Grundlagen der Vektorrechnung und analytischen Geometrie
Vektoren sind die Grundbausteine der analytischen Geometrie. Ein Ortsvektor beschreibt die Position eines Punktes vom Ursprung aus, während Verbindungsvektoren zwei Punkte miteinander verbinden. Der Betrag eines Vektors gibt seine Länge an.
Mit Vektoren kannst du rechnen: Bei der Vektoraddition werden gleichartige Komponenten addiert, und bei der skalaren Multiplikation wird ein Vektor mit einer Zahl gestreckt oder gestaucht. Kollineare Vektoren liegen auf derselben Geraden, während komplanare Vektoren in einer Ebene liegen.
Lineare Gleichungssysteme (LGS) sind wichtige Werkzeuge in der Vektorrechnung. Du kannst sie mit verschiedenen Methoden lösen: dem Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungsverfahren, Additionsverfahren oder dem Gauß-Verfahren. Ein LGS kann eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen haben.
💡 Praxistipp: Beim Aufstellen von Parameterformen für Geraden und Ebenen achte immer auf den Unterschied zwischen Punkten und Vektoren – Punkte haben einen festen Ort, Vektoren beschreiben Richtung und Länge!
In der analytischen Geometrie untersuchst du die Lage im Raum von Punkten, Geraden und Ebenen. Geraden stellst du in der Parameterform mit einem Stützvektor und einem Richtungsvektor dar. Mit der Punktprobe kannst du prüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt.
Bei der Untersuchung der gegenseitigen Lage von Geraden findest du heraus, ob sie parallel, identisch oder windschief sind oder einen Schnittpunkt haben. Ebenso kannst du die Lage von Geraden und Ebenen analysieren – etwa ob eine Gerade in einer Ebene liegt oder sie schneidet.