Stochastik komplett!

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P₂ (R)=P(R) Selber wertz unalohängig Verschiedene Werte = abhängig n= Anzahl Möglichkeiten K = Anzahl Züge 3 Ziehen ohne Zurücklegen, Reihenfolge wird nicht berücksichtigt (A)=. n! k!·(n-k)! Bernoulli Ketten ठे वे वे वे वे ग्वे वे 2 ə वे ə ə ə ə -Ein Zufallsversuch wird als Bernoulli-Versuch bezeichnet, wenn es nur zwei Ausgänge E und E gibt. -E wird als Treffer (Erfolg) und Ē als Niete (Misserfolg) bezeichnet -Die Wahrscheinlichkeit p für das Eintreten von E wird als Trefferwahrscheinlichkeit bezeichnet. Bsp: Münzwurf, Werfen eines Würfels (Sechs/Keine Sechs), Überprüfen Bauteil (defekt/ nicht defekt) - Wiederholt man einen Bernoulli-Versuch n-mal in exakt gleicher Weise, so spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge n mit der Trefferwahrscheinlichkeit p K P(X=k) =B(n;p;k)= (p². (1-p)^-k р Der Fall P(x≤K) • P(X ≤2)=P(X=0) +P(X=A) +P(X=2) TR => kumul. -Bionom. - Verteilung 2 Der Fall P(x ≥k) • P(X27) = 1-P(X ≤6) L>Gegenwahrscheinlichkeit! 3 Der Fall P (K₁ ≤ x ≤ K₂) P(3≤x≤8) = P(x≤8) - P(x≤2) 4 Bestimmung der Kettenlänge P(X21) 20,95 1- P(X=0) ≥ 0,95 P(X=0) ≤ 0.05 B(nipik) ≤ 0,05 B(n;0,25;0) ≤ 0,05 (6)-0.25° (0)-0,25-0,75 ≤ 0,05 =& 0,75 0,05 n. In (0,75) ≤ In (0,05) na In (0,05) In (0,75) >= 10,41 Tabellarische und graphische Darstellung K | P(X=K) PIX=K)= B(4;0,3; k) 0,4+ O 0,24 1 0,411 0,265 3 0₁ B(5;0,2; k) Bionomialverteilungen 2 Eigenschaften Bionomial verteilung in Albhängigkeit van p B(5;0,8; k) I B(3; 0,4; k) 2 B(5;0,4; k) B(5;0,5; k) वे वे वे वे • Je größer p ist, umso weiter rechts liegt das Maximum der Verteilung •Es gilt die Symmetrie beziehung Bln, p,k) = B(n; 1-Pin-k) 3 Eigenschaften der Bionomial verteilung in Abhängigkeit von n • Für p=0,5 liegt das Verteilungsmaximum mittig B(8; 0,4; k) वे वे ठे वे ठे वे वे • Je größer n ist, umso breiter und flacher ist das Diagramm der Verteilung •Je größer n ist, umso weiter rechts liegt das Maximum der Verteilung •Je größern ist, umso symmetrischer wirkt das Verteilungsbild Ⓒ Erwartungswert und Standardabweichung E(X)=N=n-p o²= V(x)= n.p.(1-p) → Varianz o=√n·P·(1-p) →> Standard abweichung, Streuungsmaß 5 Sigmaregeln ↳ wenn die sogenannte Laplace-Bedingung o>3 erfüllt ist, erhält man mit den Sigmaregein folgende zuverlässige werte: P/µ- 0 ≤ × ≤ µ +0) ≈ 68,3% der Werte von X liegen in diesem Intervall P/N-20≤x≤μ+2.0) ≈ 95,5% PN-3·0 ≤ x ≤ +3·0) ≈ 99,7% Bsp: n=100 p = & 1₁ N= n. p= 100- 1 = 16.67 2. 0 = √100¹1. (1-1) = 3,73 3. N-2.0 ≤x≤ N+2.0 16,67-2-3,73 ≤ x ≤ 16,67 + 2.3,73 9,21 ≤ x ≤ 24, 13 10 ≤ x ≤ 24 aufrunden abrunden Mermalverteilung Häufigkeitsverteilung für eine stetige Zufallsgröße X • sehen glockenförmig aus, symmetrisch zum Mittelwert x ● die relativen Häufigkeiten nähern sich für größer werdende Abweichungen von dem Mittelwert immer mehr der Nu In den Bereich [x-s; x+s] fallen bei einer langen Versuchsreine ca 68,8% der Ergebnisse Für die Werte der Zufallsgrößen werden klassen gebildet Häufigkeitsdiante · • relativen Häufigkeiten entsprechen den maßzahlen der Flächeninhalte der jeweiligen Rechtecke hi • di -o relat. Häufigkeit Axi Rechtecksbreite • Flächen ergeben 1 2usammen Dichtefunktion WP Fläche WP Standardabweichung Erwartungswert 8-6 P(06X2013 Juveak and [emaks P(a≤x≤ Saxlax f(x) dx = 1 -00 standardnormalverteilung • Dichte funktion: 4(z) = 1 . • Z = X-P ↳ Durch die Standardisierung mit dieser Formel, kann jede Normalverteilung in eine Normalverteilung mit dem Erwartungswert i und der Standardabweichung 1, die sogenannte Standardnormalverteiling überführt werden 4p(z) 6 Mögliche Aufgaben • Ermittlung kleinster K- wert : Maximal 10%. 1-1(K-15) 20₁1 ગર 1-1 -1(K-152-019 1-(-47 0.22 TR: 73! 1.0 22² e I (K-45) ≥ 0,9