Stochrastik bzw. Wahrscheinlichkeitsrechnung (Matheabi 23)

Alternativer Bildtext:

B. mindestens einmal rot) erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse addiert (Summenregel) S-{rr, rb, brs - P(E)- Pirr)+ P(rb) P(br) = 15 bedingte wahrscheinlichkeit Vierfeldertafel B B Σ A P(ANB) P(ANB) P(A) APAB) P(AB) P(A) Σ|P(Β) P(B) 1 PIA) PIA) Ā PA(B) BP(ANB) -B - P(AnB) PA (B) PA (B) B→ P(ANB) -B-P(AnB) PA (B) Es können sowohl absolute oder relative Haufigkeiten bzw Wahrscheinlichkeiten eingetragen werden P(AnB)-P(A) PA (B)→ damit gilt für die bedingte Wahrscheinlichkeit: PA (B) - P(ANB) P(A) PA (B)- bedingte Wahrscheinlichkeit für das eintreten von B unter der Bedingung, dass A eingetreten ist (für PIA)+0) totale Wahrscheinlichkeit - P(B)=P(ANB)+ PIAn B) P(ANB) P(ANB)*P(ANB) P(ANB) Satz von Bayes: PB(A)= P(B) Zwei Ereignisse A und B heißen unabhängig, wenn (B)=P(B) Sie sind somit genau dann unabhängig, wenn P(AnB)=P(A) P(B) Verhältnisgleichheit Sind die Ereignisse A und B stochastisch unabhängig, so gelten³ (1) Verhältnisgleichheit der Zeilen" A Ā A А B A A a C P(B) B a C P(B) B a C B b d P(B) B b d P(B) P(A) P(A) 1 B b d P(B) P(A) P(A) a P(A) A P(A) A 1 und B a C A А (2) Verhältnisgleichheit der Spalten" analog zu (1), mit den entsprechenden Beziehungen und Folgerungen. Sie sind hier nur farbig angedeutet: P(B) DI P(B) P(B B a B b d P(B) C P(B) B P(A) A P(A) A 1 ه ام b d P(B) B a C P(A) P(A) 1 P(B) B b d P(B) P(A) P(A) 1 kombinatorik Wenn alle Ergebnisse eines Zufallsexperimentes gleich wahrscheinlich sin (Laplace-Experiment), liegt eine Gleichverteilung vor. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist : Anzahl der günstigen Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse Kombinatorik beschäftigt sich mit der Bestimmung von Anzahlen Als Grundmodell dient das Ziehen aus einer Urne. In unserem Beispiel sind in der Urne 5 Kugeln, die mit den Zahlen von 1-5 nummeriert sind. Es werden 3 Kugeln gezogen Ziehen mit Zurücklegen und mit Berücksichtigung der Reihenfolge ⠀⠀⠀⠀ ·1 2 3 4 5 Man zieht 3x eine Kugel, notiert die Reihen- folge und legt die Kugel wieder zurück → es gibt somit bei jedem Zug 5 mögliche Kugeln Die Anzahl der Baumenden entspricht der Gesamtanzahl der Möglichkeiten. → es gibt hier somit 5-5-5-5³- 125 Möglichk. Wenn die Urne nKugeln enthält und man k Kugeln zieht, gibt es n Möglichkeiten Ziehen ohne Zurücklegen und mit Berücksichtigung der Reihenfolge 3 4 5 2 3 4 5 3 4 5 Wenn man die gezogene Kugel nicht zurücklegt, verringert sich bei jedem Zug die Anzahl der möglichen Kugeln um eins => es gibt somit 5.4.3 - 60 Möglichkeiten = Wenn aus einer Urne k Kugeln aus n Kugeln gezogen werden, gibt es n·(n-1). (n-k+1) Möglichkeiten n! n (n-1).... (n-k+ 1) = (n-k)! Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge 1 2 3 132 2 13 231 312 321 1 45 154 4 15 451 514 541 125 134 135 124 142 152 143 153 214 215 314 315 241 251 341 351 4 1 2 512 413 5 13 421 521 431 531 345 35 435 4 2 3 4 243 324 34 2 42 3 432 235 245 253 254 3 25 425 352 452 524 523 532 5 MJ 5 4 3 Wenn man die Reihenfolge außer Acht lässt, gehören jeweils 6 Möglichkeiten von den insgesamt 60, zum gleichen Ergebnis. Grund man kann 3 Kugeln auf 3! = 6 verschiedene Arten anordnen. Die Anzahl der Möglichkeiten ist also 5.4:3=10 Enthält eine Urne n Kugeln und man zieht k Kugeln, so gibt es 1. (n-1) · (N-2).... n-k+ 1)₂ (2) K! Möglichkeiten. (Binomialkoeffizient „n über k") (k)= k!·(n-k)! 1. GENAU 4 RICHTIGE ZU TIPPEN - richtige und 2 falsche · alle Möglichkeiten: (19)→ 6 aus 19 Zahlen tippen -Möglichkeiten der 6 Richtigen zu tippen. () · Möglichkeiten 2 der 43 Falschen zu tippen (¹2³) günstigen Möglichkeiten - ($)-(45) Wahrscheinlichkeit: /43 (4) P(E)= (49) Die Wahrscheinlichkeit beim Lotto „b aus 49" 2. MAXIMAL 4 RICHTIG ZU TIPPEN · Möglichkeiten (2) (6³) L 4 Richtige & 2 Falsche- ()-(23) ·3 Richtige & 3 Falsche (3) (43) 2 Richtige & 4 Falsche (2)· (4³) -1 Richtig & 5 Falsch (5) (43) : ORichtig & 6 Falsch: (6)· (43) P(E)= k=0 3.MINDESTENS 4 RICHTIG (6) 16-K) (49) Möglichkeiten → (k). (6³¾ k) ↳ günstige Möglichkeiten. (4)· ( 423) + (3)-(13) + (2) (43) + (9) (3) +(63) = (3) (3³) Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit: ។ 4 Richtige & 2 Falsche (4) (23) 5Richtige & 1Falsche ()·(4³) 6Richtige & OFalsche: () (4³) günstige Möglichkeiten Σ ($). (1³) k=4 P(E)= (k) (¹³) { k=4 binomialverteilung I Ein Zufallsexperiment mit genau zwei Ausgängen heißt Bernoulli-Experiment Wenn man ein Bernoulli-Experiment n-mal wiederholt, sodass die Durchführungen voneinander unabhängig sind, erhält man eine Bernouli-Kette der Länge n Treffer - wahrscheinlichkeit p A 1-P DI P 1-P P A > DI 1-P A Lässt sich eine Zufallsgröße als Trefferanzahl bei einer Bernoulli-Kette der Längen und Trefferwahrscheinlichkeit p beschreiben, dann nennt man die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung Binomialverteilung Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer P(x-k)-(R) pk. (1. p)n-k für k. 0,1,2,.. ↳ Bernoulli- Formel taschenrechner 2nd Data → DIST-4: Binomialpdf Parameter eingeben (x=k)+Calc mehrere Werte 2nd Data →DIST-4: Binomialpdf-n&p eingeben-Calc +X-L1-save to L2 - Calc kumulierte Wahrscheinlichkeit höchstens k Treffer P(X≤k)=P(X=0)+ P(X= 1) +... P(X=K) jeweils mit Bernouli-formel ausrechnen taschenrechner 2nd Data → DIST 5 Binomialcdf Parameter eingeben+Calc → kann nur P(X≤k) ausrechnen mindestens k Treffer: P(X k)- 1-P(X²k-1) Erwartungswert u-np Standardabweichung G=n·P· 44-p² Darstellung der Binomialverteilung · Bsp: n=5 p = 3 0,3 0,2 + 0,1- P(X=x) 0 1 Histogramm t~ tm 3 4 5 mindestens k & höchstens 1 Treffer: P(K ≤ x ≤ 1 )=P(XL)-P(X ≤k-1), store Y store X X 0 1 2 3 4 5 P(X=x) 0,132 0,33 0,33 0,165 0,04 0,004 Ganzzahliger Erwartungswert u Wennu ganzzahlig ist, dann ist die höchste Säule bei k-M Wenn u nicht ganzzahlig ist, dann ist die M höchste Säule bei einem der beiden benachbarten ganz zahligen Werte binomialverteilung II Zusammenhang Standardabweichung und Histogramm -Je größer a, desto breiter das Histogramm Sigmaintervalle Die Binomialverteilung kann durch die sogenannte Normalverteilung angenähert werden Vorraussetzungen 10>3 (Laplace-Bedingung) In muss hinreichend groß sein 1. PlM-G ²X² μ+) ~ 68,3% 2. Pu-20²X² M+20) 95,4% 3. P(μ-30-X² µμ+30) = 99,7% ↑P(X=K) 10 10. 20 ú 68,3% 95,4% 99,7% I Je näher P=0,5₁ desto besser sind di Näherungsformeln e im Allgemeinen Das zum Erwartungswert μ symmetrische Intervall [μ-au+c] nennt mana-Intervall. Entsprechend spricht man vom 20- und 30-Intervall Wahrscheinlichkeit des c-Intervalls & prozentuale Abweichung_ 1 hinschreiben: X ist binomialverteilt mit n=... und p=... μ und o berechnen, Intervalle bestimmen [μ+0; M-C] 2. 3. P(μ- 0 ≤ x ≤ μ+0) 2 ↓ aufrunden sobald die Zahl überschritten ist bsp. 106,1107 nehmen abrunden, da die Zahl noch nicht erreicht ist (bei 114,9 114 nehmen) 4. P(μ+ o) - P(μ-o) mit Binomialcdf berechnen 5. Prozentuale Abweichung mit o-Regel > 68,3% INW-EW100 = p% NW-Näherungswert EW EW-Errechnete Wert Einfluss der Parameter auf das Histogramm I Parameter n fest, p variabel: umso kleiner p, umso weiter links liegt das Saulenmaximum · p= 0,5, das Säulenmaximum liegt symmetrisch in der Mitte · umso größer p, umso weiter rechts liegt das Säulenmaximum · für p +0,5 hat der Graph eine Schieflage P(X=k) P(X=k) P(X=k) p<0,5 II. Parameter p fest, n variabel umso größer n, desto flacher die Binomial verteilung · Binomialverteilung wird mit zunehmendem n immer symmetrischer P=0,5 p> 0,5 strewingsmaße I SPANNWEITE R: Xmax-Xmin NACHTEILE +5 Nur Extrema werden betrachtet ↳ Ausreißerwerte erhalten ein zu großes Gewicht II MITTLERE ABWEICHUNG d-AX₁-XI Man berechnet jeweils den Abstand jedes Wertes zum Mittelwert. Ohne den Betrag, summieren sich die Abweichungen zu O NACHTEILE Analytisches Weiterrechnen mit dem Betrag Fallunterscheidung! ↳ -15 III VARIANZ SX² - A - E (X₁-X) ² 1=1 Der Ausgleich der Abweichung zu Null dadurch verhindert, dass durch das Quadrieren keine negativen Werte auftreten NACHTEILE Durch das Quadrieren geraten die tatsächlichen Messwerte und die Varianz in ein Missverhältnis IV STANDARDABWEICHUNG n Sx-√(x₁-x)² = G Ex-X1² 1=1 Fazit: Die Standardabweichung gibt uns ein gutes Maß für die Stärke der Streuung einer Zufalls variablen um den Erwartungswert an. Bei einer alleinigen Betrachtung des Erwartungswerts bzw. von Mittelwerten kommt das Streuungsausmaß, also die möglichen Variationen der Werte nicht zur Geltung. Stochastische Unabhängigkeit hypothesentest Beim Hypothesen test stehen sich zwei sich widersprechende Behauptungen gegenüber Definitionen: Alternativhypothe p>Po oder p<Po Ablehnungsbereich: Ho wird für alle Werte in diesem (der Nullhypothese) Bereich verworfen Signifikanzniveau obere, im Vorfeld festgelegte Schranke der Irrtumsw'keit die Trefferw'keit p entspricht Po, von der ausgegangen wird. Nullhypothese Beispiel Die Stadtverwaltung behauptet, dass maximal 40% der Einwohner das Freibad nutzen. Die Re- daktion der Lokalzeitung glaubt, dass es deutlich mehr sind. Sie lässt dazu einen Test durchfüh- ren. Die Behauptung der Stadtverwaltung wird als Nullhypothese genommen und auf der Basis einer Umfrage unter 120 Einwohnern auf einem Signifikanzniveau von 5% getestet. a) Bestimmen Sie den Ablehnungsbereich und die Entscheidungsregel des Tests. X ist bv mit n=120, p= 0,4 und zahlt die Schwimmbadnutzer. d = 0,05 Hop-0.4 p. 0.4 rechtsseitig p=0.4} H₁ *P = 0,4 i-i Afg.g.1, 120 g herausfinden über d P(X=g) ≤0,05 WTR 9-1= 57 ÷{58120) Vorarbeit Wenn mind. 58 der Einwohner das Freibad nutzen, so wird die Ho verworfen & man geht davon aus, dass mehr als 40% das Freibad nutzen 1. Einseitiger Hypothesentest Hier hat man nur eine Wahscheinlichkeit po gegeben. Man nimmt diese als Ho an und geht der Vermutung (H₁) nach, ob p₁ größer oder kleiner als Po ist linksseitiger Test Nullhypothese Ho: P = p. 0 p²po Alternative H₁ P² Po Ablehnungsbereich A {0,1,-,g} wobei g die größtmögliche natürliche Zahl mit P(X²g)<a ist rechtsseitiger Test oder Die Zufallsgröße ist bei wahrer Nullhypothese H. binomialverteilt mit den Parametern n und p. Nullhypothese: Ho'p-po Alternative H₁ p > Po : Āist links P= Po Ablehnungsbereich A {gig+;;n} wobei g die kleinstmögliche natürliche Zahl mit P(X>g)-1-P(X≤g-1)= a ist Man führt eine Stichprobe vom Umpfang n durch. Entscheidungsregel Wenn das Stichproben ergebnis im Ablehnungsbereich liegt, wird die H. verworfen. Ansonsten wird die Ho beibehalten A ist rechts 2. Zweiseitiger Hypothesentest H₁ Han testet die Nullhypothese H. p= p. gegen die Alternative · P* Po. . Han überprüft also ob die Annahme, dass P= Po. bezweifelt werden muss. Der Ablehnungsbereich muss zweiseitig sein, da sowohl sehr kleine als auch sehr große Stichproben ergebnisse gegen die Ho sprechen α = 5% Da es zwei Ablehnungs- bereiche gibt, gilt d.h. 2,5% für jeden Nullhypothese H.. · P = Po Alternative: H₁ p+ Po Die Zufallsgröße X ist bei wahrem H. binomialverteilt mit den Parametern n und po. 9₁ Ablehnungsbereich A₁ {0-9₁] und A₂ {9₁. n}, wobei die größtmögliche natürliche Zahl mit P(X≤9₁) ≤ und die kleinstmögliche natürliche Zahl mit P(X≥9₂) ist 9₂ Man führt eine Stichprobe vom Umpfang n durch. Entscheidungsregel Wenn das Stichproben ergebnis im Ablehnungsbereich liegt, wird die Ho verworfen. Ansonsten wird die Ho beibehalten Beispiel Seite 1 2 3 4 5 6 Ein Legoachter ist 32mm lang, 16 mm breit und 9 mm hoch. Die Seitenflächen mit den mm² 288 144 512 512 144 288 aufgedruckten Zahlen haben daher die Flächeninhalte in der Tabelle. Die Summe aller Seitenflächen beträgt 1888 mm². Marcel behaup- tet daher, dass sich die Wahrscheinlichkeit für eine Sechs als Anteil 512= 15% berechnen lässt. Dazu führt er einen Test mit einem Stichprobenumfang von 1000 und dem Signifikanzniveau 5% durch, bei dem seine Behauptung als Nullhypothese dient. 1888 a) Bestimmen Sie den Ablehnungbereich und die Entscheidungsregel. X ist binomialverteilt mit n=1000 und p. -0,15% X zahlt die Anzahl der ber-Seiten" # Ho p=0,15 H₂₁p+ 0.15 Ã₁¹09₁³ Ã₂¹ {9₂₁, 1000} ii P(X²9₁) = 0,025 WTR 9₁=127 A₁: {0;... 127} Entscheidungsregel: Bei maximal 127 bzw. mindestens 173 Würfen auf die ber-Seite wird die Ho verworfen und man geht davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit nicht bei 15% liegt PCX=g₂) ≤0,025 P(X = 9₂-1) = 0,975 |WTR 92-1=172 Vorarbeit die man hinschreiben muss A₂ 173, 1000 3. Fehler beim Testen Ho ist wahr Fehler 1 Art (Irrtumsw'keit) Ho wird nicht verworfen richtige Entscheidung Ho wird verworfen Ho ist falsch richtige Entscheidung Fehler 2. Art Fehler 1. Art Die Ho wird verworfen obwohl sie wahr ist. Die W'keit für ihn ist gleich der Irrtumsw'keit. Diese ist höchstens so groß wie das Signifikanzniveau. Fehler 2. Art Die Ho wird beibehalten obwohl sie falsch ist. Verkleinert man den Ablehnungsbereich ↳W'keit für den Fehler 1. Art sinkt, während die W'keit für den Fehler 2. Art größer wird Die W'keit kann man nur berechnen, wenn die tatsächliche Trefferw'keit bekannt ist Vergrößert man den Ablehnungsbereich W'keit für den Fehler 1. Art wird größer, während die W'keit für den Fehler 2. Art sinkt Beispiel Wahrscheinlichkeiten für Fehler 1. und 2. Art berechnen Bei einem Glücksspielautomaten soll mit einer Wahrscheinlichkeit von 15% die Kombination „3-mal Goldmünze" erscheinen. Diese Behauptung soll mit einem zweiseitigen Test mit einem Stichprobenumfang von 100 und einem Signifikanzniveau von 5% überprüft werden. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art. b) In Wirklichkeit erscheint die Kombination 3-mal Goldmünze" nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 10%. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art. c) Untersuchen Sie, wie sich die Wahrscheinlichkeiten für die beiden Fehler ändern, wenn der Stichprobenumfang 500 beträgt. Wenn man den Stichprobenumfang erhöht, dann kann man bei gleichem Signifikanzniveau die W'keit des Fehlers 2. Art verkleinern. X ist binomialverteilt mit n=100&p= 0,15 X zählt,3x-Gold" a) Ho p=0,15 H₁ p +0,15 A01 A 23100] Pfür A₁ " P(X≤7) P für A₂ ( P(X-23) -0.034 - Fehler 1. Art b) Yist binomialverteilt mit n-100&p=0,1 Y zählt 3x-Gold" P18 Y≤22) = 79,4% Bereich zwischen A₁ & A₂ Man muss eine neue Zufalls variable einführen c) Z ist binomial verteilt mit n-500 & p=0,15 Wenn n verändert wird, ändert sich auch der Ableh- A 059) A₂ (92.500} nungsbereich →g muss neu berechnet werden 1 Art: Plz 459) P(Z >92) = 4.6% wird leicht größer 2. Art: P(bo Z91)-8,1% + sinkt erheblich 6 stetige zufallsgrößen Bisher: Die Ergebnismenge hat endlich viele Teile Das ist im Histogramm erkennbar, da man jedem Ereignis eine Wahr'keit zuordnen kann. Man nennt dies eine diskrete Verteilung ! Es sind jedoch nicht alle Ergebnismengen abzählbar. Kann eine Zufallsgröße in einem Intervall alle (reellen) Werte annehmen, so nennt man sie stetig. Da stetige Zufallsgrößen unendlich viele Werte besitzen, ist es nicht möglich die Wahrscheinlichkeit für jeden einzelnen Wert anzugeben. Zur Charakterisierung nutzt man die sogenannte Dichtefunktion Eine Funktion f heißt Dichtefunktion über ein Intervall I, wenn gilt. 1. f(x)=0 für alle xeI (stellt sicher das die W'keiten im Teilintervall nicht negativ sind) 2. f(x)dx=1 (stellt sicher, dass die Summe aller Wahr'keiten ist) Eine Zufallsgröße mit Werten im Intervall I heißt stetig mit der Dichtefunktion f, wenn für alle r,s aus I gilt. P(r< x≤s) + f(x)dx Beispiel Dichtefunktion nachweisen a) Weisen Sie nach, dass die Dreiecks- [x; 0≤x≤ 1 funktion" f mit f(x) = (2-x; 1≤x≤2 über dem Intervall 1 = [0; 2] eine Dichte- funktion ist. b) Bestimmen Sie P(X=0); P(X < 0,5); P(X ≤ 0,5) und P(0,5 ≤ x ≤ 1,5). +y 1,0- 0,5- 0 P(0,5 X 1,5) = √_f(x) dx 0,5 0,5 1,0 -y-f(x) 0,5 P(X40,5) - P(X< 0,5)-f(x) dx = [x²],95 = 8 1,5 1 2 a) f(x) > 0 ¥ 0<x< 2 &$f(x)dx = f(x)dx + √f(x)dx= 1 b) P(X=0)=0 2,0 1 für exakte Werte gilt bei stetiger Verteilung P(X= k) = C, da f(x) dx = 0 P(X² k) = P(X≤ k ), da P(X ≤ k )=P(X= k ) + P(X< k ) O normalverteilung Eine stetige Zufallsgröße X, die die Gausfunktion als Wahrscheinlichkeitsdichte besitzt, heißt normalverteilt mit u unda (kurz Nμ₁0). Die Dichtefunktion Yμ₁0: (x-μ)² ··e 2.0² 1 YMIO O`ZT'6 mit HP (μl (μ)) WPlural Seala)) Es gilt: P(a≤x≤ b)=√(x)dx Lässt sich mit dem WTR bei Normalcdf berechnen Standardisierte Binomialverteilung Abgebildet ist das Histogramm einer binomial- verteilten Zufallsgröße X mit n = 50 und p = 0,4. Der Erwartungswert ist u = 50 0,4 = 20 und die Standardabweichung o-√50 0,4-0,6 - √12 = 3,464. Die rote Kurve ist der Graph der Gauß'schen Glockenfunktion 20; √12. b+0,5 TY Pla≤ x ≤ b) = μ₁0 (x) dx a-0,5 0,12- 0,10- 0,08- 0,06- 0,04- 0,02- 0 Y = P20;√12(x) n = 50 p=0,4 Die Histogramme der Binomial verteilung ähneln mit wachsendem n immer mehr einer Gauß'schen Glocken funktion. Man kann die Normalverteilung als Annäherung der Binomialverteilung verwenden, wenn > 3 gilf. Es gilt nach der Stetigkeits korrektur, 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30