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Empirisches Gesetz der großen Zahlen: Die relative Häufigkeit eines Ereignisses stabilisiert sich mit steigender Anzahl von Versuchen um einen festen Wert Qualitative Merkmale prägen sich als Zahlen auf einer metrischen Skala aus - Körpergröße, Gewicht, Anzahl Mathe Leistungskurs Vorabitur R = {e₁iezi... i en} Ergebnisraum, Menge aller möglichen Ergebnisse 3 Schnittmenge E₁ E₂ = {3₁9} Arithmetisches Mittel Summe aller Daten Anzahl aller Daten X=₁ x= Bsp: E₁ = {1.3.5.7.93 €₂= {0.3.6.03 Ⓒ Vereinigungsmenge E₁ U E₂ = 0,1,3,5,6,7,9} ठे वे वे वेवे ग्वे वे ठे ठे ठे ठे ठे ठे Definition Zufallsexperiment: 2.5+3 6+4.7 +2.8 2+3+4+2 EEN Teilmenge des Ergebnisraumes = 6,55 -unter gleichen Bedingungen wiederholbar -alle möglichen Ergebnisse sind vorher bekannt -Ergebnis lässt sich nicht mit Sicherheit vorhersagen Quantitative Merkmale können in nominale Merkmale mit Namen (Haarfarbe, Telefonnummer) und ordinale Merkmale mit Rängen (Schulnoten, Skala 1-10) unterteilt werden Additionssatz: P(E₂UE₂)= P/E₁)+ P(E₂) - P(E₁ E₂) _X; Xi 567 00 ÖNMIN 8 Gegenereignis €₁ = {0,2,4,6,8] ai E= Unmögliches Ereignis EL Sicheres Ereignis 2 4 ə Empirische Standard abweichung =Wurzel aus der mittleren quadratischen Abweichung der Daten vom arithmetischen Mittel der Verteilung S=√(5-6,5S) ².2 + ( 6-6,55) ².3 + (7-6,55) ².4 + (8-6,551².2 Laplace-Experiment ↳ Wahrscheinlichkeit für alle Ergebnisse gleich Z.B. Glücksrad, Münze Anzahl der für P(E)= |E| IELA E günstigen Ergebnisse = Relative Häufigkeit ↳ wird nach dem Experiment bestimmt ↳ gibt an, welchen Anteil am gesamten Datensatz die Merkmalsausprägung besitzt Anzahl aller möglichen Ergebnisse Bedingte Wahrscheinlichkeit P(A/B)=P(B): PB(A) •Totale wahrscheinlichkeit P(S) = P(R) + P₂ (S) + P(R) + PR(S) -2 -3 @ Ziehen mit Zurücklegen, Reihenfolge wird berücksichtigt 45.5=25 n' Bsp.: Urne, 11 Kugeln E = {2,3,5,7,11} PIE)== Kombinatorik 2 Ziehen ohne zurücklegen, Reihenfolge wird berücksichtigt ni (n-k)! Absolute Häufigkeit ↳ gibt an, wie oft die merkmals- ausprägung...
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vorkommt (Un) abhängige Ereignisse PR(S)=P(S) oder Ps (R)=P(R) Selber wert- unabhängig Verschiedene Werte = abhängig n= Anzahl Möglichkeiten K = Anzahl Züge 3 Ziehen ohne Zurücklegen, Reihenfolge wird nicht berücksichtigt (²) =_^! k!·(n-k)! Bernoulli Ketten 2 2 a Ə वे ते वे ठे a a -Ein Zufallsversuch wird als Bernoulli-Versuch bezeichnet, wenn es nur zwei Ausgänge E und E gibt. -E wird als Treffer (Erfolg) und E als Niete (Misserfolg) bezeichnet -Die Wahrscheinlichkeit p für das Eintreten von E wird als Trefferwahrscheinlichkeit bezeichnet. Bsp: Münzwurf, Werfen eines Würfels (Sechs/Keine Sechs), Überprüfen Bauteil (defekt/ nicht defekt) - Wiederholt man einen Bernoulli-Versuch n-mal in exakt gleicher Weise, so spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge n mit der Trefferwahrscheinlichkeit p P(X=k)=B[n;p;k)= (k) .pk. (1-p)^-k K Der Fall Plx≤K) • P(X ≤2)=P(X=0) +P(X=X) +P(X=2) TR => kumul. -Bionom. - Verteilung 2 Der Fall P(x ≥k) • P(X≥7) = 1- P(X ≤6) L>Gegenwahrscheinlichkeit! 3 Der Fall P (K₁ ≤ x ≤ K₂) P(3≤x≤8)=P(x≤8) - P(x≤2) 4 Bestimmung der Kettenlänge P(X21)=0,95 1- P(X=0) ≥ 0,95 P(X=0) ≤ 0.05 B(nipik) ≤ 0,05 B(n;0,25;0) ≤ 0,05 (0)·0,25⁰.0,75⁰ ≤ 0,05 0,75" 20,05 n. In (0,75) ≤ In (0,05) na In (0,05) In (0,75) =d = 10,41 Tabellarische und graphische Darstellung PIX=K)= B(4;0,3; k) 0,4- K P(X=K) 0,24 0,411 0,265 0. 0723 + 2 Eigenschaften Bionomial verteilung in Abhängigkeit von p + B(5; 0,2; k) Bionomial verteilungen B(5;0,8; k) B(3; 0,4; k) 2 3 >K B(5;0,4; k) B(5;0,5; k) ठे वे ठे वे ठे ठे ठे ठे वे वे • Je größer p ist, umso weiter rechts liegt das Maximum der Verteilung ● Es gilt die Symmetrie beziehung Bln, p,k) = B(nil-pin-k) 3 Eigenschaften der Bionomial verteilung in Abhängigkeit von n • Für p=0,5 liegt das Verteilungsmaximum mittig B(8; 0,4; k) ठे ठे ठे ठे ठे वे वे ठे वे वे वे • Je größern ist, umso breiter und flacher ist das Diagramm der Verteilung •Je größer n ist, umso weiter rechts liegt das Maximum der Verteilung • Je größern ist, umso symmetrischer wirkt das Verteilungsbild (F) Erwartungswert und standardabweichung E(X)=N=n·P o²= V(x)= n⋅p⋅(1-p) → Varianz o = √n・p⋅ (1-p)² → Standard abweichung, Streuungsmaß Sigma regeln Lwenn die sogenannte Laplace-Bedingung o>3 erfüllt ist, erhält man mit den Sigmaregein folgende zuverlässige werte: P(µ- 0 ≤ x ≤µ + 0) ≈ 68,3% der Werte von X liegen in diesem Intervall 0 ≤ x ≤ μ + 2.0) ~ 95,5% P(N-2.0 P/N-3·0 ≤ x ≤N +3.0) ~ 99,7% Bsp: n=100 p = 1 1. N = n⋅P = 100₁ 1/² = 16.67 2. O = √ 100· £ · (1-1) ¹ = 3,73 3. N-2.0 ≤ x ≤N +2.0 16,67-23,73 ≤ x ≤ 16,67 + 2.3,73 9,21 ≤ x ≤ 24, 13 aufrunden 10 ≤ x ≤ 24 abrunden
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