Vektoren Klausur, 13 Punkte

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= (3) -1, Weil es viele verschiedene Möglichkeiten bei einer zweidimensionals Zeichnung gibt. Man weiß z. B. nicht, ob der Punkt Pweiter im Roun liegt oder ob er auf der x₂x₂-Ebene light. 23 b) Berechne den Abstand zwischen A und B. c) Gib mögliche Koordinaten von P an, wenn man weiß, dass P die 1. Koordinate x₁=1 hat. P(1 14,5 11,5) d) Gib an, welche Koordinaten der Punkt P hat, wenn er 3 Einheiten über der X₁X2 - Ebene liegt. P(41613) e) Zeichne die Punkte C(-2111-1) und D(01212) in das Koordinatensystem und markiere den Vektor CD. also com c) Berechne: OA+2. AB. (i)+. (૩)> ± પાળ 14-41 15.09.2022 -2 1. 3 P 4 Verbindungsvektoren beschreiben immer den Weg zwischen zwei beliebigen Punkten, in dem Fall von A nach B. Man rechnet dafür den Ortsvektor von B minus den von A. Ortsvektoren beschreiben den Weg vom Koordinater cosparg Punkt (01010) utm Punkt (31411) — نا AB= (6-3)= |AB| = |(²)| = √₁²+2 ² + (-2)² =√₁+4+4= √√9 = 3 L.E.] Mathe Q2 Checkliste: 0 1. Klausur Name: Prüfungsteil 2: mit GTR, mit Formelsammlung (min. 135 min.) Lass bitte überall etwa 6cm Rand frei (1/3 des Klausurbogens). Schreibe bitte deinen Namen auf die Aufgabenblätter und auf jeden Klausurbogen. Viel Erfolg! Nummeriere alle Seiten der Reihenfolge nach durch. Schreibe deutlich und arbeite ordentlich, streiche Ungültiges einmal sauber durch. Unterstreiche alle Lösungen. Aufgabe 4 Gilt immer-gilt nie-kommt darauf an (2+2+2 = 6 Punkte) Entscheide dich bei jeder der Aussage für eine der oben genannten Optionen und begründe deine Wahl. a) Den Vektor AB kann man berechnen, indem man die Koordinaten von A und B addiert. b) Wenn die Punkte A, B, C und D ein Parallelogramm bilden, dann sind die Diagonalen in dem Parallelogramm gleich lang. c) Wenn zwei Geraden zueinander windschief sind, dann sind ihre Richtungsvektoren nicht zueinander parallel. Aufgabe 5 Geraden (4+2 +5=12 Punkte) Die Gerade g geht durch die Punkte A(1|2|2) und B(51-417). a) Gib zwei Gleichungen für g an. b) Bestimme die Koordinaten eines weiteren Punktes an, der auf g liegt. c) Prüfe, ob der Punkt P(131-16|17) auf g liegt. Aufgabe 6 Lagebeziehungen von Geraden (9 +6+2+4+2 = 23 Punkte) Gegeben sind die Geradengleichungen der Geraden g, h und i. 2 -8 g: x=-1+r. 0 h: x = 1 +s 1; 13. 15.09.2022 i: x = (9) +- (²2) (₂) +t. a) Untersuche die gegenseitige Lage der Geraden g und h. Berechne gegebenenfalls den Schnittpunkt. b) Untersuche die gegenseitige Lage der Geraden g und i. Berechne gegebenenfalls den Schnittpunkt. c) Gib die Gleichung einer Geraden m an, welche h schneidet und parallel zu i ist. Gegeben sind weiterhin die Parametergleichungen der Geradenschar ja, und der Geraden k. k: = 2 + t 0 · 4 d) Bestimme den Parameter a so, dass sich die Geraden ja und k schneiden. e) Gib die Koordinaten des Schnittpunktes an. Auf der Rückseite geht es weiter! Mathe Q2 1. Klausur Name: M Aufgabe 7 Geometrische Fragestellungen im Raum (10 +3+3+5+4= 25 Punkte) Gegeben sind die Punkte A(51-217), B(-2|2|3) und C(2|10|4). a) Zeige, dass das Dreieck ABC gleichschenklig, aber nicht gleichseitig ist. b) Zeige, dass das Dreieck ABC rechtwinklig ist und gib an, in welchem Eckpunkt der rechte Winkel liegt. 15.09.2022 ED c) Bestimme einen Punkt D so, dass das Viereck ABCD ein Quadrat ist. B d) Gegeben sei zusätzlich der Punkt E(11-10|6). Prüfe, ob das Viereck BCAE - vgl. Skizze rechts - ein Parallelogramm ist. e) Bestimme alle möglichen Werte für v, sodass der Punkt F(318lv) vom Punkt A den Abstand 15 hat. Aufgabe 8 Flugbewegungen (4+1+2+1+8+9+ 4 = 29 Punkte) Die X₁X2-Ebene beschreibt eine flache Landschaft, in der ein Flugplatz liegt. Im Folgenden werden die Flugbewegungen vereinfacht dargestellt. 3 Ein Testflugzeug befindet sich um 7.00 Uhr im Punkt P(4|31|8). Der Vektor u = -2 gibt die Veränderung seiner Position in einer Minute an. Die Koordinaten sind in Kilometern angegeben. (-²) 4 3 Die Flugbahn des Flugzeugs entspricht dann der Geraden f₁: x= 31+ t. ² = ( ₁1₁ ) + ₁ - (-²₁) -2 (t in min nach 7.00 Uhr). a) Berechne den Punkt, an dem sich das Flugzeug um 7.02 Uhr befindet. In welcher Höhe befindet sich das Flugzeug zu diesem Zeitpunkt? b) Woran kann man erkennen, dass sich das Flugzeug im Sinkflug befindet? Begründe. Ein Transportflugzeug f₂ befindet sich beim Start von Flugzeug f₁ im Punkt Q₁ (18|11|3). Nach einer Minute befindet sich f2 im Punkt Q₂ (20|13|3). c) Stelle die Flugbahn von f2 mithilfe einer Geradengleichung in Parameterform auf (der Parameter entspricht wie bei f₁ der Zeit in min. nach 7.00 Uhr und die Koordinatenangaben in km). 18) [ Kontrolllösung: z. B. f2: x= 11+ s 2] 3 d) Woran kann man erkennen, dass sich das Transportflugzeug weder im Steig- noch im Sinkflug befindet? Begründe. e) Bestimme, wie weit die beiden Flugzeuge um 7.03 Uhr voneinander entfernt sind. f) Untersuche, ob es zu einer Kollision kommen könnte, wenn die beiden Flugzeuge ihren Kurs beibehalten. g) Das Flugzeug f₁ überfliegt den Gipfel G(22|19|1,5) eines nahe gelegenen Berges. Berechne, nach wie vielen Minuten die Bergspitze überflogen wird, und ermittle für diesen Zeitpunkt den Abstand, zwischen dem Gipfel und dem Flugzeug (Tipp: Eine Skizze kann hilfreich sein). 1. Mathe klausur-Teil 2 (2) Gilt nie: Um AB zu man immer B bzw. To Subtrahieren b) kommt derar awenn die Diagona, ʼn gleich love sind, dann ist es berechner von auch ein Rechteck. Wenn sie nicht gleich zwei gleich long sind, aber jeweils Seiten gleich long / parallel) sind ist es trotzdem ein Paralletgramm. AL bra. 3 • Gilt immer: Wenn die Richtungsvektoren parattel (kollineat zueinander wären, wären die Geraden entweder paratet oder identisch weinander. Sie können nur windschief sein, wenn die Richtungs- vektoren nicht kollineer weinender sind. g=h (28) +- (68) = ( ₁ ) +- (2) __@) 9: x=(,0) +- (31) h; R = (₁3) + 5+ (4) Die Richtungsvektoren → Schnittpunkt oder Windschief sind nicht kollinear I -8+25= 2 = 1+$ IT 10-5 = 13445 1+8 1:2 7 = 51 1-₁ [S = 2 ras in II: 10-5= 13+4·(-2) 5 = 5/ Schneider sich 15.9.22 +4 616 4.6 7 5 fent! 011² C - ^ Das hältst du rent mehr maden miessen! gar 5=-2 in h (2) + (-2) (0) ²/ M31 Das ist d RV Vor A: Geraden und h schreiden sich bei 15(-211 15) () b) göR (2) +r. (8) vong (4) f 13 +2 (-3)-(3) (2) 481 12 T4=-8 +5 1₂ -1 = -1 +5. +-(0)6 61-1=-1 12 :: R=(3)++. (?) > parallel (identisch +1/3 = 10PS A: Gender g und sind nicht destisch, sondern nur parler weinander A m=h (1)+4·(1²5) -(1)-(2) 13 2-36=2 S=0 in hiray no: Z= vb tu (55) V h: 2 (*)+ (2) : :2-(3)++ (8) ET paralel in iskollineare Schittan't h nicht kollinear Richtungs u=0 =>$=0 (3) +0.(4)= P = 7 8 € = 4+$ 13+1,56= √3+ 4s ups in III 13+11,5.0=15+ Schrittpunkt $(21113) wektoren 13+4·0 = Tu mili oder F 4 12=4-6f (x)= (-3) ++ ( 3 ) 1²-14 A \31113=3+3+ →nicht identisch sondern parallel + -0,3 4-3,3 } √ ₁₂³ X = (8) + s (2) → Richtungsvektoren Naz 0 I s.d = 2+ = 2 111 2-25= 1-14 || : 2 = (8) + +(³) tömer nicht kotlined werdh fud sin €) S=1 S = 1 in !!! · 2-2.1 = 1-1+ 0 = 1-1 + A 1 = -1 + 18-A 1 = 4 in T: 12 = 2.1 I s⋅ 2 = 2 + 1·2=2.4 2=2 ✓ ė tink** (2)+1(3) @ (3) A: Geraden sund & einsetzen Schittpunkt VZ jand le scheiden sich bei s(21212) 22123 No.7 à) A(51-217) B(-21213) (1211014) A3-1011-11-(7)² + 4* + (-4)² = √8₁=9[E] (K) -|(6)=√4² +8 * +1²²= √81²=9 [LE] (K) - |CA| = 16² = 2 )|-||-·||- \3²+(-12)² +3² = √ 16₂2 [L-E.] (11) Das Dreieck hat nur à toma deichlange Seiten, nicht 3. daher ist es nur gleichschenklig b) Säte des Pythagoras d² +6² = (²2 9² +9² = 1162" 162 = 162 Swahr → rechtwindig Der rechte Winkel ligst beim Punkt 3. da er gegenüber von der Hypotenuse liegten muss und die Hy potenuse ist CA Super! 21125 A(51-217) B(-21215) ((211014) sein & Seithi thigh Digonder müssen gleich DIAB=9 IBT [D₂. |à (1 - ||- no tn 11 PAA 11 3 fo |-|(3²³)|- V-3)² + 12ª +(-3)^² = √162 1+2+ 102 = |( )|-|(33) = √(3)² + 12 + (-3)^² - 7/162 = |CD|-|(^g=^0)| - |\( ~²) - V-H)²+4²+4*' =√81=9 |DAI=1 (²²)=(²6 *)E(11-1016) (B²|=\ ( ² )|-|(~)|- √81 = 8 |CA| =√162¹ سادس √81 =3 √81 =9 3 ||AE|-||10 )|-||$|| - 281-3 1+2 |BE| = || - 1 0 -2 ||- ||(-³₁2| | = √ 162² →) ist ein №.8 2) £•x= (31/12 (22) = 3(1012716) =V₁₁₂² $162 Parallelogramm (und Traped) Iu +6 = 10 √731-4 = 27 18-2 =6 2) A (51-217) F (3/8 1v) AF - (3 = ² ) = (²)=√(2²ª +10² +46-21² = √225=15 für ✓ muss entweder 11 oder - 11 sauskommer GTB √₁=-4 L ✓ 2 = 18 AFI = |(²,-^ }) (( 18 ) |- √( 2¹² + 10²ª +(-11)²" - Vaas = 15 A² 1 = ( 3 + 3² ) | = |( ₁9 )| = √(2)² + 10² + 11²² = √223 = 15 O A: Dos Flugzeug befinder sich in einer Höhe von 6 km bg Das kan man darah erkennen, dass das Flugzeug sich erst bei (413-118) befand und dann bei (1012716). осии хз vom Für die Höhe gurkt man sich Kz an Richlysveller! und somit ist das Flugrag nach 2 min 2 cm tiefer. c) 4 Q₁ Q₂ = ( 38 = 13) 6 3-3 fa ·X = (6) è 3. di Das kann man wieder an der Xz- Koordinate beim Lichtungsvek for erkennen. Dieser ist 0, daher + fligt das Flugzeng gak gerade { x = ( ² ) + ² · (²) 19 (3) fi |f₁f²₂_1= \(^3*²= 2^ ³) (-²3)|= √^^* *(-8)* + (-2)² = V185 (km) ~ 13,75 km A: zum Zeitpunkt 7.030hr sind die beiden Flugzeuge greuge V183 km voneinder entfernt. À richtingektore nicht tollinear Schrittants oder windschief fh=f₂ +41-(3) SE I4+3+ = π 31-2+ = 1₁1+28 €7 B-+ = 3 +=$ 7 in I: 4+3.5= 18+2·5 13 = 18+2≤ 1-18 1:2 1 = 25 05=$ S + und six 11² 311-2.5=11+2+gs = windschief अ parallel Zw Xx X₂ Ebin 105² = 0,5 28129 LA A: Es wurde zu einer Rollision commer. Die Flugsamer verlaufer wide che of whernander. 9) G (22151 15) (3) = (2x) ++- (-1) 010-4-2 4 122=4+3+ 18=3+ 다. ··-2 () 15-31-2+ <=) - 12 = -2+(-) 6- 18 ||X=8-+ 6=+ 4²x=8-6 = (Gfal =((²88) - (85)| -105² = 0,25 (M) | A: Das Flugleng überflieht die Spitze nach 6 min, also um 7.06 Uhr. Der Abstand betract 0,25 km. in d Rechreck? |BA| = |())-1)-Vel² +4² + (-4² =18²=3 |CE|-||-10-10)|-|(-20)|- V - 1) ³²+ ( 201² + 2 ² = 1 40² nur ein Parallelogramm A: ES list Auf- gabe 1a) b) c) d) 6 2a) b) c) d) e) f) 3a) b) c) 4 a)- c) 5a) b) c) 6a) b) c) d) e) 7a) b) c) d) e) 8a) b) Bewertungsbogen zur 1. Klausur Q2 2022/2023 Name: Melissa Maßgebliche Kompetenzen Der Prüfling ... ... zeichnet einen Quader in ein dreidimensionales Koordinatensystem. ... gibt die Koordinaten der Eckpunkte an. ... gibt die Höhe des Quaders an. ... bestimmt einen Parameter r so, dass zwei Vektoren zueinander kollinear sind. ... gibt mögliche Koordinaten eines Punktes an. ... erläutert, warum dieser Punkt nicht eindeutig bestimmbar ist. ... gibt mögliche Koordinaten des Punktes an, wenn x₁ = 1 ist. ... gibt mögliche Koordinaten des Punktes an, wenn er 3 Einheiten über der x₁x2-Ebene liegt. ... zeichnet zwei Punkte und den Verbindungsvektor in das Koordinatensystem. .... gibt zu einem gegebenen Vektor zwei mögliche Punkte an. ... erklärt den Unterschied zwischen einem Verbindungs- und dem Ortsvektor. berechnet den Abstand zwischen zwei Punkten. ... berechnet eine Linearkombination. Punktzahl Teil A (hilfsmittelfrei) .. entscheidet, ob Aussagen zur Vektorrechnung immer gelten, nie gelten, oder darauf ankommen". ... gibt zwei Parametergleichungen einer Geraden an. ... bestimmt die Koordinaten eines weiteren Punktes. ... prüft, ob ein Punkt auf der Geraden liegt. ... untersucht die gegenseitige Lage von g und h. ... untersucht die gegenseitige Lage von g und i. ... gibt die Gleichung einer Geraden an, die h schneidet und parallel zu i ist. ... bestimmt einen Parameter a so, dass sich eine Geradenschar und eine weitere Gerade schneiden. ... gibt die Koordinaten des Schnittpunktes an. ... zeigt, dass das Dreieck A gleichschenklig, aber nicht gleichseitig ist. ... zeigt, dass das Dreieck rechtwinklig ist und gibt den Eckpunkt des rechten Winkels an. ... bestimmt einen Punkt D so, dass das Viereck ABCD ein Quadrat ist. ... prüft, ob das Viereck BCAE ein Parallelogramm ist. ... bestimmt alle Werte von v so, dass ein Punkt vom Punkt A den Abstand 15 hat. ... berechnet den Punkt, an dem sich das Flugzeug um 7:02 befindet. ... begründet, woran der Sinkflug des Flugzeugs erkennbar ist. Erreichte Mögliche Punkte Punkte 5 5 3 1 1 5 1 ^ S 1 2 2 V 2 3 2 25 6 Co 00006N JN 1 3 0675 4 5 1 1 1 2 2 2 3 2 29 6 4 2 5 9 6 2 4 2 10 3 3 5 4 4 1 GY NASIUM KOLN-PESCH c) d) e) f) g) ... stellt die Flugbahn eines weiteren Flugzeugs in Parameterform dar. ... begründet, wieso f2 weder steigt noch sinkt. bestimmt den Abstand der beiden Flugzeuge um 7:03. ... untersucht, ob es zu einer Kollision kommen könnte. ... berechnet den Zeitpunkt, an dem ein Flugzeug eine Bergspitze überfliegt und berechnet den Abstand. Bewertungsbogen zur 1. Klausur Q2 2022/2023 Benotung von Klausuren Note Punkte 1+ 15 1 14 1- 13 12 11 10 2+ 2 2- 3+ 3 3- 9 8 7 Prozent ≥95 % ≥90 % ≥85 % >80 % ≥75 % ≥70% ≥65 % ≥60 % ≥55 % Punktzahl Teil B (mit Hilfsmitteln) Gesamtpunktzahl: Sehr gut (-) Note: Note 4+ 4 4- 5+ 5 5- 6 Punkte 6 5 4 3 2 1 0 ^ 8 5 3 8 Prozent ≥50 % >45 % >40% ≥35 % ≥30% ≥25% <25% Mit Aufgabe 5 wäre noch nehr" drin gewesen.. Trotzdem wild like supe Lusting, Melissa! 2 1 8 9 4 95 124 21.9.22 hne