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Trigonometrie
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Lernzettel
Hier ist ein Lernzettel rund um das Thema Trigonometrie mit Sinus, Cosinus, Tangens und auch Potenzen mit Abschließenden Übungsaufgaben :)
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Hypothenuse A x COS X Ankathete in rechtwinkligen Dreiecken sin α = Gegenkathete a Hypothenuse tan x = Beispiele: B a=10m 7cm 3. D = _Ankathete__ = AK Hypothenuse Hyp TRIGONOMETRIE sinus, kosinus, tangens C 180-α ४ = B 180-90-20 = 70° ß = 70° tan(a): Gegen kathete Gegenkathete = GK Ankathete AK b= 15m x) = 0 B = GK нур : Sing = GK - Нур 1. gesucht Gegenkathete zu 8 also c ( gegeben: X= 20°, x = 90° a = 7cm, Ankathete: Die Ankathete ist die Selte, die direkt am ge- suchten Winkel (a) liegt Gegenkathete: Die Gegen kathete ist die Seite, die gegen- über des gesuchten Winkels (a) liegt. gegeben: a = 10m , b = 15m X = 90° gesucht: Winkel & tan(x) = GK AK tan(a)= 10 15 tan(a) = 2/3 T∙tan™₁ tan ^(1) ≈ 33,7° →→ α = 33,7° Hypothenuse: Die Hypothenuse ist die Seite, die gegenüber des rechten Winkels liegt und ist die längste Seite in einem Dreieck sin 8 = = = = 1 sina 180-x-8=8 180-33,7-90-= 56,3° ³ = 56,3° sin 8 sin 20° 7 = C Sin 20° 72,39 → C= 2,39 [cm] 1.7 cos8 ZZZ cosa 2. B A 5,8cm C B 7.Juni.2021 a C tan x 4cm tang gegeben: C= 5,8cm α: 40°. B = 90° gesucht: b Cos(x) = AK Нур cos (40%) = 58.b cos(40°) b = 5,8cm |:cos (40) b = 5,8 4. mit Satz des Pythagoras a² + b² = c² A cos(40) b = 7.57cm b (4)²+(3)² = (² 3cm 16² +9² 25² (= 5 [cm] = in beliebigen Dreiecken Beispiel: 77/200 = 180 x B= 8 180-77-77= 26° TRIGONOMETRIE Sin(B) = GK Нур sin (ß). = bc = hc |·51,1 a 51,1 c= 23cm sin(³) · 51,1 = hc sin (77⁰) : 51,1 ≈ 49,8 [cm] hc 49,8 [cm] BOGENMAB Beispiel: x = 50° = 50 360 EINHEITSKREIS: •x. 2-TT- 360 2 -Ankathete sin 0,8726 Gegenkathete :...
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2TT≈ 0,8726 77⁰ Umfang a+b+c Flächeninnalt → 1 ab (Grund seite mal Höhe) 2 = Sin 50° gegeben α = 77°.B=77° da gleichschenklich. gesucht: b, a : C. = AB basis hc. cos (α) AK HYP sin(x) cos(α) 2 = costax) = 들 = 쓸 = 1115 cos(a) b= 1115 b = 11,5 = 11.5 AK = Hyp cos(a) COS(77°) Der Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius 1cm und dem Mittelpunkt im koordinaten ursprung sinx b 51,1 [cm] ax 51.1 [cm] weil gleichschenklich Kosinus -Wert an der x- Achse ablesen Sinus-Wert an der y-Achse ablesen = GK = GK = GK = y Hyp 1.b |: cos(x) AK = AK=X => P(xly) es gilt: Bogenmaß = ∞ · 2TT 360° 1 2 3 1. am. an. = a 2 POTENZEN Potenzgesetze 3 (an) m = an.m a^ b^= (a.b)" Beispiele für die Potenzgesetze 23.24 - 23+4 4².43 7².7° mtn (52)3 = 52.3 = 56 (2-²)² = 2-3·²=2-6 (6-²) 5 = 6-2-5 = 6 10 4²+3=45= 1024 2 To =: 7².1 = 7² +⁰ = 49 a²n=1/12 = . Beispiele 5 = 27 4 39.5 = 3·3·3·3·5·5·5·5 = (3·5) · (3·5) · (3·5) ·(3·5) = (3·S)“ 2².4² = 2.2.4.4 = (2·4)· (2·4) = (2·4)² 7³.10³= (7.10)³ Potenzen mit einem negativem Exponenten ↳es gilt: a -3 5-³ = 1/3/33 5³ -5 *(3)³ →→(-7)*² = 1 = 4,2 100,00042 4,9-10-3 = 0.0049 = = → (√9) ² = 1 (-7)² 2.2.2.2.2.2.2 = 128 7 mal (नप) 1 5.5.5 125 = 1 49 ( 17 )³₁ = 1 · ( ² ) ³ (3) = I #0 1 = 0,008 4 (²)³ = 243 32 = 0,25 wissenschaftliche Schreibweise: 4.6 10124.600000000000 ↳der positive Exponent der 10 gibt an, um wie viele Stellen das Komma nach rechts verschoben werden muss 2,5-10 = 0.0000000025 ↳der negative Exponent der 10 gibt an, um wie viele Stellen das Komma nach links verschoben werden muss 0₁3105= 0,000003 4 Potenz a³ 3²= 3.39 = a aa a = a.a.a 105 10² 1. wenn beide Exponenten negative Zahlen sind 40 2²²-24 = 1/2 1/4 = Beispiele wenn der eine Exponent positiv und der andere negativ_ist 4D 3².3²² = 3²² 13 ²2 = 33²2²2 = 3·3 =1=3° = 3²+(-²)-3 2-2 3.3 -2 = 100.000 = 100 10° = 1 Zehnerpotenzen potenziert man 10 mit einer natürlichen zahl, erhält man eine Stufenzahl. 10" ergibt eine 1 mit n Nullen 10.1 Beispiele: 10-5 8 2.10³ = 2.1000 - 2000 8 a Basis (Grundzahl) 10-²=1 10² b = 1 105 100.000 Exponent ↳ potenziert man 10 mit einer negativen zahl, so erhält man Zehntel, Hundertstel.... Bei 10° Steht die Ziffer 1 an der n-ten Nachkommerstelle 3.10.3 8 1 = 1 = 2 (²+4)_₂2+(-4) =2 = 26 2-2-2-2-2-2, 64 100 10" bewirkt eine Komma- verschiebung um n Stellen nach rechts. = 0,00001 = 0,01 1 = 011 10 = 3·0,001 = 0,003 10th bewirkt eine Rommaverschiebung um n Stellen nach links S.189, Aufgabe 32-34 übungsaufgaben -2+1+-5 -2+1-5 (-1) 4 (-1)² = (-1) ²2² = (-1)6 = 1 -2 -5 32 a) b·b·b. = b b) C) 2³ · (2)³ = (2-1) ³ 23 -4 α) (-4) · (-4)²³ = (-1) = -2 f) ((-x)²)6 = (-x) 1² _Z = ₁.₁6₁.² = + (x²) (Ə Z 34 a) (a-³-6-³-² = -3 . = 1 " -3 84cm -21 b) (x4-z-6)-³ = x-12. z 18 c) (r³.59)³ = √9.527 9= -3--2 -5.-2 S.168 1 e) x = 90° b = 84cm, B = 43° = 6.9= ton (a) = GH AK tan(a)= a 84 OL9.00 180°-90°-43° = 47° α = 47° 1.84 tan (47°) 84 a = tan (47⁰).842 90 a≈ 90 [cm] -n 33 a) xn.xo = X 1=x b).xm.x-n = m-n X •w.u_D = m_(n+uD) (3 -n⋅m-m d) (x~^)-² = x²-n). (-k) = xn-k -n+n+1 -2n+(-n) x = v+ux•u-X (a f) y-²ny²h = y -n a²+b²=c² (90)+(84)² = (² 8100²+7056²=C² 15156² =C² Ir √15156123.1[cm] C = 123,1[cm] X = h= -2n-n -3h = y U = a+b+c = 90+84+123 = 297 A = 1 · ab = 1/1/2·90.84 = 3780 cm²
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Hypothenuse A x COS X Ankathete in rechtwinkligen Dreiecken sin α = Gegenkathete a Hypothenuse tan x = Beispiele: B a=10m 7cm 3. D = _Ankathete__ = AK Hypothenuse Hyp TRIGONOMETRIE sinus, kosinus, tangens C 180-α ४ = B 180-90-20 = 70° ß = 70° tan(a): Gegen kathete Gegenkathete = GK Ankathete AK b= 15m x) = 0 B = GK нур : Sing = GK - Нур 1. gesucht Gegenkathete zu 8 also c ( gegeben: X= 20°, x = 90° a = 7cm, Ankathete: Die Ankathete ist die Selte, die direkt am ge- suchten Winkel (a) liegt Gegenkathete: Die Gegen kathete ist die Seite, die gegen- über des gesuchten Winkels (a) liegt. gegeben: a = 10m , b = 15m X = 90° gesucht: Winkel & tan(x) = GK AK tan(a)= 10 15 tan(a) = 2/3 T∙tan™₁ tan ^(1) ≈ 33,7° →→ α = 33,7° Hypothenuse: Die Hypothenuse ist die Seite, die gegenüber des rechten Winkels liegt und ist die längste Seite in einem Dreieck sin 8 = = = = 1 sina 180-x-8=8 180-33,7-90-= 56,3° ³ = 56,3° sin 8 sin 20° 7 = C Sin 20° 72,39 → C= 2,39 [cm] 1.7 cos8 ZZZ cosa 2. B A 5,8cm C B 7.Juni.2021 a C tan x 4cm tang gegeben: C= 5,8cm α: 40°. B = 90° gesucht: b Cos(x) = AK Нур cos (40%) = 58.b cos(40°) b = 5,8cm |:cos (40) b = 5,8 4. mit Satz des Pythagoras a² + b² = c² A cos(40) b = 7.57cm b (4)²+(3)² = (² 3cm 16² +9² 25² (= 5 [cm] = in beliebigen Dreiecken Beispiel: 77/200 = 180 x B= 8 180-77-77= 26° TRIGONOMETRIE Sin(B) = GK Нур sin (ß). = bc = hc |·51,1 a 51,1 c= 23cm sin(³) · 51,1 = hc sin (77⁰) : 51,1 ≈ 49,8 [cm] hc 49,8 [cm] BOGENMAB Beispiel: x = 50° = 50 360 EINHEITSKREIS: •x. 2-TT- 360 2 -Ankathete sin 0,8726 Gegenkathete :...
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2TT≈ 0,8726 77⁰ Umfang a+b+c Flächeninnalt → 1 ab (Grund seite mal Höhe) 2 = Sin 50° gegeben α = 77°.B=77° da gleichschenklich. gesucht: b, a : C. = AB basis hc. cos (α) AK HYP sin(x) cos(α) 2 = costax) = 들 = 쓸 = 1115 cos(a) b= 1115 b = 11,5 = 11.5 AK = Hyp cos(a) COS(77°) Der Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius 1cm und dem Mittelpunkt im koordinaten ursprung sinx b 51,1 [cm] ax 51.1 [cm] weil gleichschenklich Kosinus -Wert an der x- Achse ablesen Sinus-Wert an der y-Achse ablesen = GK = GK = GK = y Hyp 1.b |: cos(x) AK = AK=X => P(xly) es gilt: Bogenmaß = ∞ · 2TT 360° 1 2 3 1. am. an. = a 2 POTENZEN Potenzgesetze 3 (an) m = an.m a^ b^= (a.b)" Beispiele für die Potenzgesetze 23.24 - 23+4 4².43 7².7° mtn (52)3 = 52.3 = 56 (2-²)² = 2-3·²=2-6 (6-²) 5 = 6-2-5 = 6 10 4²+3=45= 1024 2 To =: 7².1 = 7² +⁰ = 49 a²n=1/12 = . Beispiele 5 = 27 4 39.5 = 3·3·3·3·5·5·5·5 = (3·5) · (3·5) · (3·5) ·(3·5) = (3·S)“ 2².4² = 2.2.4.4 = (2·4)· (2·4) = (2·4)² 7³.10³= (7.10)³ Potenzen mit einem negativem Exponenten ↳es gilt: a -3 5-³ = 1/3/33 5³ -5 *(3)³ →→(-7)*² = 1 = 4,2 100,00042 4,9-10-3 = 0.0049 = = → (√9) ² = 1 (-7)² 2.2.2.2.2.2.2 = 128 7 mal (नप) 1 5.5.5 125 = 1 49 ( 17 )³₁ = 1 · ( ² ) ³ (3) = I #0 1 = 0,008 4 (²)³ = 243 32 = 0,25 wissenschaftliche Schreibweise: 4.6 10124.600000000000 ↳der positive Exponent der 10 gibt an, um wie viele Stellen das Komma nach rechts verschoben werden muss 2,5-10 = 0.0000000025 ↳der negative Exponent der 10 gibt an, um wie viele Stellen das Komma nach links verschoben werden muss 0₁3105= 0,000003 4 Potenz a³ 3²= 3.39 = a aa a = a.a.a 105 10² 1. wenn beide Exponenten negative Zahlen sind 40 2²²-24 = 1/2 1/4 = Beispiele wenn der eine Exponent positiv und der andere negativ_ist 4D 3².3²² = 3²² 13 ²2 = 33²2²2 = 3·3 =1=3° = 3²+(-²)-3 2-2 3.3 -2 = 100.000 = 100 10° = 1 Zehnerpotenzen potenziert man 10 mit einer natürlichen zahl, erhält man eine Stufenzahl. 10" ergibt eine 1 mit n Nullen 10.1 Beispiele: 10-5 8 2.10³ = 2.1000 - 2000 8 a Basis (Grundzahl) 10-²=1 10² b = 1 105 100.000 Exponent ↳ potenziert man 10 mit einer negativen zahl, so erhält man Zehntel, Hundertstel.... Bei 10° Steht die Ziffer 1 an der n-ten Nachkommerstelle 3.10.3 8 1 = 1 = 2 (²+4)_₂2+(-4) =2 = 26 2-2-2-2-2-2, 64 100 10" bewirkt eine Komma- verschiebung um n Stellen nach rechts. = 0,00001 = 0,01 1 = 011 10 = 3·0,001 = 0,003 10th bewirkt eine Rommaverschiebung um n Stellen nach links S.189, Aufgabe 32-34 übungsaufgaben -2+1+-5 -2+1-5 (-1) 4 (-1)² = (-1) ²2² = (-1)6 = 1 -2 -5 32 a) b·b·b. = b b) C) 2³ · (2)³ = (2-1) ³ 23 -4 α) (-4) · (-4)²³ = (-1) = -2 f) ((-x)²)6 = (-x) 1² _Z = ₁.₁6₁.² = + (x²) (Ə Z 34 a) (a-³-6-³-² = -3 . = 1 " -3 84cm -21 b) (x4-z-6)-³ = x-12. z 18 c) (r³.59)³ = √9.527 9= -3--2 -5.-2 S.168 1 e) x = 90° b = 84cm, B = 43° = 6.9= ton (a) = GH AK tan(a)= a 84 OL9.00 180°-90°-43° = 47° α = 47° 1.84 tan (47°) 84 a = tan (47⁰).842 90 a≈ 90 [cm] -n 33 a) xn.xo = X 1=x b).xm.x-n = m-n X •w.u_D = m_(n+uD) (3 -n⋅m-m d) (x~^)-² = x²-n). (-k) = xn-k -n+n+1 -2n+(-n) x = v+ux•u-X (a f) y-²ny²h = y -n a²+b²=c² (90)+(84)² = (² 8100²+7056²=C² 15156² =C² Ir √15156123.1[cm] C = 123,1[cm] X = h= -2n-n -3h = y U = a+b+c = 90+84+123 = 297 A = 1 · ab = 1/1/2·90.84 = 3780 cm²