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Angelina Eitdorf
@angelinaeitdorf_iofk
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Die Trigonometrie befasst sich mit den Beziehungen zwischen Winkeln und Seiten in Dreiecken. Sie umfasst die Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens, die am Einheitskreis definiert und auf rechtwinklige Dreiecke angewendet werden. Wichtige Konzepte sind der Sinussatz, der Kosinussatz und die Berechnung von Winkeln und Seitenlängen in verschiedenen Dreieckstypen. Die Trigonometrie findet Anwendung in der Geometrie, Physik und vielen anderen Bereichen.
18.3.2021
231
Diese Seite vertieft die Eigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktion, die am Einheitskreis definiert sind.
Die Sinusfunktion wird als y-Koordinate (Ordinate) eines Punktes auf dem Einheitskreis definiert, während die Kosinusfunktion der x-Koordinate (Abszisse) entspricht. Beide Funktionen haben einen Wertebereich von [-1, 1] und eine Periode von 2π.
Vocabulary: Ordinate - Die y-Koordinate eines Punktes in einem kartesischen Koordinatensystem.
Vocabulary: Abszisse - Die x-Koordinate eines Punktes in einem kartesischen Koordinatensystem.
Wichtige Eigenschaften wie Symmetrie werden erläutert. Die Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, während die Kosinusfunktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist.
Highlight: Die Cosinus-Kurve ist eine um π/2 nach links verschobene Sinuskurve.
Diese Grundlagen sind essentiell für das Verständnis komplexerer trigonometrischer Zusammenhänge und Anwendungen in der Mathematik und Physik.
Diese Seite erklärt den Kosinussatz, eine wichtige Formel in der Trigonometrie für Dreiecke.
Der Kosinussatz ist eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras und ermöglicht die Berechnung von Seitenlängen oder Winkeln in beliebigen Dreiecken, nicht nur in rechtwinkligen.
Die Formel lautet: c² = a² + b² - 2ab · cos γ
Dabei sind a, b und c die Seitenlängen des Dreiecks und γ der Winkel gegenüber der Seite c.
Example: In einem Dreieck mit den Seiten a = 16,4 cm, b = 6,5 cm und c = 18 cm kann der Winkel γ mit Hilfe des Kosinussatzes berechnet werden: cos γ = (a² + b² - c²) / (2ab) γ = arccos((16,4² + 6,5² - 18²) / (2 · 16,4 · 6,5)) ≈ 93,4°
Der Kosinussatz ist besonders nützlich in Situationen, wo der Satz des Pythagoras nicht anwendbar ist, wie bei der Lösung von Trigonometrie-Dreieck-Aufgaben mit stumpfwinkligen oder spitzwinkligen Dreiecken.
Diese Seite gibt einen Überblick über verschiedene Dreieckstypen und wichtige Konstruktionen im Dreieck.
Dreieckstypen umfassen:
Wichtige Konstruktionen und Linien im Dreieck werden vorgestellt:
Definition: Die Mittelsenkrechte ist eine Gerade, die eine Dreiecksseite in ihrem Mittelpunkt im rechten Winkel schneidet.
Highlight: Der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks ist der Mittelpunkt des Umkreises.
Die Seite erklärt auch den Kongruenzsatz SSS (Seite-Seite-Seite) und SSW (Seite-Seite-Winkel) für die Bestimmung der Kongruenz von Dreiecken.
Diese Grundlagen sind wichtig für das Verständnis komplexerer geometrischer Probleme und Trigonometrie-Dreieck-Aufgaben.
Diese Seite zeigt detaillierte Anleitungen für wichtige Konstruktionen in Dreiecken.
Konstruktion des Umkreismittelpunkts:
Konstruktion des Inkreismittelpunkts:
Konstruktion des Schwerpunkts:
Example: Um den Umkreismittelpunkt zu konstruieren, zeichne die Mittelsenkrechten von zwei Seiten. Ihr Schnittpunkt ist der gesuchte Mittelpunkt.
Highlight: Der Schwerpunkt teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2:1, wobei der längere Abschnitt näher an der Ecke liegt.
Diese Konstruktionen sind fundamental für das Verständnis der Geometrie von Dreiecken und bilden die Grundlage für viele Trigonometrie-Dreieck-Aufgaben.
Diese Seite behandelt den Zusammenhang zwischen dem Anstieg einer Geraden und ihrem Richtungswinkel.
Der Anstieg m einer Geraden ist durch den Tangens des Richtungswinkels α gegeben: m = tan α
Der Richtungswinkel α kann aus dem Anstieg m berechnet werden: α = arctan m
Example: Eine Gerade mit dem Anstieg m = 2 hat den Richtungswinkel α = arctan 2 ≈ 63,4°
Die Seite erklärt auch den Begriff des Schnittwinkels zwischen zwei Geraden. Der Schnittwinkel ist der kleinere der beiden Winkel, die sich beim Schnitt der Geraden bilden.
Definition: Der Schnittwinkel zwischen zwei Geraden ist der kleinere der beiden Winkel, die sich beim Schnitt der Geraden bilden.
Wichtig ist auch das Monotonieverhalten von Geraden:
Diese Konzepte sind grundlegend für das Verständnis von Geradengleichungen und Winkelfunktionen in Dreiecken.
Diese Seite erklärt die Anwendung der Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck.
Die Definitionen lauten:
Highlight: Diese Definitionen gelten nur für rechtwinklige Dreiecke!
Der Sinussatz wird vorgestellt, der auch in nicht-rechtwinkligen Dreiecken anwendbar ist:
(a / sin α) = (b / sin β) = (c / sin γ)
Example: Berechnung einer Streckenlänge mit Hilfe des Tangens: Bei einem Flug in 17 km Höhe und einem Blickwinkel von 3° zur Erdoberfläche beträgt die Entfernung zum Boden: Entfernung = 17 km / tan 3° ≈ 323 km
Die Seite erklärt auch den SSW-Fall (Seite-Seite-Winkel) bei der Dreiecksberechnung, der zu zwei möglichen Lösungen führen kann.
Diese Grundlagen sind essentiell für die Lösung von Trigonometrie-Dreieck-Aufgaben und finden Anwendung in vielen praktischen Bereichen wie der Landvermessung oder der Navigation.
Diese Seite führt in die Erweiterung des Winkelbegriffs und das Bogenmaß ein.
Winkel werden nicht nur im Bereich 0° bis 360° betrachtet, sondern können beliebige reelle Werte annehmen. Positive Winkel entsprechen einer Drehung gegen den Uhrzeigersinn, negative einer Drehung im Uhrzeigersinn.
Definition: Äquivalente Winkelgrößen erhält man, indem man zu einem Ausgangswinkel ein ganzzahliges Vielfaches von 360° addiert oder subtrahiert.
Das Bogenmaß wird eingeführt als alternative Winkelmessung:
Example: 30° im Bogenmaß: (30 · π) / 180 = π/6
Der Einheitskreis wird als zentrales Konzept für die Definition der Winkelfunktionen vorgestellt. Er hat den Radius 1 und seinen Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems.
Diese Konzepte sind fundamental für das tiefere Verständnis der Trigonometrie und bilden die Grundlage für fortgeschrittene Themen wie die Winkelfunktionen am Einheitskreis.
Diese Seite vertieft die Anwendung der Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck und führt in die Arbeit mit dem Einheitskreis ein.
Die grundlegenden Definitionen werden wiederholt:
Highlight: Diese Definitionen gelten nur für Winkel zwischen 0° und 90° in rechtwinkligen Dreiecken.
Die Seite erklärt, wie man mit Hilfe des Taschenrechners Winkel und Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken berechnen kann.
Example: In einem rechtwinkligen Dreieck mit Ankathete 4 und Hypotenuse 5: sin α = Gegenkathete / Hypotenuse = 3 / 5 α = arcsin(3/5) ≈ 36,9°
Der Einheitskreis wird als Erweiterung eingeführt, um Winkelfunktionen für alle Winkel zu definieren. Dies ermöglicht die Behandlung von Winkeln außerhalb des Bereichs 0° bis 90°.
Diese Konzepte sind grundlegend für das Verständnis komplexerer trigonometrischer Probleme und die Lösung von Trigonometrie-Dreieck-Aufgaben.
Diese Seite führt die grundlegenden Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens ein und erklärt ihre Definition am Einheitskreis.
Der Sinus eines Winkels x wird definiert als die y-Koordinate des zugehörigen Punktes auf dem Einheitskreis. Der Cosinus entspricht der x-Koordinate dieses Punktes. Der Tangens wird als Quotient von Sinus und Cosinus berechnet.
Wichtige Eigenschaften der Funktionen werden aufgeführt, wie Periodizität und Symmetrie. Beispielsweise hat die Sinusfunktion eine Periode von 2π und ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Definition: Der Tangens eines Winkels x ist definiert als tanx = sinx / cosx.
Highlight: Die Periode der Tangensfunktion beträgt π, während Sinus und Cosinus eine Periode von 2π haben.
Die Seite zeigt auch, wie sich Verschiebungen und Streckungen auf die Graphen der Funktionen auswirken. Dies ist wichtig für das Verständnis komplexerer trigonometrischer Funktionen.
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dreiecke
-beschriftung -dreiecksarten -winkel-seiten sätze
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Analytische Geometrie
Winkel zwischen Gerade und Gerade, Ebene und Ebene und Gerade und Ebene, Kreuzprodukt, Skalarprodukt, Flächeninhalt von Figuren, Volumen von Körpern
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Die Trigonometrie befasst sich mit den Beziehungen zwischen Winkeln und Seiten in Dreiecken. Sie umfasst die Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens, die am Einheitskreis definiert und auf rechtwinklige Dreiecke angewendet werden. Wichtige Konzepte sind der Sinussatz, der Kosinussatz und die Berechnung von Winkeln und Seitenlängen in verschiedenen Dreieckstypen. Die Trigonometrie findet Anwendung in der Geometrie, Physik und vielen anderen Bereichen.
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Die Sinusfunktion wird als y-Koordinate (Ordinate) eines Punktes auf dem Einheitskreis definiert, während die Kosinusfunktion der x-Koordinate (Abszisse) entspricht. Beide Funktionen haben einen Wertebereich von [-1, 1] und eine Periode von 2π.
Vocabulary: Ordinate - Die y-Koordinate eines Punktes in einem kartesischen Koordinatensystem.
Vocabulary: Abszisse - Die x-Koordinate eines Punktes in einem kartesischen Koordinatensystem.
Wichtige Eigenschaften wie Symmetrie werden erläutert. Die Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, während die Kosinusfunktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist.
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Die Formel lautet: c² = a² + b² - 2ab · cos γ
Dabei sind a, b und c die Seitenlängen des Dreiecks und γ der Winkel gegenüber der Seite c.
Example: In einem Dreieck mit den Seiten a = 16,4 cm, b = 6,5 cm und c = 18 cm kann der Winkel γ mit Hilfe des Kosinussatzes berechnet werden: cos γ = (a² + b² - c²) / (2ab) γ = arccos((16,4² + 6,5² - 18²) / (2 · 16,4 · 6,5)) ≈ 93,4°
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Dreieckstypen umfassen:
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(a / sin α) = (b / sin β) = (c / sin γ)
Example: Berechnung einer Streckenlänge mit Hilfe des Tangens: Bei einem Flug in 17 km Höhe und einem Blickwinkel von 3° zur Erdoberfläche beträgt die Entfernung zum Boden: Entfernung = 17 km / tan 3° ≈ 323 km
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Definition: Äquivalente Winkelgrößen erhält man, indem man zu einem Ausgangswinkel ein ganzzahliges Vielfaches von 360° addiert oder subtrahiert.
Das Bogenmaß wird eingeführt als alternative Winkelmessung:
Example: 30° im Bogenmaß: (30 · π) / 180 = π/6
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Der Sinus eines Winkels x wird definiert als die y-Koordinate des zugehörigen Punktes auf dem Einheitskreis. Der Cosinus entspricht der x-Koordinate dieses Punktes. Der Tangens wird als Quotient von Sinus und Cosinus berechnet.
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Definition: Der Tangens eines Winkels x ist definiert als tanx = sinx / cosx.
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Mathe - dreiecke
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