Fächer

Mathe

Funktionen und analysis

Differentialrechnung anwendung

Tangente

3.547

•

23. Mai 2021

•

4 Seiten

Spannende Mathe-Abenteuer: Änderungsraten und die h-Methode leicht gemacht!

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Milena

@milena_rrng

Differentialrechnung und Ableitungen: Grundlagen und Anwendungen

Die Differentialrechnung ist ein... Mehr anzeigen

MATHE 52
Differenzenquotient- mittlere Änderungsrate
• Definition
●Sekante
S.86-87
Aufgaben S.87-89
Definition: Gegeben ist eine Funktion f,

Ableitungsfunktion und Graphen

Dieses Kapitel vertieft das Verständnis von Ableitungen und führt das Konzept der Ableitungsfunktion ein.

Definition: Die Ableitungsfunktion f' ordnet jedem x aus dem Definitionsbereich von f den Wert der Ableitung f' $x$ zu.

Es werden verschiedene Methoden zur Bestimmung und Darstellung der Ableitungsfunktion vorgestellt:

Analytische Berechnung mittels H-Methode
Graphische Skizzierung basierend auf dem Verlauf der Ursprungsfunktion
Verwendung des Grafikrechners mit dem Befehl "nderive"

Highlight: Der Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Ableitung und dem Verlauf der Ursprungsfunktion wird hervorgehoben: Positive Steigung entspricht f' oberhalb der x-Achse, negative Steigung f' unterhalb der x-Achse.

Das Kapitel behandelt auch das Zeichnen von Tangenten, was für das Verständnis der lokalen Änderungsrate wichtig ist:

Example: Für f $x$ = x² + 3x ergibt sich die Ableitungsfunktion f' $x$ = 2x + 3.

Diese Übungen zur Bestimmung der Ableitungsfunktion und zum Skizzieren ihres Graphen helfen den Lernenden, ein tieferes Verständnis für die momentane Änderungsrate zu entwickeln.

Tangenten, Normalen und Ableitungsregeln

Dieses Kapitel behandelt die praktische Anwendung von Ableitungen bei der Bestimmung von Tangenten und Normalen sowie wichtige Ableitungsregeln.

Für Tangenten und Normalen wird folgender Satz eingeführt:

Quote: "Die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt $x₀, f(x₀$ ) erhält man mit dem Ansatz t $x$ = mx + b, wobei m = f' $x₀$ ."

Es werden Methoden zur Berechnung von Tangentengleichungen, Steigungen $auch in Prozent$ und Steigungswinkeln vorgestellt. Die Normalengleichung wird als senkrecht zur Tangente eingeführt.

Das Kapitel präsentiert auch wichtige Ableitungsregeln:

Potenzregel: $xⁿ$ ' = n · xⁿ⁻¹
Faktorregel: $a · g(x$ )' = a · g' $x$
Summen- bzw. Differenzenregel: $g(x$ ± k $x$ )' = g' $x$ ± k' $x$

Example: Die Ableitung von f $x$ = 5x³ ist f' $x$ = 15x².

Diese Regeln sind essentiell für effizientes Mittlere Änderungsrate berechnen und bilden die Grundlage für komplexere Ableitungen.

Trigonometrische Funktionen und Monotonie

Das letzte Kapitel erweitert die Ableitungsregeln auf trigonometrische Funktionen und führt das Konzept der Monotonie ein.

Für trigonometrische Funktionen gelten folgende Ableitungsregeln:

Quote: "Für die Sinusfunktion f mit f $x$ = sin $x$ gilt f' $x$ = cos $x$ . Für die Kosinusfunktion g mit g $x$ = cos $x$ gilt g' $x$ = -sin $x$ ."

Diese Regeln sind wichtig für Tangentengleichung Aufgaben mit Lösungen, die trigonometrische Funktionen beinhalten.

Das Konzept der Monotonie wird wie folgt definiert:

Definition: Eine Funktion f heißt streng monoton steigend auf einem Intervall I, wenn für alle x₁, x₂ ∈ I mit x₁ < x₂ gilt: f $x₁$ < f $x₂$ .

Der Monotoniesatz stellt einen Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Ableitung und der Monotonie her:

Highlight: Wenn f' $x$ > 0 für alle x in einem Intervall I gilt, dann ist f streng monoton steigend in I.

Diese Konzepte sind wichtig für die Analyse des Funktionsverhaltens und finden Anwendung in vielen Mittlere Änderungsrate Aufgaben.

Differenzenquotient und Mittlere Änderungsrate

Dieses Kapitel führt grundlegende Konzepte der Differentialrechnung ein. Der Differenzenquotient wird als Mittlere Änderungsrate einer Funktion in einem bestimmten Intervall definiert.

Definition: Der Differenzenquotient einer Funktion f im Intervall $x₀, x₁$ ist gegeben durch $f(x₁$ - f $x₀$ ) / $x₁ - x₀$ .

Diese Formel entspricht der Steigung der Sekante durch die Punkte P $x₀, f(x₀$ ) und Q $x₁, f(x₁$ ) auf dem Funktionsgraphen.

Highlight: Der Übergang von der mittleren zur momentanen Änderungsrate erfolgt durch Bildung des Grenzwerts für h → 0, was zur Definition der Ableitung führt.

Die H-Methode wird als praktisches Verfahren zur Berechnung von Ableitungen eingeführt:

Example: Für f $x$ = 7x² - 3 ergibt die H-Methode f' $x$ = 14x.

Das Kapitel schließt mit Übungen zur Berechnung des Differenzenquotienten und zur Anwendung der H-Methode, was den Lernenden hilft, diese Mittlere Änderungsrate Übungen zu meistern.

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Stefan S

iOS user

Samantha Klich

Android user

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Lena M

Android user

Timo S

iOS user

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Julia S

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Marcus B

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Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Milena

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Differentialrechnung und Ableitungen: Grundlagen und Anwendungen

Die Differentialrechnung ist ein zentrales Konzept der Mathematik, das die Analyse von Funktionen und deren Veränderungsraten ermöglicht. Dieser Leitfaden behandelt wichtige Aspekte wie mittlere und lokale Änderungsrate, H-Methode, Ableitungsfunktionen sowie Tangenten und... Mehr anzeigen

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Ableitungsfunktion und Graphen

Dieses Kapitel vertieft das Verständnis von Ableitungen und führt das Konzept der Ableitungsfunktion ein.

Definition: Die Ableitungsfunktion f' ordnet jedem x aus dem Definitionsbereich von f den Wert der Ableitung f' $x$ zu.

Es werden verschiedene Methoden zur Bestimmung und Darstellung der Ableitungsfunktion vorgestellt:

Analytische Berechnung mittels H-Methode
Graphische Skizzierung basierend auf dem Verlauf der Ursprungsfunktion
Verwendung des Grafikrechners mit dem Befehl "nderive"

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Das Kapitel behandelt auch das Zeichnen von Tangenten, was für das Verständnis der lokalen Änderungsrate wichtig ist:

Example: Für f $x$ = x² + 3x ergibt sich die Ableitungsfunktion f' $x$ = 2x + 3.

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Tangenten, Normalen und Ableitungsregeln

Dieses Kapitel behandelt die praktische Anwendung von Ableitungen bei der Bestimmung von Tangenten und Normalen sowie wichtige Ableitungsregeln.

Für Tangenten und Normalen wird folgender Satz eingeführt:

Quote: "Die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt $x₀, f(x₀$ ) erhält man mit dem Ansatz t $x$ = mx + b, wobei m = f' $x₀$ ."

Es werden Methoden zur Berechnung von Tangentengleichungen, Steigungen $auch in Prozent$ und Steigungswinkeln vorgestellt. Die Normalengleichung wird als senkrecht zur Tangente eingeführt.

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Potenzregel: $xⁿ$ ' = n · xⁿ⁻¹
Faktorregel: $a · g(x$ )' = a · g' $x$
Summen- bzw. Differenzenregel: $g(x$ ± k $x$ )' = g' $x$ ± k' $x$

Example: Die Ableitung von f $x$ = 5x³ ist f' $x$ = 15x².

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Trigonometrische Funktionen und Monotonie

Das letzte Kapitel erweitert die Ableitungsregeln auf trigonometrische Funktionen und führt das Konzept der Monotonie ein.

Für trigonometrische Funktionen gelten folgende Ableitungsregeln:

Quote: "Für die Sinusfunktion f mit f $x$ = sin $x$ gilt f' $x$ = cos $x$ . Für die Kosinusfunktion g mit g $x$ = cos $x$ gilt g' $x$ = -sin $x$ ."

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Das Konzept der Monotonie wird wie folgt definiert:

Definition: Eine Funktion f heißt streng monoton steigend auf einem Intervall I, wenn für alle x₁, x₂ ∈ I mit x₁ < x₂ gilt: f $x₁$ < f $x₂$ .

Der Monotoniesatz stellt einen Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Ableitung und der Monotonie her:

Highlight: Wenn f' $x$ > 0 für alle x in einem Intervall I gilt, dann ist f streng monoton steigend in I.

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Differenzenquotient und Mittlere Änderungsrate

Dieses Kapitel führt grundlegende Konzepte der Differentialrechnung ein. Der Differenzenquotient wird als Mittlere Änderungsrate einer Funktion in einem bestimmten Intervall definiert.

Definition: Der Differenzenquotient einer Funktion f im Intervall $x₀, x₁$ ist gegeben durch $f(x₁$ - f $x₀$ ) / $x₁ - x₀$ .

Diese Formel entspricht der Steigung der Sekante durch die Punkte P $x₀, f(x₀$ ) und Q $x₁, f(x₁$ ) auf dem Funktionsgraphen.

Highlight: Der Übergang von der mittleren zur momentanen Änderungsrate erfolgt durch Bildung des Grenzwerts für h → 0, was zur Definition der Ableitung führt.

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Example: Für f $x$ = 7x² - 3 ergibt die H-Methode f' $x$ = 14x.

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