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Klausur

zentrale Prüfung Mathematik 2019 für Gymnasien (EF)

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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Unterlagen für die Lehrkraft Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase 2019 Mathematik 1. Aufgabenart / Inhaltsbereich Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel Aufgabe 1: Analysis Aufgabe 2: Stochastik 13 Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln Aufgabe 3: Analysis (Innermathematische Argumentationsaufgabe) Aufgabe 4: Analysis (Aufgabe mit realitätsnahem Kontext) 1 Aufgabenstellung ¹ 2. siehe Prüfungsaufgaben 3. Materialgrundlage entfällt ZK M HT Seite 1 von 14 1 Die Aufgabenstellung deckt inhaltlich alle drei Anforderungsbereiche ab. Nur für den Dienstgebrauch! Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen 4. Bezüge zum Kernlehrplan und zu den Vorgaben 2019 Die Aufgaben weisen vielfältige Bezüge zu Kompetenzbereichen und Inhaltsfeldern des Kern- lehrplans bzw. zu den in den Vorgaben ausgewiesenen Fokussierungen auf. Im Folgenden wird auf Bezüge von zentraler Bedeutung hingewiesen. Inhaltsfelder und inhaltliche Schwerpunkte Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel Inhaltsfeld Funktionen und Analysis (A) • Grundlegende Eigenschaften von Potenz-, Exponential- und Sinusfunktionen • Grundverständnis des Ableitungsbegriffs • Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen (Untersuchung ganzrationaler Funktionen bis zum Grad drei) ● Inhaltsfeld Stochastik • Mehrstufige Zufallsexperimente ● • Bedingte Wahrscheinlichkeiten Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln Inhaltsfeld Funktionen und Analysis (A) • Grundverständnis des Ableitungsbegriffs • Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen 5. Zugelassene Hilfsmittel Prüfungsteil A: • Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung ZK M HT Seite 2 von 14 Prüfungsteil B: GTR (Graphikfähiger Taschenrechner) oder CAS (Computeralgebrasystem) • Mathematische Formelsammlung • Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung 6. Vorgaben für die Bewertung der Schülerleistungen Die jeweilige Modelllösung stellt eine mögliche Lösung bzw. Lösungsskizze dar. Der gewählte Lösungsansatz und -weg der Schülerinnen und Schüler muss nicht identisch mit dem der...

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Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender Punktzahl bewertet (Bewertungsbogen: Zeile „Sachlich richti- ge Lösungsalternative zur Modelllösung“). Nur für den Dienstgebrauch! Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Aufgabe 1: Modelllösung: (1) f'(x)=-3-x²+x-2. f'(1) -3.1² +1-2=-4. (2) Ansatz: t:y=-4.x+b. (1) Aufgabe 2: Modelllösung ƒ(1)=−1³ +0,5·1² –2·1= -2,5. Einsetzen der Koordinaten des Punktes P(1|–2,5) liefert: -2,5=-4.1+b⇒b=1,5. Damit ist eine Gleichung der Tangente t : y = -4.x+1,5. Gewinn/ Verlust NI3 2 W 415 0 € CO W NI3 2 1|3 S 29 - 1€ NI3 W 219 - 1€ 13 Nur für den Dienstgebrauch! S ZK M HT Seite 3 von 14 13 S 19 4€ (2) Erwartungswert für den Gewinn/Verlust: 2 4-0€ +(²+²).(-1€) + 1-4€ - 0€ 9 9 Auf lange Sicht macht ein Spieler weder Gewinn noch Verlust, das Spiel ist also fair. Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Aufgabe 3: Modelllösung a) Der Graph der Funktion f schneidet die y-Achse im Punkt (Col Modelllösung b) 3 f'(x) = 3 16 ·x² +· (1) Modelllösung c) Aus der notwendigen Bedingung f'(x)=0 für lokale Extremstellen ergeben sich die beiden Lösungen x = -2 und x = 2. 우 14 |+ 3 15 Da zusätzlich f'(-3) = <0, f'(0) = ²/> ·>0 und f'(3)= 16 16 <0 gilt, liegt sowohl an der Stelle x = -2 als auch an der Stelle x = 2 ein Vorzeichenwechsel der Funktionswerte von f' vor. Beide Stellen sind daher Extremstellen der Funktion f. -3 -2 15 · 8 7 6 5 3 2 1 -1 0 13 CO -2 -3 4 2 B Für die Steigung må der Sekante s gilt: m² = 81 49 16 16 S Nur für den Dienstgebrauch! 65 X == 2-(-2) 2 16 ZK M HT Seite 4 von 14 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (2) x = 0 ist ein Beispiel für eine Stelle, an der die Tangente eine größere Steigung besitzt als 3 1 die Sekante s, da gilt: f'(0): > 4 ZK M HT Seite 5 von 14 Modelllösung d) 49 Möglichkeit 1: Verschiebung des Graphen von f um Einheiten nach unten. 16 81 Möglichkeit 2: Verschiebung des Graphen von f um Einheiten nach unten. 16 Modelllösung e) Die Aussage (A) ist wahr, denn im genannten Bereich sind alle Funktionswerte von f positiv. Die Aussage (B) ist ebenfalls wahr, da an der Stelle x = 5 ein Vorzeichenwechsel von positi- ven zu negativen Funktionswerten von f vorliegt. [Hinweis: Die Tatsache, dass die Stelle x=5 eine Nullstelle von f ist, darf der Abbildung oh- ne weiteren Nachweis entnommen werden.] Aufgabe 4: Modelllösung a) 471 v(5)= ≈11,78. 40 Nach 50m hat die Momentangeschwindigkeit von Carl Lewis ca. 11,78 m/s betragen. Modelllösung b) v'(x) = −0,0244 · x³ +0,4425 ·x² −2,696 · x+5,65. Aus der notwendigen Bedingung v'(x)=0 für lokale Extremstellen ergibt sich die Lösung x₁ mit x₁ ~ 7,64. Zusätzlich gilt v'(0)=5,65>0 und v'(10) =−1,46 <0. Daher liegt an der Stelle x₁ ein Vor- zeichenwechsel von positiven zu negativen Funktionswerten von v' und damit ein lokales Maximum von v vor. Wegen v(2) ≈ 9,59, v(x₁)≈ 12,08 und v(9)≈11,77 liegt bei x₁ auch das absolute Maximum von v im Intervall [2;9] vor. Nach ca. 76 m hat Carl Lewis mit etwa 12 m/s seine maximale Geschwindigkeit erreicht. Nur für den Dienstgebrauch! Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase 2019 Mathematik Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel Aufgabe 1: Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung (1) Berechnen Sie f'(1). f(x)= x³ +0,5-x² -2.x, x € IR. = (3 Punkte) (2) Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente t an den Graphen von f im Punkt P(1|f(1)). f'(x) = - 3x² + 1X-2 (3 Punkte) -3.1² +1-2 F ((1) fırl- - 3+1-2 fl^\--3-1 ZK M HT Prüfungsteil A Seite 1 von 2 م-3 - Nur für den Dienstgebrauch! Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: Aufgabe 2: Bei einem Spiel wird das Glücksrad aus der Abbildung zweimal gedreht. Der Einsatz für das zweimalige Drehen beträgt 1 €. ● ● Erscheint zweimal das schwarze Feld, so bekommt man den Einsatz zurück und weitere 4€ ausgezahlt. Erscheint zweimal ein weißes Feld, so wird nur der Ein- satz zurückgezahlt. Andernfalls verliert man den Einsatz. Gewinn/ Verlust (1) Geben Sie die fehlenden Wahrscheinlichkeiten in den Kästchen des folgenden Baumdia- grammes an. Geben Sie die fehlenden Gewinne/Verluste auf den Linien unter dem Baumdiagramm an. W Hinweis: W 2/N 3 S W - 1€ Ein Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung ist zugelassen. ZK M HT Prüfungsteil A Seite 2 von 2 S Nur für den Dienstgebrauch! V Abbildung (3 Punkte) (2) Ein Spiel ist „fair“, wenn ein Spieler auf lange Sicht weder Gewinn noch Verlust macht. Untersuchen Sie, ob das Spiel fair ist. S (3 Punkte) Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase 2019 Mathematik Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln Aufgabe 3: Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung -6 G f(x) = 5 + 3 1 16 Der Graph der Funktion f ist in der folgenden Abbildung dargestellt. ~ 3 ·x³ +· + 9 8 do N 6 5 3 2 + 1 0 -1 -2 N 65 -.X + 3 4 16 -3 -4 f(x) 2 Abbildung XER. ZK M HT Prüfungsteil B Seite 1 von 5 Nur für den Dienstgebrauch! B XT6 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: a) Geben Sie die exakten Koordinaten des Schnittpunktes des Graphen von f mit der y-Achse an. b) Bestimmen Sie rechnerisch die lokalen Extremstellen von f. ZK M HT Prüfungsteil B Seite 2 von 5 (2 Punkte) (7 Punkte) c) Die Sekante s verläuft durch den Tiefpunkt T|-2| 49 16 des Graphen von f. (1) Zeichnen Sie die Sekante s in die Abbildung ein und bestimmen Sie rechnerisch die Steigung von s. 81 und den Hochpunkt H|2|- 16 (2) Im Bereich von x=−2 bis x=2_ gibt es Stellen, an denen die Tangente an den Gra- phen von f eine größere Steigung besitzt als die Sekante s. Nur für den Dienstgebrauch! Geben Sie eine solche Stelle an und begründen Sie Ihre Angabe mithilfe einer Rech- nung. (3 + 3 Punkte) d) Der Graph von f wird so in Richtung der y-Achse verschoben, dass der verschobene Graph genau zwei Nullstellen besitzt. Geben Sie alle Möglichkeiten einer solchen Verschiebung an. (3 Punkte) e) Die Funktion f ist die Ableitungsfunktion einer Funktion g. Entscheiden Sie begründet, z. B. mithilfe des Graphen von f, für jede der beiden folgenden Aussagen (A) und (B), ob sie wahr oder falsch ist. (A) Der Graph von g steigt im gesamten Bereich von x=- -4 bis x = 0. (B) Der Graph von g besitzt an der Stelle x = 5 einen lokalen Hochpunkt. (3 + 3 Punkte) Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: Aufgabe 4: Der US-Amerikaner Carl Lewis gehört zu den greichsten Leichtathleten der Sportgeschichte. Einen seiner acht Weltmeister- titel hat er bei den Leichtathletik-Weltmeisterschaften 1991 im 100 m-Lauf gewonnen. In dieser Aufgabe wird eine 70m lange Teilstrecke seines Finallau- fes betrachtet. Für diese Teilstrecke wird die Momentangeschwin- digkeit in Abhängigkeit von der zurückgelegten Strecke durch die Funktion v mit v(x) = -0,0061·x² +0,1475.x³ − 1,348 x² +5,65.x+2,6, x € IR, modelliert. 12 10 Dabei ist x die zurückgelegte Strecke in der Einheit 10m (d. h. x=2 entspricht 20m, x=3 entspricht 30 m usw.). v(x) ist die zugehörige Momentangeschwindigkeit in m/s. 8 Für 2≤x≤9 beschreibt diese Funktion näherungsweise die Momentangeschwindigkeit von Carl Lewis von der 20 m-Markierung bis zur 90 m-Markierung. Der Graph von v ist in der Abbildung 2 dargestellt. v(x) 4 2 0 1 2 Abbildung 1 CC0 1.0 3 4 5 6 Abbildung 2 7 ZK M HT Prüfungsteil B Seite 3 von 5 USA 915 V Nur für den Dienstgebrauch! 18 Abbildung 1 6 8 9 10 X. Die folgenden Teilaufgaben beziehen sich auf die durch die Funktion v modellierte Momen- tangeschwindigkeit.

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Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender Punktzahl bewertet (Bewertungsbogen: Zeile „Sachlich richti- ge Lösungsalternative zur Modelllösung“). Nur für den Dienstgebrauch! Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Aufgabe 1: Modelllösung: (1) f'(x)=-3-x²+x-2. f'(1) -3.1² +1-2=-4. (2) Ansatz: t:y=-4.x+b. (1) Aufgabe 2: Modelllösung ƒ(1)=−1³ +0,5·1² –2·1= -2,5. Einsetzen der Koordinaten des Punktes P(1|–2,5) liefert: -2,5=-4.1+b⇒b=1,5. Damit ist eine Gleichung der Tangente t : y = -4.x+1,5. Gewinn/ Verlust NI3 2 W 415 0 € CO W NI3 2 1|3 S 29 - 1€ NI3 W 219 - 1€ 13 Nur für den Dienstgebrauch! S ZK M HT Seite 3 von 14 13 S 19 4€ (2) Erwartungswert für den Gewinn/Verlust: 2 4-0€ +(²+²).(-1€) + 1-4€ - 0€ 9 9 Auf lange Sicht macht ein Spieler weder Gewinn noch Verlust, das Spiel ist also fair. Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Aufgabe 3: Modelllösung a) Der Graph der Funktion f schneidet die y-Achse im Punkt (Col Modelllösung b) 3 f'(x) = 3 16 ·x² +· (1) Modelllösung c) Aus der notwendigen Bedingung f'(x)=0 für lokale Extremstellen ergeben sich die beiden Lösungen x = -2 und x = 2. 우 14 |+ 3 15 Da zusätzlich f'(-3) = <0, f'(0) = ²/> ·>0 und f'(3)= 16 16 <0 gilt, liegt sowohl an der Stelle x = -2 als auch an der Stelle x = 2 ein Vorzeichenwechsel der Funktionswerte von f' vor. Beide Stellen sind daher Extremstellen der Funktion f. -3 -2 15 · 8 7 6 5 3 2 1 -1 0 13 CO -2 -3 4 2 B Für die Steigung må der Sekante s gilt: m² = 81 49 16 16 S Nur für den Dienstgebrauch! 65 X == 2-(-2) 2 16 ZK M HT Seite 4 von 14 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (2) x = 0 ist ein Beispiel für eine Stelle, an der die Tangente eine größere Steigung besitzt als 3 1 die Sekante s, da gilt: f'(0): > 4 ZK M HT Seite 5 von 14 Modelllösung d) 49 Möglichkeit 1: Verschiebung des Graphen von f um Einheiten nach unten. 16 81 Möglichkeit 2: Verschiebung des Graphen von f um Einheiten nach unten. 16 Modelllösung e) Die Aussage (A) ist wahr, denn im genannten Bereich sind alle Funktionswerte von f positiv. Die Aussage (B) ist ebenfalls wahr, da an der Stelle x = 5 ein Vorzeichenwechsel von positi- ven zu negativen Funktionswerten von f vorliegt. [Hinweis: Die Tatsache, dass die Stelle x=5 eine Nullstelle von f ist, darf der Abbildung oh- ne weiteren Nachweis entnommen werden.] Aufgabe 4: Modelllösung a) 471 v(5)= ≈11,78. 40 Nach 50m hat die Momentangeschwindigkeit von Carl Lewis ca. 11,78 m/s betragen. Modelllösung b) v'(x) = −0,0244 · x³ +0,4425 ·x² −2,696 · x+5,65. Aus der notwendigen Bedingung v'(x)=0 für lokale Extremstellen ergibt sich die Lösung x₁ mit x₁ ~ 7,64. Zusätzlich gilt v'(0)=5,65>0 und v'(10) =−1,46 <0. Daher liegt an der Stelle x₁ ein Vor- zeichenwechsel von positiven zu negativen Funktionswerten von v' und damit ein lokales Maximum von v vor. Wegen v(2) ≈ 9,59, v(x₁)≈ 12,08 und v(9)≈11,77 liegt bei x₁ auch das absolute Maximum von v im Intervall [2;9] vor. Nach ca. 76 m hat Carl Lewis mit etwa 12 m/s seine maximale Geschwindigkeit erreicht. Nur für den Dienstgebrauch! Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase 2019 Mathematik Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel Aufgabe 1: Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung (1) Berechnen Sie f'(1). f(x)= x³ +0,5-x² -2.x, x € IR. = (3 Punkte) (2) Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente t an den Graphen von f im Punkt P(1|f(1)). f'(x) = - 3x² + 1X-2 (3 Punkte) -3.1² +1-2 F ((1) fırl- - 3+1-2 fl^\--3-1 ZK M HT Prüfungsteil A Seite 1 von 2 م-3 - Nur für den Dienstgebrauch! Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: Aufgabe 2: Bei einem Spiel wird das Glücksrad aus der Abbildung zweimal gedreht. Der Einsatz für das zweimalige Drehen beträgt 1 €. ● ● Erscheint zweimal das schwarze Feld, so bekommt man den Einsatz zurück und weitere 4€ ausgezahlt. Erscheint zweimal ein weißes Feld, so wird nur der Ein- satz zurückgezahlt. Andernfalls verliert man den Einsatz. Gewinn/ Verlust (1) Geben Sie die fehlenden Wahrscheinlichkeiten in den Kästchen des folgenden Baumdia- grammes an. Geben Sie die fehlenden Gewinne/Verluste auf den Linien unter dem Baumdiagramm an. W Hinweis: W 2/N 3 S W - 1€ Ein Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung ist zugelassen. ZK M HT Prüfungsteil A Seite 2 von 2 S Nur für den Dienstgebrauch! V Abbildung (3 Punkte) (2) Ein Spiel ist „fair“, wenn ein Spieler auf lange Sicht weder Gewinn noch Verlust macht. Untersuchen Sie, ob das Spiel fair ist. S (3 Punkte) Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase 2019 Mathematik Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln Aufgabe 3: Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung -6 G f(x) = 5 + 3 1 16 Der Graph der Funktion f ist in der folgenden Abbildung dargestellt. ~ 3 ·x³ +· + 9 8 do N 6 5 3 2 + 1 0 -1 -2 N 65 -.X + 3 4 16 -3 -4 f(x) 2 Abbildung XER. ZK M HT Prüfungsteil B Seite 1 von 5 Nur für den Dienstgebrauch! B XT6 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: a) Geben Sie die exakten Koordinaten des Schnittpunktes des Graphen von f mit der y-Achse an. b) Bestimmen Sie rechnerisch die lokalen Extremstellen von f. ZK M HT Prüfungsteil B Seite 2 von 5 (2 Punkte) (7 Punkte) c) Die Sekante s verläuft durch den Tiefpunkt T|-2| 49 16 des Graphen von f. (1) Zeichnen Sie die Sekante s in die Abbildung ein und bestimmen Sie rechnerisch die Steigung von s. 81 und den Hochpunkt H|2|- 16 (2) Im Bereich von x=−2 bis x=2_ gibt es Stellen, an denen die Tangente an den Gra- phen von f eine größere Steigung besitzt als die Sekante s. Nur für den Dienstgebrauch! Geben Sie eine solche Stelle an und begründen Sie Ihre Angabe mithilfe einer Rech- nung. (3 + 3 Punkte) d) Der Graph von f wird so in Richtung der y-Achse verschoben, dass der verschobene Graph genau zwei Nullstellen besitzt. Geben Sie alle Möglichkeiten einer solchen Verschiebung an. (3 Punkte) e) Die Funktion f ist die Ableitungsfunktion einer Funktion g. Entscheiden Sie begründet, z. B. mithilfe des Graphen von f, für jede der beiden folgenden Aussagen (A) und (B), ob sie wahr oder falsch ist. (A) Der Graph von g steigt im gesamten Bereich von x=- -4 bis x = 0. (B) Der Graph von g besitzt an der Stelle x = 5 einen lokalen Hochpunkt. (3 + 3 Punkte) Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: Aufgabe 4: Der US-Amerikaner Carl Lewis gehört zu den greichsten Leichtathleten der Sportgeschichte. Einen seiner acht Weltmeister- titel hat er bei den Leichtathletik-Weltmeisterschaften 1991 im 100 m-Lauf gewonnen. In dieser Aufgabe wird eine 70m lange Teilstrecke seines Finallau- fes betrachtet. Für diese Teilstrecke wird die Momentangeschwin- digkeit in Abhängigkeit von der zurückgelegten Strecke durch die Funktion v mit v(x) = -0,0061·x² +0,1475.x³ − 1,348 x² +5,65.x+2,6, x € IR, modelliert. 12 10 Dabei ist x die zurückgelegte Strecke in der Einheit 10m (d. h. x=2 entspricht 20m, x=3 entspricht 30 m usw.). v(x) ist die zugehörige Momentangeschwindigkeit in m/s. 8 Für 2≤x≤9 beschreibt diese Funktion näherungsweise die Momentangeschwindigkeit von Carl Lewis von der 20 m-Markierung bis zur 90 m-Markierung. Der Graph von v ist in der Abbildung 2 dargestellt. v(x) 4 2 0 1 2 Abbildung 1 CC0 1.0 3 4 5 6 Abbildung 2 7 ZK M HT Prüfungsteil B Seite 3 von 5 USA 915 V Nur für den Dienstgebrauch! 18 Abbildung 1 6 8 9 10 X. Die folgenden Teilaufgaben beziehen sich auf die durch die Funktion v modellierte Momen- tangeschwindigkeit.