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Zusammenfassung 10.Klasse
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-Potenzfunktionen -Wurzelfunktion -Grenzwert und Asymptote -Potenzgleichung -Trigonometrie -Bogenmaß und Gradmaß -Winkelfunktion -Eyponentialfunktion & -gleichung -Logarithmen -Zufallsgröße -Erwartungswert -Stochastik
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> Mathe Potenzieren Multiplikation gleiche Basis: aman = m+n gleicher Exponent: qm. bm=(a-b)m Potenzfunktionen allgemeine Formel 10. klasse Wiederholungs Division u n limf(x) = -00 X-AN- am 6m M-n (1 010 Potenzieren (am)" = amin Besonderheiten 911=a va Nam ao f(x) = -(x+3)² -2 Spiegelung an x-Achse ac1 gestaucht 93 a 1 am = f(x) = a.xn n = negativ ungerade • Punktsymmettisch Monotonie: fallend n = negativ gerade Aschsensymmetrisch x-Achse 3-Einheiten nach links in positiv ungerade y-Achse: 2 Einheiten nach unten Monotonie: steigend - fallend na positiv gerade Achsensymmetrisch Monotonic fallend - steigend n= positiv ungerade • Punktsymmetrisch Monotonie steigend Wurzel funktion Potenzfunktion mit einem Bruch als Exponent bzw f(x)=√√√x² 1 f(x) = x ₁ Grenzwer Verhalten der Funktionen an den Rändern limf(x)=1 lim f(x) = ∞0 X-2+ -^ f(x) Asymptate L Pote 2 xn-a Lösungsanzahl der Gleichungen xnza a>o a-d A≤O ichung Trigonometrie Gegenkathete Hypothenuse 13 mit neNin=0 ; 18 a €R Sinussatz Sino Gegenuathele Ankathete sinß b waagerechte y²1 Kosinussatz C² Senkrechte Sin tan = Bsp: cos (13") == 1.c 1: cos (13) 크 (= cos (13³) C= 2 Lsg: ₁² √a² x2 = - Va 1LSq: x=0 Olsg Sin^ (Ergebnis) = n gerade hall A=²3c₂h sing e ; cos= wsw sint с a b 180⁰- ausgerechneter Winkel = 2 + vorgegebener Winkel L' SSS wenn b<a ist, überprüfen ob es 2 Lösungsdreiecke gibl -2ba(cos8) +c²-2bc (cosa) =²-20c( cos(3) 1Lsg: x = √₂ 1Lsg: x=0 1Lsg: x = -√ial' चाव Ankathete Hypothenuse ungerade SsW Sinb sin ß sin B. a sind sin csing z SinBIC sint С о < 180° LD wenn unter 180°: 180-C²-vorgegebener Winkel 1 SWS A Z = 6 ( Sink N Sin & cos am Einhgetskreis Sinus H kosinus Bogenmaß Gradmaß Gradmaß: ď 2 T 180 π.Χ. T Bogenmaß: 180° TIL sin(x) Gog(x) a) cosk TV x sino I Sinoc II Sin (180W) sinh III Sinc180 tox) = - singe sin (360°-00) = - singo sino = (180°C) Sin (180°+C) = sin (360° - ∞) g LOSA cos (180°-x) = -cosx cos (180° +00) = -casoc cos (360-x) = cosx cosoc= cos (360° -α) cos(180°-x) = ces (180² + x) = cos oc It-Bogenmaß Gradmaß Winkel funktionen Die Sinusfunktion oc→ sin (oc) und die Kosinusfunk- tion & → cos(x) sind periodisch. Die Perioden lange beträgt 360°. Es gibt zu jedem Winkel...
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of einen Sinus und einen kosinuswert. Für die Funktionswerte -^= sin(x) ≤^ & -^ = cos(x)=1. gilt: Gradmaß -15° 0° 15° 30° | 45° 60° 750 90° | 105° 120° 1350 150° 165° 180° 195° 습ㅠ ㅠ 슬ㅠ ㅠ ㅠ 좀ㅠ 룰ㅠ ㅠ ㅠ 끔 Bogenmaß -ATT O AT 4 π IT 13. u -0.26 00,26 0,5 0,71 0,87 0,97 1 0,97 0,87 07710,5 0,26 0-0126 40,97 10,97/0,87/0771/0.5 0,26 0-0,26-05-071-0,871-097-1 -0,97 y² Gradmaß 195° 210° 225° |240° 255° 270° |285° | 300° |345° 330° 345° 360° 375°/390° Bogenman 쫓ㅠ 흠ㅠ ㅠ 볼ㅠ ㅠ ZTET MTZT2TTT 16 0 -026-05-071-0,87-097-1 -0,97-0,87-071-0,5-0726 ㅠ 130 12 02605 Yasin (x) y=cos(x) -0,97-087-071 205/-0260 0,26 0,5 0711 0.87 /0,97 10,97/0.87 12 grafische Darstellung sid FAM Nis 210 sin(x) cos(x) Sinus kosinus Lp Parameter f(x) = a sin (b⋅ (x+c))+d Parameter a: Je größer lal ist, desto spitzer ↳ Streckung fix)-(3) sin(x) Punktsymmetrisch Achsensymmetrisch Parameter b: Je größer 161 ist, desto kleiner die periode Lp Stauchung Ö f(x) = sin((-x) Parameter c: verschiebung der X-Achse-pentgegengesetzt f(x) = sin(x + 0,5T Parameter d: verschiebung der y-Achse f(x) = sin(x) (+3) Exponential funktion Lineares Wachstum Exponentielles Wachstum Es gilt: Es gilt: B(n) Die Differenz d= B(n)-B(n-1) Der Quotient q= B(7-1) ist konstant & heißt konstant & heißt Wachstumsfaktor Wachstumsrate ist Rekursive Formel (= aus den Vorgängerbestand der aktuellen Bestand berechnet) B(n)= B(n-^) +d B(n)= B(n-1) • q Explizite Formel (=aus Anfangsbestand jeden belieb igen aktuellen Bestand berechnet) Bin)= B(0) +n•d B(n) = B(0) · gr Parameter Streckung / Stauchung in y-Richtung gestaucht, wenn ban ・in ý-Richtung gestreckt, wenn 0 << 1 • an der x-Achse gespiegelt, wenn b = -1 f(x) = (bat in Richtung y-Achse verschoben: e f(x)=a²+e in Richtung +-Achse verschoben: d f(x) = a^² Logarithmen f(x) = a* Exponential- nung Der Logarithmus von ↳ zur Basis a ist die jenige Zahl, mit der man a potenzieren muss, um b zu erhalten. Kurz: x = logah) ist gleichwertig wie at =b Potenzgleichung 729 45=1024 Wurzelgleichung √√29=3 3√√8¹=2 √√1024 = 4 Logarithmengleichung log3729=9 log₂8=3 log₁ 1024 = 5 Wahrscheinlichkeit Gleichungen bei denen die Variable in Exponenten stehen wie z. B. 3x=5₁ heißen Exponentialgleichung. - häufig durch Logarithmen lösen Bsp: 52x-3=52x-3=1 x=2 4 xed) Grundbegriffe Stochastik -DAB Produktregel Die Anzahl der Ergebnisse eines mehrstufigen Zufallversuchs erhält man, inden man die Anzahlen der Möglichkeiten für jede stufe miteinander multiplizieren Zufallsgröße & deen Wahrscheinlichkeitsverteilung Soll die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen X ermittelt werden, so muss geklärt werden. ermitteln 1) Wie ist X definiert? 2 21 Welche Werte X, kann X annehmen 3) Wahrscheinlichkeitsverteilung von X rechnerisch
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> Mathe Potenzieren Multiplikation gleiche Basis: aman = m+n gleicher Exponent: qm. bm=(a-b)m Potenzfunktionen allgemeine Formel 10. klasse Wiederholungs Division u n limf(x) = -00 X-AN- am 6m M-n (1 010 Potenzieren (am)" = amin Besonderheiten 911=a va Nam ao f(x) = -(x+3)² -2 Spiegelung an x-Achse ac1 gestaucht 93 a 1 am = f(x) = a.xn n = negativ ungerade • Punktsymmettisch Monotonie: fallend n = negativ gerade Aschsensymmetrisch x-Achse 3-Einheiten nach links in positiv ungerade y-Achse: 2 Einheiten nach unten Monotonie: steigend - fallend na positiv gerade Achsensymmetrisch Monotonic fallend - steigend n= positiv ungerade • Punktsymmetrisch Monotonie steigend Wurzel funktion Potenzfunktion mit einem Bruch als Exponent bzw f(x)=√√√x² 1 f(x) = x ₁ Grenzwer Verhalten der Funktionen an den Rändern limf(x)=1 lim f(x) = ∞0 X-2+ -^ f(x) Asymptate L Pote 2 xn-a Lösungsanzahl der Gleichungen xnza a>o a-d A≤O ichung Trigonometrie Gegenkathete Hypothenuse 13 mit neNin=0 ; 18 a €R Sinussatz Sino Gegenuathele Ankathete sinß b waagerechte y²1 Kosinussatz C² Senkrechte Sin tan = Bsp: cos (13") == 1.c 1: cos (13) 크 (= cos (13³) C= 2 Lsg: ₁² √a² x2 = - Va 1LSq: x=0 Olsg Sin^ (Ergebnis) = n gerade hall A=²3c₂h sing e ; cos= wsw sint с a b 180⁰- ausgerechneter Winkel = 2 + vorgegebener Winkel L' SSS wenn b<a ist, überprüfen ob es 2 Lösungsdreiecke gibl -2ba(cos8) +c²-2bc (cosa) =²-20c( cos(3) 1Lsg: x = √₂ 1Lsg: x=0 1Lsg: x = -√ial' चाव Ankathete Hypothenuse ungerade SsW Sinb sin ß sin B. a sind sin csing z SinBIC sint С о < 180° LD wenn unter 180°: 180-C²-vorgegebener Winkel 1 SWS A Z = 6 ( Sink N Sin & cos am Einhgetskreis Sinus H kosinus Bogenmaß Gradmaß Gradmaß: ď 2 T 180 π.Χ. T Bogenmaß: 180° TIL sin(x) Gog(x) a) cosk TV x sino I Sinoc II Sin (180W) sinh III Sinc180 tox) = - singe sin (360°-00) = - singo sino = (180°C) Sin (180°+C) = sin (360° - ∞) g LOSA cos (180°-x) = -cosx cos (180° +00) = -casoc cos (360-x) = cosx cosoc= cos (360° -α) cos(180°-x) = ces (180² + x) = cos oc It-Bogenmaß Gradmaß Winkel funktionen Die Sinusfunktion oc→ sin (oc) und die Kosinusfunk- tion & → cos(x) sind periodisch. Die Perioden lange beträgt 360°. Es gibt zu jedem Winkel...
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of einen Sinus und einen kosinuswert. Für die Funktionswerte -^= sin(x) ≤^ & -^ = cos(x)=1. gilt: Gradmaß -15° 0° 15° 30° | 45° 60° 750 90° | 105° 120° 1350 150° 165° 180° 195° 습ㅠ ㅠ 슬ㅠ ㅠ ㅠ 좀ㅠ 룰ㅠ ㅠ ㅠ 끔 Bogenmaß -ATT O AT 4 π IT 13. u -0.26 00,26 0,5 0,71 0,87 0,97 1 0,97 0,87 07710,5 0,26 0-0126 40,97 10,97/0,87/0771/0.5 0,26 0-0,26-05-071-0,871-097-1 -0,97 y² Gradmaß 195° 210° 225° |240° 255° 270° |285° | 300° |345° 330° 345° 360° 375°/390° Bogenman 쫓ㅠ 흠ㅠ ㅠ 볼ㅠ ㅠ ZTET MTZT2TTT 16 0 -026-05-071-0,87-097-1 -0,97-0,87-071-0,5-0726 ㅠ 130 12 02605 Yasin (x) y=cos(x) -0,97-087-071 205/-0260 0,26 0,5 0711 0.87 /0,97 10,97/0.87 12 grafische Darstellung sid FAM Nis 210 sin(x) cos(x) Sinus kosinus Lp Parameter f(x) = a sin (b⋅ (x+c))+d Parameter a: Je größer lal ist, desto spitzer ↳ Streckung fix)-(3) sin(x) Punktsymmetrisch Achsensymmetrisch Parameter b: Je größer 161 ist, desto kleiner die periode Lp Stauchung Ö f(x) = sin((-x) Parameter c: verschiebung der X-Achse-pentgegengesetzt f(x) = sin(x + 0,5T Parameter d: verschiebung der y-Achse f(x) = sin(x) (+3) Exponential funktion Lineares Wachstum Exponentielles Wachstum Es gilt: Es gilt: B(n) Die Differenz d= B(n)-B(n-1) Der Quotient q= B(7-1) ist konstant & heißt konstant & heißt Wachstumsfaktor Wachstumsrate ist Rekursive Formel (= aus den Vorgängerbestand der aktuellen Bestand berechnet) B(n)= B(n-^) +d B(n)= B(n-1) • q Explizite Formel (=aus Anfangsbestand jeden belieb igen aktuellen Bestand berechnet) Bin)= B(0) +n•d B(n) = B(0) · gr Parameter Streckung / Stauchung in y-Richtung gestaucht, wenn ban ・in ý-Richtung gestreckt, wenn 0 << 1 • an der x-Achse gespiegelt, wenn b = -1 f(x) = (bat in Richtung y-Achse verschoben: e f(x)=a²+e in Richtung +-Achse verschoben: d f(x) = a^² Logarithmen f(x) = a* Exponential- nung Der Logarithmus von ↳ zur Basis a ist die jenige Zahl, mit der man a potenzieren muss, um b zu erhalten. Kurz: x = logah) ist gleichwertig wie at =b Potenzgleichung 729 45=1024 Wurzelgleichung √√29=3 3√√8¹=2 √√1024 = 4 Logarithmengleichung log3729=9 log₂8=3 log₁ 1024 = 5 Wahrscheinlichkeit Gleichungen bei denen die Variable in Exponenten stehen wie z. B. 3x=5₁ heißen Exponentialgleichung. - häufig durch Logarithmen lösen Bsp: 52x-3=52x-3=1 x=2 4 xed) Grundbegriffe Stochastik -DAB Produktregel Die Anzahl der Ergebnisse eines mehrstufigen Zufallversuchs erhält man, inden man die Anzahlen der Möglichkeiten für jede stufe miteinander multiplizieren Zufallsgröße & deen Wahrscheinlichkeitsverteilung Soll die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen X ermittelt werden, so muss geklärt werden. ermitteln 1) Wie ist X definiert? 2 21 Welche Werte X, kann X annehmen 3) Wahrscheinlichkeitsverteilung von X rechnerisch