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Vektoren
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Julia S.
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•Definition •besondere Vektoren •Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl •Betrag von Vektoren •Länge von Strecken
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Betrag von Vektoren, Länge von Strecken Mit dem Satz des Pythagoras kann man die Entfernung des Punktes A(a,lazla3) vom Ursprung in zwei Schritten berechnen: 4X3 √a² + a²/2 a2 √a² + a² + a} A' OA'² = a1 + a² OA² = OA¹² + a² = a² + a² + a² X2 |A| = OA = √a² + a² + a² Die Länge dieser Strecke bezeichnet man als Betrag des Ortsvektors A. Bemerkung: Ein Vektor mit dem Betrag 1 nennt man Einheitsvektor. Ist à 0, so bezeichnet man mit a den zu à gehörenden Einheitsvektor. Er hat die gleiche Richtung wie a. Es gilt: ā MOGUS No: |āl ● Vektoren Definition Die Menge aller zueinander paralleler, gleich langer und gleich gerichteter Pfeile bezeichnet man als Vektor. Jeder einzelne Pfeil heißt Repräsentant des Vektors. Bezeichnung:a, b, v Ein Vektor im Raum wird vollständig beschrieben durch die Angabe von drei Koordinaten, etwa: Man unterscheidet zwischen Koordinatendarstellung von Punkten (Zeilenschreibweise), z.B. P(4|-1|3) Koordinatendarstellung des Pfeils AB (Spaltenschreibweise) mit den Ortsvektoren A = OA und B = OB (Der Fußpunkt des Repräsentanten fällt mit dem Ursprung des Koordinatensystems zusammen). Beispiel: A(1|2|3); B(-2|1|3) AB=B-A=b₂-a₂,,Spitze minus Fuß" b3- - A3/ i = (b − a²2) -(₁) 3 -3 v=2 Beispiel: a = Besondere Vektoren: Nullvektor 0:Vektor, bei dem Fußpunkt und Spitze zusammenfallen • Gegenvektor zu a: b = -a Die Repräsentanten zweier Vektoren à und b sind zueinander parallel und gleich lang, aber entgegengesetzt gerichtet. a -2-11 --(-)-() = 3-3 AB=B-A 1-2 a und Gegenvektor b a = -(-³) 6=-a...
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Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl (S-Multiplikation) Zahlen werden im Unterschied zu Vektoren auch als Skalare bezeichnet. Für einen Vektor a (a + 0) und eine reelle Zahl r (r + 0) bezeichnet man mit ra den Vektor, dessen Repräsentant a |r|-mal so lang wie die Repräsentanten von a sind, parallel zu den Repräsentanten von á sind, gleich gerichtet zu den Repräsentanten von à sind, falls r>0 und entgegengesetzt gerichtet zu den Repräsentanten von a sind, falls r < 0. a 4-a ā Für einen Vektor à und eine reelle Zahl r gilt: a₁\ r.ara₂ = a3. = =r.a+r.b (r+s) a=r.a+sa /r. α₁ r.az r.az/ a Für die S-Multiplikation gelten die folgenden Rechengesetze: (vgl. S. 100) Assoziativgesetz: r. (sa) = (r.s) à Distributivgesetze: r. (a + b) = Hinweis: Keine Multiplikation von Vektoren! . man eine Einen Term von der Form r₁a₁ +r₂·a₂+...+rn an (nEN) nennt Linearkombination der Vektoren a₁,....,an; die reellen Zahlen r₁, ..., Tn heißen Koeffizienten. (Es kommt nichts Quadratisches usw. im Term vor. also linear)
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Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl (S-Multiplikation) Zahlen werden im Unterschied zu Vektoren auch als Skalare bezeichnet. Für einen Vektor a (a + 0) und eine reelle Zahl r (r + 0) bezeichnet man mit ra den Vektor, dessen Repräsentant a |r|-mal so lang wie die Repräsentanten von a sind, parallel zu den Repräsentanten von á sind, gleich gerichtet zu den Repräsentanten von à sind, falls r>0 und entgegengesetzt gerichtet zu den Repräsentanten von a sind, falls r < 0. a 4-a ā Für einen Vektor à und eine reelle Zahl r gilt: a₁\ r.ara₂ = a3. = =r.a+r.b (r+s) a=r.a+sa /r. α₁ r.az r.az/ a Für die S-Multiplikation gelten die folgenden Rechengesetze: (vgl. S. 100) Assoziativgesetz: r. (sa) = (r.s) à Distributivgesetze: r. (a + b) = Hinweis: Keine Multiplikation von Vektoren! . man eine Einen Term von der Form r₁a₁ +r₂·a₂+...+rn an (nEN) nennt Linearkombination der Vektoren a₁,....,an; die reellen Zahlen r₁, ..., Tn heißen Koeffizienten. (Es kommt nichts Quadratisches usw. im Term vor. also linear)