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Stochastik LK

11.2.2021

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GRUNDBEGRIFFE Zufallsexperiment (Def.) Zufallsgröße (Def.) Ergebnis/Ereignis (Def.) Gegenwahrscheinlichkeit Baumdiagramme Pfadreger Summenregel ESTETIGE größen Wahrscheinlichkeitsdichte Exponentialverteilung I -Funktion - Normalvert. normPdf(x) normCaf(x,x Definition BINOMIAL VERTEILUNG Bemoulliexperiment (Def.) Bernoulliketten Erwartungswert M. theoret. Standardabw.o Diagramme zuordnen, zeichnen STATISTIK M stochastik zweiseitiger Test einseitiger Test Fenler 1. Art Fenler 2. Art arithmet. Mittel X empirische Standardabw. S Standardisierung Parameter gesucht I`n gesucnt I worten auf Erfolg P gesucht für Treffer Sigma-Regeln Signifikanztest Laplace bedingung 0²3 Normalverteilung satz v. DeMoivre-Laplace L normCdf (x₁, X2, M₁0) Schätzen von TTIRENT : 3 % zur Näherung vertrauensintervall n-Gesetz n gesucht. Signifikanzniveau mit invnorm (p) grundbegriffe L X P Ich würfle und untersuche die Anzahl der Sechsen 2 UF A L L S E Ein Qufallsexperiment ist ein Experiment, (1) bei dem mehrere Ergebnisse möglich sind, (2) dessen Ausgang nicht vorhersagbar ist, (3) das wiederholt durchgeführt werden kann voraussetzung (4) ERGEBNIS E RI vor dem aufalls experiment muss erst die Ergebnis- menges definiert werden. Dabel muss bei jedem Experiment eins der Ergebnisse en; en auftreten B E I S P 1 E ⇒P(X=3) S M E (1;5; 6) N Z U F A L L S BE Eine Zuordnung, die jedem Ergebnis eine zahl zuord- net, heißt zufallsgröße x. 8 S PI E L Beim dreimaligen würfeln ist X: Anzahl der sechsen ⇒ x wann. die werte O bis 3 annehmen P (3 Sechsen) E R G E B N Augensumme ist 12 T / E R E 1 N 1 Oft werden mehrere Ergebnisse einer Ergebnismenge s={enien als Ereignisse zusammengefasst: Ein Ereignis A ist damit eine Teilmenge aus S, das eintritt, wenn eines der Ergebnisse aus A eintritt. B E ( S P E L EREIGNIS Mögliche Ergebnismengen beim dreimaligen würfeln -Geworfene zahlen: S = {(1; 4; 4;) ; ; (6; 6;6)} Anzahl der Sechsen S=C0; 12:33 Nicht aus dem (1; 2;...

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3; 4,5) n PFA DRE PFADMULTIPLIKATIONSREGEL Die wahrscheinlichkeit eines der wahrscheinlichkeiten 2 PFADADDITIONSREGEL Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Pfade. STATISTIK mittelwert X X = h₁ X₁ + h₂ · X ₂ + ... + X₂ ·Xr relative Häufigkeit • mit dem GTR- - EXCEL - Daten eintragen m, 4, 1, d X₁ Liste = ac] Häufigu. = b[] 1. Ergebniss. = C[] Ergebnisses ist das Produkt entlang des Pfades EL K merkmalsausprägung empir. Standardabw. S = √ ₁ ⋅ (x₁-X) + ... + hr. (X₂-X) GTR :=nor (nu) binomial VERTEILUNG! Leitfrage: WAS WIRD PASSIEREN? BE RNO ULLI (n) = (n-k)!-k! Die emp. Standardabw. ist ein Maß dafür, wie weit X; um den Mittelwert streuen. EXPERIMENT Bernoulli-Experimente sind aufallsexperimente mit nur zwei möglichen Ergebnissen. Die Wahrscheinlichkeit für Treffer" bezeichnet man p die für eine Niete" mit q = (1-p). KETTEN Leitfrage: WAS IST PASSIERT? Bernoulli-ketten sind n-stufige Bernoulli-Experimente, bei denen sich die wahrscheinlichkeiten nicht ändern. FF L 2 LENT BINOMI ALKOE Our Bestimmung der Pfadanzahl langer Bernoulliketten Die Anzahl der Pfade zu k Treffern bein versuchen Im Baumdiagramm ist gegeben durch den Bino- mialkoeffiziententen Diese bilden das Pascal'sche Dreiecu In Fakultät n!:=n·²h-1)...d Al efir Binomialverteilung Sei X: Anzahl der Treffer bei einer Bernoullikette Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit für P(X=K) = Bn₁p = (x).p". an-k efinition Die Binomialverteilung hängt nur von den Parameter, In und o ab. BE 1 S P L EL X: Anzahl richtiger Antworten X ist binomialverteilt mit n=8 a) P(x=4) = binom Pdf (8, = 4) = 17,1% b) P(x 3) = binom Colf (8,1,0,3). C) P(X= 4) = 1 - P(x≤3) =binom Cdf (8.0,3) dip(x ²5) = 1 - P(X≤4) = 1- binomcaf (& §. 0,4) Erwartungswert M M²n • p B EL sigma Lage der Binomialverteilung Die mitte der verteilung ist etwa M=n·p Die Breite wird beschrieben durch die empirische standardabweichung o = √n.pg. Besonders symmetrisch ist die verteilung bei G²3 bzw. p=o.s • Für o>3 (DAPLACE-Bedingung) gilt: M. 68% der Ergebnisse. im o-Intervall um - 90% der Ergebnisse im 1,640-Intervall um -95% der Ergebnisse im 1,960-Intervall um M. M. 99% der Ergebnisse im 2,580. Intervall um j. E 1 S X: Anzahl wappen. beim Münzwurf. →M=50·0,5=25 ⇒0=√50.05.0,₁5=3,54 PE empir. Standardabw. a 0=√n-p-9 دالله REGELN Suizze binomialverteilt mit n= SO P=0,5 mit einer WK von 95% liegen die Treffer zw. 25-1.96-3,54 und 25+1,96-3,541 also zw. 18 und 32 überprüfung P(18≤ x ≤32) = 18 ta 32 puter WANTED Pn Gesucht //Warten auf Erfolg Will man mit der Wahrscheinlichkeit P einen Treffer erreichen, muss man In mal würfeln, wobei (1-p)" ≤ 1-P gilt. Die WK für anhaltende misserfolge ist dann unter 1-D gesunken. E 1 SPI u warten auf die „6" → Gegenereignis weine 6" (5) wird für wachsendes ʼn immer wleiner. WK von 99% für eine „6 ª 1% für "heine 6ª (5)" = 0,01 | log 1095 0,01= = 25,26 ⇒ n = 26 en Gesucht // warten auf Ik-Erfolge B Warten auf K-Erfolge wann meistens nur durch probieren gelöst werden: I P(XEK) Soll größer als x% sein - mit binom Calf (n, p, kin) ausprobieren -f(n):= binom Caf(n, p, u, n) werte in f(n) einsetzen und ausprobieren mit P(X ≤ k-1) soll wleiner als 1-x%: L in v BinomN (1-x%, p₁u-1,1) liefert die beiden n, für die es gerade (noch nicht) wappt menü → WK → verteilungen → Inverse BinomialN EI S PI E L P=0₁5 n=? P(X2) ≥ 99% (=) P(x ≤1) < 1% methode binom (af (1, 0,5, 0, 1) = 0,005 86 = 0,01074 binom Cdf (10,0,0,0,1) Für n=10 ist P(x≤1) = 1,07% Für n = 11 ist P (X≤1) = 0,59% I mit einer WK von 95% will ich 5,6" würfeln. methode f(x):= binom Caf (x, 2, 5, x) methode inv BinomN (0,05, 2, 4, 1). 52 53 47=41 f(52) = 0,9485 f (53) = 0,9544 É (54) = 0,9596 0,05146 0,04595 > Bestimmung der unbenannten Erfagswahrsch. p P bestimmt man wieder nur durch probieren P(Xu) soll größer als x% sein - mit binom Caf(n, p/4₁, 42) ausprobieren -f(p):= binom Colf(n, x, U₁₁ U₂) Werte im -f(P) im f(P) einsetzen und ausprobieren Grafiufenster zeichnen lassen Schnittpunute mit x% bestimmen lassen signifikanz TEST zweiseitiger Hypothesen-/signifikanztest S с H R ( T Г E I Lege den Stichprobenum- fang und das signifikanz niveau a fest. I Bestimme den Annahme - bereich für die Hypothese I Prüfe, ob das Ergebnis in- nerhalb des Annahmeb. liegt BE 1 S P 1 EL Annahme: 10% der Schüler im GK. machen blay. TV Entscheide, ob die Hypoth.. verworfen werden muss. Überprüfung: 1.250 fehlten im GK 28 Stimmt die Hypothese? HYPOTHESE P = 0,1₁ α = 5% GIM-1,960; M+1,960] bzw. [p-1,96 = = M +1,96 = 7 ZUFALLSEXPERIMENT n=250 M = 25 0=4,743 A [ 15,7; 34,3] ERGEBNIS X = 28 Da das Ergebnis innerhalb des Annahmeb. liegt, kann die Hypor aufgrund des Ergebnisses nicht verworfen werden. einseitiger Hypothesen-/ Signifikanztest Links-/pechts-seitiger Hypothesen-/Signifikanztest: -Die Nullhypothese ist die, die man widerlegen möch Ho: Pzp. bzw. Ho: pspo -Die Alternative/Gegenhypothese ergibt sich daraus: H: Pcpo H₂ips pa -Je nach Ho ergibt sich ein bzw. Bestimme den Annahmebereich für die Hypothese [u-coin] bzw. [0; Mtc.0] (0-Regeln für den eins. Test !!!) - Entscheide, ob die Hypothese verworfen werden leann. 7. 2 BE 1 S PI E LA ES soll geprüft werden, ob eine Wk kleiner / größer ist. Null nypothese Ho Po=0,1 Alternative H pcpo pa po Annahmebereich für Ho bei SNN α=5% EM-1,64.0; n] [0; M +1,640] aufallsexperiment n=250 A: [ 17,2; 250] Ergebnis Bis max. 17 Sus wann Ho verworfen werden. FEHLER Fehler M= 25 ما 0=4,743 CO;32,87 . Ab mind. 33 Sus uann Ho verworfen werden. BEIM testen 1. Art Eine richtige Hypothese wird verworfen. Beispiel Testgröße X: Anzahl richtig eruannter musik n = 25 M=n·P = 25.6₁5 = 125 o=√n⋅pa-√√25-0,5-0,5 = 2,5 A=[DM+1.960] = [0; 17] WK für den Fenler 1. Art = 1- P(x≤17)=2,2% 1-binomCdf (25, 0.5,0,17) Fenter 2. Art Eine falsche Hypothese wird beibehalten. (Nurberech- enbar, wenn P₁ benannt). Beispiel P=0,7 P(X0₁7 ≤17) ≈ 48,82% binomCaf (25, 0,7,17) Eine verringerung der Fehlerwk 1. Art führt zu einer Erhöhung der Fehlerwk 2. Art und umgekehrt. Beide gleichzeitig veruleinem wann man nur durch vergrößerung des stichprobenumfangs.