Beispiel und bedingte Wahrscheinlichkeit

Dieser Abschnitt vertieft das Verständnis von Erwartungswerten anhand eines konkreten Beispiels und führt das Konzept der bedingten Wahrscheinlichkeit ein.

Ein Glücksspiel wird vorgestellt, bei dem ein Rad zweimal gedreht wird. Der Gewinn hängt von der Anzahl der blauen Ergebnisse ab. Die Zufallsgröße X beschreibt den Gewinn des Spielers in Euro.

Der Erwartungswert für dieses Spiel wird detailliert berechnet:

E$X$ = $-1$ · 9/16 + 0 · 6/16 + 4 · 1/16 = -0,31

Dies bedeutet, dass der Spieler auf lange Sicht durchschnittlich 0,31 Cent pro Spiel verliert.

Das Konzept der bedingten Wahrscheinlichkeit wird eingeführt. Es beschreibt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B unter der Bedingung, dass ein Ereignis A bereits eingetreten ist.

Definition: Die bedingte Wahrscheinlichkeit von B gegeben A wird als P_A$B$ = P$A∩B$ / P$A$ definiert.

Highlight: Zwei Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig, wenn P_A$B$ = P$B$ oder äquivalent P$A∩B$ = P$A$ · P$B$ gilt.

Example: Im Glücksspielbeispiel beträgt der Erwartungswert -0,31 Euro, was bedeutet, dass das Spiel nicht fair ist.

Bernoulli-Experiment

Dieser Abschnitt führt das Bernoulli-Experiment als grundlegendes Konzept in der Stochastik ein und erläutert die Bernoulli-Formel für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten.

Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ergebnissen, die voneinander unabhängig sind und deren Trefferwahrscheinlichkeit p sich nicht ändert. Die Anzahl der Durchführungen wird als Länge n bezeichnet.

Die Bernoulli-Formel ermöglicht die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für k Treffer bei n Versuchen:

P$X=k$ = $n über k$ · p^k · $1-p$^$n-k$

Dabei ist $n über k$ der Binomialkoeffizient, der die Anzahl der möglichen Pfade mit k Treffern angibt.

Der Begriff der kumulierten Wahrscheinlichkeit wird eingeführt als die Summe der Wahrscheinlichkeiten für alle Ergebnisse bis zu einem bestimmten Wert k.

Definition: Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ausgängen, die unabhängig sind und eine konstante Trefferwahrscheinlichkeit haben.

Highlight: Die Bernoulli-Formel ist grundlegend für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in der Binomialverteilung.

Example: Die kumulierte Wahrscheinlichkeit P$X≤k$ berechnet sich als Summe P$X=0$ + P$X=1$ + ... + P$X=k$.

Erwartungswert und Histogramm

In diesem Abschnitt werden der Erwartungswert und die grafische Darstellung von binomialverteilten Zufallsgrößen behandelt.

Für eine binomialverteilte Zufallsgröße X gilt:

• Der Erwartungswert ist μ = n · p
• Die Standardabweichung beträgt σ = √$n · p · (1-p$)

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße kann in einem Histogramm dargestellt werden. Die Form des Histogramms hängt von den Parametern n und p ab:

• Wenn μ ganzzahlig ist, liegt die höchste Säule bei k = μ
• Wenn μ nicht ganzzahlig ist, liegt die höchste Säule bei einem der beiden benachbarten ganzzahligen Werte
• Je größer n ist, desto breiter wird das Histogramm

Ein Beispiel zur Bestimmung des Parameters n wird vorgestellt: Wie oft muss man würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens zweimal eine 6 zu würfeln?

Die Lösung wird schrittweise hergeleitet, wobei die binomialverteilte Zufallsgröße X die Anzahl der Würfe mit einer 6 beschreibt. Durch systematisches Ausprobieren wird ermittelt, dass man mindestens 22-mal würfeln muss.

Definition: Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße ist μ = n · p, wobei n die Anzahl der Versuche und p die Trefferwahrscheinlichkeit ist.

Highlight: Die Form des Histogramms einer binomialverteilten Zufallsgröße hängt von den Parametern n und p ab und wird mit zunehmendem n breiter.

Example: Um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens zweimal eine 6 zu würfeln, muss man mindestens 22-mal würfeln.

Bestimmung von Parametern

Dieser Abschnitt behandelt die Bestimmung verschiedener Parameter in Problemstellungen, die mit der Binomialverteilung modelliert werden können.

Zunächst wird ein Beispiel zur Bestimmung des Parameters p $Trefferwahrscheinlichkeit$ vorgestellt: Ein Schokolinsenhersteller möchte wissen, wie hoch der Anteil grüner Schokolinsen sein muss, damit in einer Packung mit 124 Stück mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% mindestens 30 grüne enthalten sind.

Die Lösung erfolgt durch systematisches Ausprobieren verschiedener p-Werte im Taschenrechner, bis die Bedingung P$X≥30$ ≥ 0,8 erfüllt ist.

Ein weiteres Beispiel befasst sich mit der Bestimmung des Parameters k $kritischer Wert$: In einer Quizshow mit 10 Fragen und je 4 Antwortmöglichkeiten soll die Chance, nur durch Raten den Hauptpreis zu gewinnen, höchstens 5% betragen. Gesucht ist die Mindestzahl an richtigen Antworten für den Hauptgewinn.

Hier wird die Bedingung P$X≥k$ ≤ 0,05 aufgestellt und durch schrittweises Erhöhen von k die Lösung k = 6 gefunden.

Highlight: Die Bestimmung von Parametern in binomialverteilten Problemen erfordert oft systematisches Ausprobieren oder die Verwendung von Technologie wie Taschenrechnern.

Example: In der Quizshow-Aufgabe muss ein Kandidat mindestens 6 von 10 Fragen richtig beantworten, damit die Chance auf einen zufälligen Hauptgewinn unter 5% liegt.

Vocabulary: Der kritische Wert k in einer binomialverteilten Problemstellung ist der Schwellenwert, ab dem ein bestimmtes Ereignis als signifikant betrachtet wird.

Normalverteilung

Dieser Abschnitt deutet den Übergang von der Binomialverteilung zur Normalverteilung an, wird aber nicht weiter ausgeführt.

Die Normalverteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, die in vielen natürlichen und sozialen Phänomenen auftritt. Sie hat eine charakteristische glockenförmige Kurve und wird durch zwei Parameter bestimmt: den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ.

Für große n nähert sich die Binomialverteilung der Normalverteilung an, was als Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung bekannt ist.

Highlight: Die Normalverteilung ist eine wichtige kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, die in vielen Anwendungen der Statistik eine zentrale Rolle spielt.

Vocabulary: Die Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung ist ein wichtiges Konzept in der Stochastik, das besonders bei großen Stichprobenumfängen relevant wird.

Pfadregeln und Erwartungswert

In diesem Abschnitt werden grundlegende Konzepte der Stochastik eingeführt, insbesondere Baumdiagramme und deren Anwendung zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten.

Ein Baumdiagramm ist eine grafische Darstellung möglicher Ergebnisse eines mehrstufigen Zufallsexperiments. Es veranschaulicht die Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Pfade und Ergebnisse.

Die Pfadregeln sind zentral für die Arbeit mit Baumdiagrammen:

1. Die Produktregel besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines spezifischen Ergebnisses durch Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades berechnet wird.
2. Die Summenregel wird angewandt, um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen, indem die Wahrscheinlichkeiten aller zum Ereignis gehörenden Ergebnisse addiert werden.

Der Erwartungswert einer Zufallsgröße wird definiert und seine Bedeutung für faire Spiele erläutert.

Vocabulary: Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch mit zufälligem Ausgang, der unter bestimmten Bedingungen durchgeführt wird.

Definition: Der Erwartungswert E$X$ einer Zufallsgröße X gibt an, welcher Wert für X im Durchschnitt auf lange Sicht zu erwarten ist.

Example: Bei einem Glücksrad mit den Farben Rot und Blau beträgt die Wahrscheinlichkeit für "mindestens einmal Blau" bei zwei Drehungen 43,75%.