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Körper: Ecken, Kanten und Flächen von Zylinder, Kegel, Pyramide und mehr

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studywithlara

10.12.2020

Mathe

Übersicht Körper

Körper: Ecken, Kanten und Flächen von Zylinder, Kegel, Pyramide und mehr

Geometrische Körper und ihre Eigenschaften: Ein umfassender Überblick über Zylinder, Kegel, Prismen und mehr

Zylinder, Kegel und Kugeln haben gekrümmte Begrenzungsflächen, während Würfel, Quader und Prismen von ebenen Flächen begrenzt werden.
• Jeder Körper hat spezifische Formeln für Oberfläche, Mantelfläche und Volumen.
• Teilkörper wie Pyramidenstumpf, Kugelschicht und Kegelstumpf entstehen durch Schnitte der Grundkörper.
• Die Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen variiert je nach Körper und ist entscheidend für deren Eigenschaften.

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10.12.2020

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Körper mit gekrümmten Begrenzungsflächen
Bezeichnungen
(Gerader)Zylinder
. Grund- und Deckfläche
sind zueinander
kongruente und parallele
Kr

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Teilkörper und ihre Eigenschaften

Diese Seite behandelt verschiedene Teilkörper, die durch Schnitte oder Teilungen von Grundkörpern entstehen. Zu den wichtigsten Vertretern gehören der Pyramidenstumpf, die Kugelschicht, der Kegelstumpf, der Kugelabschnitt und der Kugelausschnitt.

Pyramidenstumpf

Ein Pyramidenstumpf entsteht, wenn man eine Pyramide parallel zur Grundfläche schneidet.

Definition: Ein Pyramidenstumpf ist der Restkörper, der übrig bleibt, wenn man von einer Pyramide durch einen zur Grundfläche parallelen Schnitt die Spitze abtrennt.

Für einen quadratischen Pyramidenstumpf gelten folgende Formeln:

  • Grundfläche AGAG: AG = a₁²
  • Deckfläche ADAD: AD = a₂²
  • Mantelfläche AMAM: AM = 2a1+a2a₁ + a₂h2+((a1a2h² + ((a₁ - a₂/2)²)
  • Oberfläche AoAo: Ao = a₁² + 2a1+a2a₁ + a₂h2+((a1a2h² + ((a₁ - a₂/2)²) + a₂²
  • Volumen VV: V = h/3a12+a1a2+a22a₁² + a₁a₂ + a₂²

Highlight: Die Formel für das Volumen eines Pyramidenstumpfs lässt sich allgemein ausdrücken als: V = h/3AG+(AGADAG + √(AG · AD + AD)

Kugelschicht

Eine Kugelschicht entsteht, wenn man eine Kugel mit zwei parallelen Ebenen schneidet.

Example: Eine Orangenscheibe kann als Annäherung an eine Kugelschicht betrachtet werden.

Für die Kugelschicht gelten spezielle Formeln für Oberfläche und Volumen, die von den Radien der Schnittkreise und der Höhe der Schicht abhängen.

Kegelstumpf

Ein Kegelstumpf entsteht durch einen zur Grundfläche parallelen Schnitt durch einen Kegel.

Vocabulary: Die Mantellinie eines Kegelstumpfs ist die Strecke, die von einem Punkt des oberen Kreisrandes zum entsprechenden Punkt des unteren Kreisrandes verläuft.

Für den Kegelstumpf gelten folgende Formeln:

  • Grundfläche AGAG: AG = πr₂²
  • Deckfläche ADAD: AD = πr₁²
  • Mantelfläche AMAM: AM = πsr2+r1r₂ + r₁, wobei s² = r2r1r₂ - r₁² + h²
  • Oberfläche AoAo: Ao = AG + AD + AM
  • Volumen VV: V = πh/3r22+r2r1+r12r₂² + r₂r₁ + r₁²

Kugelabschnitt und Kugelausschnitt

Ein Kugelabschnitt entsteht, wenn eine Kugel durch eine Ebene geschnitten wird. Ein Kugelausschnitt besteht aus einem Kugelabschnitt und einem Kreiskegel, wobei der Kugelmittelpunkt die Spitze des Kegels bildet.

Highlight: Die Formeln für Oberfläche und Volumen von Kugelabschnitten und Kugelausschnitten sind komplex und hängen von der Höhe des Abschnitts und dem Radius der Kugel ab.

Diese Teilkörper finden in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Physik Anwendung, insbesondere bei der Berechnung von Volumina und Oberflächen komplexer Formen.

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Philipp, iOS User

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Lena, iOS Userin

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

 

Mathe

1.742

10. Dez. 2020

2 Seiten

Körper: Ecken, Kanten und Flächen von Zylinder, Kegel, Pyramide und mehr

Geometrische Körper und ihre Eigenschaften: Ein umfassender Überblick über Zylinder, Kegel, Prismen und mehr

Zylinder, Kegel und Kugeln haben gekrümmte Begrenzungsflächen, während Würfel, Quader und Prismen von ebenen Flächen begrenzt werden.
• Jeder Körper hat spezifische Formeln... Mehr anzeigen

Körper mit gekrümmten Begrenzungsflächen
Bezeichnungen
(Gerader)Zylinder
. Grund- und Deckfläche
sind zueinander
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Teilkörper und ihre Eigenschaften

Diese Seite behandelt verschiedene Teilkörper, die durch Schnitte oder Teilungen von Grundkörpern entstehen. Zu den wichtigsten Vertretern gehören der Pyramidenstumpf, die Kugelschicht, der Kegelstumpf, der Kugelabschnitt und der Kugelausschnitt.

Pyramidenstumpf

Ein Pyramidenstumpf entsteht, wenn man eine Pyramide parallel zur Grundfläche schneidet.

Definition: Ein Pyramidenstumpf ist der Restkörper, der übrig bleibt, wenn man von einer Pyramide durch einen zur Grundfläche parallelen Schnitt die Spitze abtrennt.

Für einen quadratischen Pyramidenstumpf gelten folgende Formeln:

  • Grundfläche AGAG: AG = a₁²
  • Deckfläche ADAD: AD = a₂²
  • Mantelfläche AMAM: AM = 2a1+a2a₁ + a₂h2+((a1a2h² + ((a₁ - a₂/2)²)
  • Oberfläche AoAo: Ao = a₁² + 2a1+a2a₁ + a₂h2+((a1a2h² + ((a₁ - a₂/2)²) + a₂²
  • Volumen VV: V = h/3a12+a1a2+a22a₁² + a₁a₂ + a₂²

Highlight: Die Formel für das Volumen eines Pyramidenstumpfs lässt sich allgemein ausdrücken als: V = h/3AG+(AGADAG + √(AG · AD + AD)

Kugelschicht

Eine Kugelschicht entsteht, wenn man eine Kugel mit zwei parallelen Ebenen schneidet.

Example: Eine Orangenscheibe kann als Annäherung an eine Kugelschicht betrachtet werden.

Für die Kugelschicht gelten spezielle Formeln für Oberfläche und Volumen, die von den Radien der Schnittkreise und der Höhe der Schicht abhängen.

Kegelstumpf

Ein Kegelstumpf entsteht durch einen zur Grundfläche parallelen Schnitt durch einen Kegel.

Vocabulary: Die Mantellinie eines Kegelstumpfs ist die Strecke, die von einem Punkt des oberen Kreisrandes zum entsprechenden Punkt des unteren Kreisrandes verläuft.

Für den Kegelstumpf gelten folgende Formeln:

  • Grundfläche AGAG: AG = πr₂²
  • Deckfläche ADAD: AD = πr₁²
  • Mantelfläche AMAM: AM = πsr2+r1r₂ + r₁, wobei s² = r2r1r₂ - r₁² + h²
  • Oberfläche AoAo: Ao = AG + AD + AM
  • Volumen VV: V = πh/3r22+r2r1+r12r₂² + r₂r₁ + r₁²

Kugelabschnitt und Kugelausschnitt

Ein Kugelabschnitt entsteht, wenn eine Kugel durch eine Ebene geschnitten wird. Ein Kugelausschnitt besteht aus einem Kugelabschnitt und einem Kreiskegel, wobei der Kugelmittelpunkt die Spitze des Kegels bildet.

Highlight: Die Formeln für Oberfläche und Volumen von Kugelabschnitten und Kugelausschnitten sind komplex und hängen von der Höhe des Abschnitts und dem Radius der Kugel ab.

Diese Teilkörper finden in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Physik Anwendung, insbesondere bei der Berechnung von Volumina und Oberflächen komplexer Formen.

Körper mit gekrümmten Begrenzungsflächen
Bezeichnungen
(Gerader)Zylinder
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Körper mit gekrümmten Begrenzungsflächen

Diese Seite behandelt geometrische Körper, deren Oberflächen nicht ausschließlich aus ebenen Flächen bestehen. Zu den wichtigsten Vertretern gehören der Zylinder, der Hohlzylinder, der Kegel, die Kugel und der Torus.

Zylinder

Der gerade Zylinder ist ein geometrischer Körper, dessen Grund- und Deckfläche aus kongruenten und parallelen Kreisen bestehen.

Definition: Die Mantelfläche eines Zylinders lässt sich als Rechteck abwickeln.

Für den Zylinder gelten folgende Formeln:

  • Grundfläche AGAG: AG = πr²
  • Mantelfläche AMAM: AM = 2πrh
  • Oberfläche AoAo: Ao = 2AG + AM
  • Volumen VV: V = AG · h = πr²h

Highlight: Die Frage "Wie viele Kanten hat ein Zylinder?" lässt sich nicht eindeutig beantworten, da ein Zylinder im strengen Sinne keine Kanten hat. Er hat lediglich zwei kreisförmige Ränder, wo Mantel- und Grundflächen aufeinandertreffen.

Hohlzylinder

Der gerade Hohlzylinder ähnelt dem Zylinder, hat jedoch Grund- und Deckflächen in Form von Kreisringen.

Vocabulary: Ein Kreisring ist die Fläche zwischen zwei konzentrischen Kreisen mit unterschiedlichen Radien.

Die Mantelfläche eines Hohlzylinders besteht aus zwei Rechtecken. Die Formeln für den Hohlzylinder sind komplexer als die des einfachen Zylinders und berücksichtigen sowohl den inneren als auch den äußeren Radius.

Kegel

Der gerade Kegel hat eine kreisförmige Grundfläche und eine Spitze.

Example: Ein typisches Beispiel für einen Kegel ist eine Eistüte oder ein Partyhut.

Die abgewickelte Mantelfläche eines Kegels ist ein Kreisausschnitt. Für den Kegel gelten folgende Formeln:

  • Grundfläche AGAG: AG = πr²
  • Mantelfläche AMAM: AM = πrs, wobei s² = r² + h²
  • Oberfläche AoAo: Ao = AG + AM
  • Volumen VV: V = 1/3 · AG · h = 1/3πr²h

Highlight: Auf die Frage "Wie viele Kanten hat ein Kegel?" ist die Antwort, dass ein Kegel im mathematischen Sinne keine Kanten hat, sondern nur eine kreisförmige Grundfläche und eine gekrümmte Mantelfläche.

Kugel

Eine Kugel ist ein perfekt symmetrischer dreidimensionaler Körper, bei dem alle Punkte auf der Oberfläche den gleichen Abstand zum Mittelpunkt haben.

Definition: Der Abstand vom Mittelpunkt zur Oberfläche wird als Radius bezeichnet.

Für die Kugel gelten folgende Formeln:

  • Oberfläche AoAo: Ao = 4πr²
  • Volumen VV: V = 4/3πr³

Torus

Ein Torus ist ein Rotationskörper, der durch die Rotation einer Kreisfläche um eine Achse entsteht.

Example: Ein typisches Beispiel für einen Torus ist ein Rettungsring oder ein Donut.

Die Formel für das Volumen eines Torus lautet: V = 2π²r²R, wobei r der Radius der rotierenden Kreisfläche und R der Abstand zwischen dem Mittelpunkt dieser Kreisfläche und der Rotationsachse ist.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

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Sudenaz Ocak

Android user

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Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

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Marcus B

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Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

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Lena M

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Timo S

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Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

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Julia S

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Marcus B

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Sarah L

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