².2 Laplace-Experiment ↳ Wahrscheinlichkeit für alle Ergebnisse gleich Z.B. Glücksrad, Münze ● P(E)= IE/ ● Anzahl der für E günstigen Ergebnisse •Relative Häufigkeit ↳ wird nach dem Experiment bestimmt ↳ gibt an, welchen Anteil am gesamten Datensatz die Merkmalsausprägung besitzt = II Anzahl aller möglichen Ergebnisse Bedingte Wahrscheinlichkeit P(A/B)=P(B)- PB(A) -3 •Totale wahrscheinlichkeit P(S) = P(R) + P (S) + P(R) + PR(S) Ziehen mit Zurücklegen, Reihenfolge wird berücksichtigt 45.5=25 nk Bsp.: Urne, 11 Kugeln E= {2,3,5,7,1 PIE)= 틂 Kombinatorik 2 Ziehen ohne zurücklegen, Reihenfolge wird berücksichtigt nl (n-k)! Absolute Häufigkeit ↳ gibt an, wie oft die merkmals- ausprägung vorkommt (Un) abhängige Ereignisse PR(S)=P(S) oder...
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P₂ (R)=P(R) Selber wertz unalohängig Verschiedene Werte = abhängig n= Anzahl Möglichkeiten K = Anzahl Züge 3 Ziehen ohne Zurücklegen, Reihenfolge wird nicht berücksichtigt (A)=. n! k!·(n-k)! Bernoulli Ketten ठे वे वे वे वे ग्वे वे 2 ə वे ə ə ə ə -Ein Zufallsversuch wird als Bernoulli-Versuch bezeichnet, wenn es nur zwei Ausgänge E und E gibt. -E wird als Treffer (Erfolg) und Ē als Niete (Misserfolg) bezeichnet -Die Wahrscheinlichkeit p für das Eintreten von E wird als Trefferwahrscheinlichkeit bezeichnet. Bsp: Münzwurf, Werfen eines Würfels (Sechs/Keine Sechs), Überprüfen Bauteil (defekt/ nicht defekt) - Wiederholt man einen Bernoulli-Versuch n-mal in exakt gleicher Weise, so spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge n mit der Trefferwahrscheinlichkeit p K P(X=k) =B(n;p;k)= (p². (1-p)^-k р Der Fall P(x≤K) • P(X ≤2)=P(X=0) +P(X=A) +P(X=2) TR => kumul. -Bionom. - Verteilung 2 Der Fall P(x ≥k) • P(X27) = 1-P(X ≤6) L>Gegenwahrscheinlichkeit! 3 Der Fall P (K₁ ≤ x ≤ K₂) P(3≤x≤8) = P(x≤8) - P(x≤2) 4 Bestimmung der Kettenlänge P(X21) 20,95 1- P(X=0) ≥ 0,95 P(X=0) ≤ 0.05 B(nipik) ≤ 0,05 B(n;0,25;0) ≤ 0,05 (6)-0.25° (0)-0,25-0,75 ≤ 0,05 =& 0,75 0,05 n. In (0,75) ≤ In (0,05) na In (0,05) In (0,75) >= 10,41 Tabellarische und graphische Darstellung K | P(X=K) PIX=K)= B(4;0,3; k) 0,4+ O 0,24 1 0,411 0,265 3 0₁ B(5;0,2; k) Bionomialverteilungen 2 Eigenschaften Bionomial verteilung in Albhängigkeit van p B(5;0,8; k) I B(3; 0,4; k) 2 B(5;0,4; k) B(5;0,5; k) वे वे वे वे • Je größer p ist, umso weiter rechts liegt das Maximum der Verteilung •Es gilt die Symmetrie beziehung Bln, p,k) = B(n; 1-Pin-k) 3 Eigenschaften der Bionomial verteilung in Abhängigkeit von n • Für p=0,5 liegt das Verteilungsmaximum mittig B(8; 0,4; k) वे वे ठे वे ठे वे वे • Je größer n ist, umso breiter und flacher ist das Diagramm der Verteilung •Je größer n ist, umso weiter rechts liegt das Maximum der Verteilung •Je größern ist, umso symmetrischer wirkt das Verteilungsbild Ⓒ Erwartungswert und Standardabweichung E(X)=N=n-p o²= V(x)= n.p.(1-p) → Varianz o=√n·P·(1-p) →> Standard abweichung, Streuungsmaß 5 Sigmaregeln ↳ wenn die sogenannte Laplace-Bedingung o>3 erfüllt ist, erhält man mit den Sigmaregein folgende zuverlässige werte: P/µ- 0 ≤ × ≤ µ +0) ≈ 68,3% der Werte von X liegen in diesem Intervall P/N-20≤x≤μ+2.0) ≈ 95,5% PN-3·0 ≤ x ≤ +3·0) ≈ 99,7% Bsp: n=100 p = & 1₁ N= n. p= 100- 1 = 16.67 2. 0 = √100¹1. (1-1) = 3,73 3. N-2.0 ≤x≤ N+2.0 16,67-2-3,73 ≤ x ≤ 16,67 + 2.3,73 9,21 ≤ x ≤ 24, 13 10 ≤ x ≤ 24 aufrunden abrunden Mermalverteilung Häufigkeitsverteilung für eine stetige Zufallsgröße X • sehen glockenförmig aus, symmetrisch zum Mittelwert x ● die relativen Häufigkeiten nähern sich für größer werdende Abweichungen von dem Mittelwert immer mehr der Nu In den Bereich [x-s; x+s] fallen bei einer langen Versuchsreine ca 68,8% der Ergebnisse Für die Werte der Zufallsgrößen werden klassen gebildet Häufigkeitsdiante · • relativen Häufigkeiten entsprechen den maßzahlen der Flächeninhalte der jeweiligen Rechtecke hi • di -o relat. Häufigkeit Axi Rechtecksbreite • Flächen ergeben 1 2usammen Dichtefunktion WP Fläche WP Standardabweichung Erwartungswert 8-6 P(06X2013 Juveak and [emaks P(a≤x≤ Saxlax f(x) dx = 1 -00 standardnormalverteilung • Dichte funktion: 4(z) = 1 . • Z = X-P ↳ Durch die Standardisierung mit dieser Formel, kann jede Normalverteilung in eine Normalverteilung mit dem Erwartungswert i und der Standardabweichung 1, die sogenannte Standardnormalverteiling überführt werden 4p(z) 6 Mögliche Aufgaben • Ermittlung kleinster K- wert : Maximal 10%. 1-1(K-15) 20₁1 ગર 1-1 -1(K-152-019 1-(-47 0.22 TR: 73! 1.0 22² e I (K-45) ≥ 0,9