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Laura
24.11.2025
Mathe
Umformung (Scheitelpunktform, Normalform und faktorisierte Form)
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24. Nov. 2025
•
Laura
@laur_cwpy
Quadratische Funktionen sind grundlegend für die Algebra und begegnen uns... Mehr anzeigen
Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion ist f(x) = ax² + bx + c, wobei der Streckfaktor a ist und c den y-Achsenabschnitt darstellt. Diese Form ist der Ausgangspunkt für alle weiteren Umformungen.
Um von der Scheitelpunktform zur allgemeinen Form zu kommen, löst du die Klammern auf. Ohne Streckfaktor verwendest du die binomische Formel ² = a²+ 2ab+b² oder ² = a²-2ab+b² und vereinfachst dann den Ausdruck. Bei einer Funktion wie f(x) = ²-3 erhältst du nach dem Auflösen x²+2x-2.
Mit Streckfaktor wird es etwas komplexer: Zuerst löst du die innere Klammer auf, dann multiplizierst du mit dem Streckfaktor und vereinfachst den Ausdruck.
💡 Merkhilfe: Bei der Umwandlung hilft es, die binomischen Formeln auswendig zu können - sie sind wie mathematische Abkürzungen!
Nehmen wir g(x) = -3² + 4 als Beispiel für die Umformung mit Streckfaktor. Nach dem Auflösen der Klammer erhalten wir -3+4. Multiplizieren wir aus, bekommen wir -3x²+12x-12+4, was vereinfacht -3x²+12x-8 ergibt. Der Streckfaktor ist -3 und der y-Achsenabschnitt -8.
Um von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform zu kommen, nutzen wir die quadratische Ergänzung. Dabei ergänzt du einen passenden Summanden und subtrahierst ihn wieder, um die binomische Form zu erreichen.
Ohne Streckfaktor nimmst du bei f(x) = x²+8x-4 die Hälfte des Koeffizienten von x (also 4), quadrierst ihn (16) und ergänzt: x²+8x+16-16-4. Dies wird zu ²-20 umgeformt.
⚠️ Wichtig: Der Trick bei der quadratischen Ergänzung ist, den Koeffizienten vor x zu halbieren und dann zu quadrieren!
Bei Funktionen mit Streckfaktor wie g(x) = 0,5x²-3x+5 klammerst du erst den Streckfaktor aus: 0,5. Dann folgt die quadratische Ergänzung innerhalb der Klammer und die Umwandlung in die binomische Form. Am Ende erhältst du 0,5²+0,5.
Die faktorisierte Form f(x) = a ist besonders nützlich, weil du sofort die Nullstellen ablesen kannst: x₁ = m und x₂ = n. Der Streckfaktor ist wieder a.
Um von der faktorisierten Form zur allgemeinen Form zu gelangen, multiplizierst du die Klammern aus und fasst zusammen. Zum Beispiel wird aus f(x) = 3 nach dem Ausmultiplizieren 3x²+6x-72.
💡 Tipp: Die faktorisierte Form ist super für Nullstellenberechnungen, weil du sie direkt ablesen kannst!
Quadratische Funktionen begegnen dir in vielen praktischen Situationen: Die Abwurfhöhe entspricht dem y-Achsenabschnitt, die Maximalhöhe findest du in der Scheitelpunktform und die Flugweite bestimmst du über die Nullstellen.
Zum Lösen quadratischer Gleichungen gibt es verschiedene Methoden. Besonders einfach ist der Satz vom Null-Produkt: Wenn ein Produkt null ist, muss mindestens ein Faktor null sein. Bei = 0 sind die Nullstellen daher x₁ = 2 und x₂ = -1.
Manchmal musst du erst umformen, bevor du die Nullstellen bestimmen kannst. Bei 2x² + 6x = 0 kannst du zum Beispiel x ausklammern und erhältst x = 0, woraus die Nullstellen x₁ = 0 und x₂ = -3 folgen.
💡 Merke: Bei der Faktorform sind die Nullstellen immer die umgekehrten Werte in den Klammern!
Bei komplexeren Gleichungen wie ²-6=10 musst du schrittweise vorgehen: Addiere 6 auf beiden Seiten, ziehe die Wurzel und addiere 1. Das ergibt die Lösungen x₁ = 5 und x₂ = -3.
Du kannst quadratische Gleichungen auch zeichnerisch lösen, indem du den Graphen der Funktion darstellst und die Schnittpunkte mit der x-Achse bestimmst. Diese Schnittpunkte sind genau die Nullstellen der Funktion.
Die verschiedenen Lösungsmethoden geben dir Flexibilität - je nach Aufgabenstellung kannst du die effizienteste Methode wählen. Mit etwas Übung wirst du schnell erkennen, welcher Ansatz sich am besten eignet.
💪 Du schaffst das: Merke dir einfach, dass quadratische Gleichungen immer maximal zwei Lösungen haben können - manchmal auch nur eine oder gar keine!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Anna
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Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Julia S
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Hans T
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Laura
@laur_cwpy
Quadratische Funktionen sind grundlegend für die Algebra und begegnen uns in vielen Anwendungen des Alltags. Du wirst lernen, wie du zwischen verschiedenen Formen wechseln und quadratische Gleichungen lösen kannst. Diese Fähigkeiten sind wichtig für viele Bereiche der Mathematik.
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Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion ist f(x) = ax² + bx + c, wobei der Streckfaktor a ist und c den y-Achsenabschnitt darstellt. Diese Form ist der Ausgangspunkt für alle weiteren Umformungen.
Um von der Scheitelpunktform zur allgemeinen Form zu kommen, löst du die Klammern auf. Ohne Streckfaktor verwendest du die binomische Formel ² = a²+ 2ab+b² oder ² = a²-2ab+b² und vereinfachst dann den Ausdruck. Bei einer Funktion wie f(x) = ²-3 erhältst du nach dem Auflösen x²+2x-2.
Mit Streckfaktor wird es etwas komplexer: Zuerst löst du die innere Klammer auf, dann multiplizierst du mit dem Streckfaktor und vereinfachst den Ausdruck.
💡 Merkhilfe: Bei der Umwandlung hilft es, die binomischen Formeln auswendig zu können - sie sind wie mathematische Abkürzungen!
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Nehmen wir g(x) = -3² + 4 als Beispiel für die Umformung mit Streckfaktor. Nach dem Auflösen der Klammer erhalten wir -3+4. Multiplizieren wir aus, bekommen wir -3x²+12x-12+4, was vereinfacht -3x²+12x-8 ergibt. Der Streckfaktor ist -3 und der y-Achsenabschnitt -8.
Um von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform zu kommen, nutzen wir die quadratische Ergänzung. Dabei ergänzt du einen passenden Summanden und subtrahierst ihn wieder, um die binomische Form zu erreichen.
Ohne Streckfaktor nimmst du bei f(x) = x²+8x-4 die Hälfte des Koeffizienten von x (also 4), quadrierst ihn (16) und ergänzt: x²+8x+16-16-4. Dies wird zu ²-20 umgeformt.
⚠️ Wichtig: Der Trick bei der quadratischen Ergänzung ist, den Koeffizienten vor x zu halbieren und dann zu quadrieren!
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Bei Funktionen mit Streckfaktor wie g(x) = 0,5x²-3x+5 klammerst du erst den Streckfaktor aus: 0,5. Dann folgt die quadratische Ergänzung innerhalb der Klammer und die Umwandlung in die binomische Form. Am Ende erhältst du 0,5²+0,5.
Die faktorisierte Form f(x) = a ist besonders nützlich, weil du sofort die Nullstellen ablesen kannst: x₁ = m und x₂ = n. Der Streckfaktor ist wieder a.
Um von der faktorisierten Form zur allgemeinen Form zu gelangen, multiplizierst du die Klammern aus und fasst zusammen. Zum Beispiel wird aus f(x) = 3 nach dem Ausmultiplizieren 3x²+6x-72.
💡 Tipp: Die faktorisierte Form ist super für Nullstellenberechnungen, weil du sie direkt ablesen kannst!
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Quadratische Funktionen begegnen dir in vielen praktischen Situationen: Die Abwurfhöhe entspricht dem y-Achsenabschnitt, die Maximalhöhe findest du in der Scheitelpunktform und die Flugweite bestimmst du über die Nullstellen.
Zum Lösen quadratischer Gleichungen gibt es verschiedene Methoden. Besonders einfach ist der Satz vom Null-Produkt: Wenn ein Produkt null ist, muss mindestens ein Faktor null sein. Bei = 0 sind die Nullstellen daher x₁ = 2 und x₂ = -1.
Manchmal musst du erst umformen, bevor du die Nullstellen bestimmen kannst. Bei 2x² + 6x = 0 kannst du zum Beispiel x ausklammern und erhältst x = 0, woraus die Nullstellen x₁ = 0 und x₂ = -3 folgen.
💡 Merke: Bei der Faktorform sind die Nullstellen immer die umgekehrten Werte in den Klammern!
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Bei komplexeren Gleichungen wie ²-6=10 musst du schrittweise vorgehen: Addiere 6 auf beiden Seiten, ziehe die Wurzel und addiere 1. Das ergibt die Lösungen x₁ = 5 und x₂ = -3.
Du kannst quadratische Gleichungen auch zeichnerisch lösen, indem du den Graphen der Funktion darstellst und die Schnittpunkte mit der x-Achse bestimmst. Diese Schnittpunkte sind genau die Nullstellen der Funktion.
Die verschiedenen Lösungsmethoden geben dir Flexibilität - je nach Aufgabenstellung kannst du die effizienteste Methode wählen. Mit etwas Übung wirst du schnell erkennen, welcher Ansatz sich am besten eignet.
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Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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