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Trigonometrie
27.9.2021
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Hypothenuse A A Ankathete COS α = tan α = Beispiele: in rechtwinkligen Dreiecken sin α = Gegenkathete = GK Hypothenuse Hyp a=10m 7cm TRIGONOMETRIE sinus, kosinus, tangens C 3. 180-α - 8 = ß 180-90-20= 70° ß = 70° Ankathete = AK Hypothenuse Hyp tan(a)= Gegen kathete Gegenkathete = GK Ankathete AK b= 15m 6 a tan(a)= sing = GK Ghin A Hyp 1. gesucht Gegenkathete zu x, also c gegeben. X= 20°, x = 90° a = 7cm, gegeben: a = 10m, b = 15m X = 90° gesucht: Winkela Ankathete: Die Ankathete ist die Selte, die direkt am ge- suchten Winkel (a) liegt. tan (a) = 10 15 9:33 I. tan tan () 33,7° → α = 33,7° Gegen kathete: Die Gegen kathete ist die Seite, die gegen - über des gesuchten Winkels (a) liegt. Hypothenuse: Die Hypothenuse ist die Seite, die gegenüber des rechten Winkels liegt und ist die längste Seite in einem Dreieck sin 8 = tan(x) = GK AK 들 C sinx cosx tanx Z Z Z B B sin X с cOSX ZZZ A sin 20° 7 = C 180-α-8=ß 180-33,7-90= 56,3° @=56,3° Sin 20° 72,39 ·|-7 C= 2,39 [cm] 2. A 5,8cm B b 4. 7.Juni 2021 C с уста a tang gegeben: c= 5,8cm x = 40° B = 90° gesucht: b COS(x) = AK Hyp cos (40%) = 58.b. b cos(40°) b = 5,8cm |:cos (40) b = 5,8 COS(40) b = 7.57cm mit Satz des Pythagoras a² + b² = c² A (4)² +(3)² = = C² 3cm 16² +9² = 25² 6 (= 5 [cm] in beliebigen Beispiel: b = sin (B) = GK Hyp sin (B) b 180 x B= 8 180 77-77= 26° x 360 Dreiecken. 들 =_50 360 BOGENMAB Beispiel. x = 50° Umfang a+b+c Flächen innalt - 1 2 2.TT TRIGONOMETRIE Ihc AD (770 = bc = hc a 51,1 c= 23cm EINHEITSKREIS: sin (B) 51,1= hc sin (77°) 51,1 ≈ 49,8 [cm] hc 49,8 [cm] -Ankathete = 13° 2TT 0,8726 ${ Gegenkathete sin 0,8726 =...
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Alternativer Bildtext:
Sin 50° . · 51,1 gegeben: x = 77°, B = 77° da gleichschenklich C = AB basis cos (a) = AK HYP cos(x) = b cos(a) b = 1115 b = 2 232 b cos(a)= AK = Hyp 11,5 = 11.5 cos(x) COS(77°) ab (Grundseite mal Höhe) sin a = 11,5 b b≈ 51,1 [cm] ax 51.1 [cm] weil gleichschenklich sin(x) = GK = GK = GK = y Hyp 1 Der Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius 1cm und dem Mittelpunkt im Koordinaten ursprung Kosinus-Wert an der x- Achse ablesen Sinus-Wert an der y Achse ablesen 1.b |: cos(x) AK = AK = X 1 => P(xly) es gilt: Bogenmaß = α 360° gesucht: 2TT b, a hc. 1 2 1 2 POTENZEN Potenzgesetze = amtn (a.b)" . aman an bh m 3 (an) - anm = Beispiele fur die Potenzgesetze 23 3+4 24 = 2 4².43 7².7° 4²+3 = 45 = 1024 = 7²1 = 72+0 = 49 = 27 = 2 2 2 2 2 2 2 = 128 7mal 3 (5²)³ = 52.3 = 56 (2-²)² = 2.3.2 = 2-6 (6-²) 5 = 6-²-5 = 6¹ 3 5 = 3-3-3-3-5-5-5-5 = (3-5) (3-5) (35) (3.5) = (3.5)9 2².4² = 2.2.4.4 = (2-4) (2·4) = (2-4)² 7³.10³ = (7.10)³ Potenzen mit einem negativem Exponenten es gilt: a = 1 Beispiele 5 = -5 (3) → (-7) ¹² = 1 = (-7)² 0,3 105= 0.000003 4,2 100,00042 4.9 10³= 0.0049. 5-5-5 125 -9 2,5-10 = 0.0000000025 #0 = 1 49 1 (3) ³ → (√)² = 1 = 1 = 0,25 (14) ² 4 1 = 0,008 = 1 1. (-3) 5 = 243 32 Wissenschaftliche Schreibweise: 4.6 10124.600000000000 ↳der positive Exponent der 10 gibt an, um wie viele Stellen das Komma nach rechts verschoben werden muss Potenz - ↳a" a·a·a·a a³ = a·a·a 32 3.39 wenn beide Exponenten negative Zahlen sind 14D 2²² · 24 = 1/2 14 ²3 = 26 wenn der eine Exponent positiv und der andere negativ ist 43².3² = 3².1 = 3² = 3·3 = 1=3⁰=3²+(-2)-32-2 3.3 Beispiele 105 100.000 10² = 100 10° = 1 2.10³ = 2.1000 = 2000 Beispiele: 10 5 = 1 105 10-2 ↳der negative Exponent der 10 gibt an, um wie viele Stellen das Komma nach links verschoben werden muss 10-1 Zehnerpotenzen ↳ potenziert man 10 mit einer natürlichen zahl erhält man eine Stufenzahl. 10h ergibt eine 1 mit n Nullen a Basis (Grundzahl) 10² Exponent ↳ potenziert man 10 mit einer negativen Zahl, so erhält man Zehntel, Hundertstel. Bei 10°h Steht die Ziffer 1 an der n-ten Nachkommerstelle 10 = 1 = 1 = 2 (²+14) = 2 ² ² + (-4) =2-6 2-2-2-2-2.2 64 1 100.000 1 100 = 0₁1 10 bewirkt eine Komma- verschiebung. um n.Stellen nach rechts = 0,00001 = 0,01 3 3.10 = 3 0,001 = 0,003 10th bewirkt eine Rommaverschiebung um n Stellen nach links übungsaufgaben S.189. Aufgabe 32-34. = b 32 a) b²b.b .6-5 b) (-1) 4 (-1)² = (-1) 4² c) 2³ (2)³ = (22)³ = 1 = -4° d) (-4) (-4)³ = (-4) = -2 34 a) (9³-6-³-² -2 + 1+-5 -3.7 e) (7²³)² = z²³.7 = Z f) ((-x)²)6 = (-x) 1² -21 6 84cm a · b b) (x4-2-6)-3 = x 12.7 18 c) (r-³.5-9)-3 S.168 1 e) 8 = 90°, b = 84 cm, B = 43° B 41° -2+1-5 =b (-1) 6=1 = 6²6 = aº 180°-90°-43° = 47° α = 47° ton (a) = GH AK +an(a)= a 84 1.84 tan (47°) 84 a tan (47) 84 90 a≈ 90 [cm] 33 a) x a . -n · 1 = x xmx-n = xm-n c) (an)-m = anm-m d) (x-n)-k = x²-n). (-k) = xn.k -n X²+1 -n+n+1 = x -2n+ (-n) e) x f) y-2n yn = y a²+b²=c² (90)+(84)² = (² 8100²+7056²=C² 15156² =C² IN √15156 ~123.1[cm] C = 123,1[cm] =X =y" -2n-n U = a+b+c = 90+84+123 = 297 A = 1·ab 2 =1/2² = 1.90.84 = 3780 cm² y³n .