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Ableitungen-Wendestellen-Symmetrie-Globalverhalten-Extrempunkte-Polynomdivision-Vorzeichenwechselkriterium

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 Globalverhalten
Mithilfe des Globalverhaltens untersuchen
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Globalverhalten Mithilfe des Globalverhaltens untersuchen wir das Verhalten der Funktionswerte (y- Werte) einer Funktion, wenn die Definitionswerte (x-Werte) positiv oder negativ unendlich groß werden. 1-2x² 5 Leitkoeffizient positiv Ist der Leitkoeffizient positiv oder negativ? hier: negativ negativ gerade Wie bestimmt man das Verhalten für x→±bei einer ganzrationalen Funktion? f(x)=-2x5+ 3x³-x²+x-3 1. Man sucht den Summanden mit der höchsten Potenz von x. Exponent Ist der Exponent von x gerade oder ungerade? hier: ungerade -Siehe Tabelle oben. - Folglich: ungerade für x-> + geht f(x) -> -∞ geht f(x)-> +∞ für X Symmetrie Die Wertetabelle und ein Graph einer Funktion lassen sich einfacher erstellen, wenn man weiß, ob der Graph zur y-Achse achsensymmetrisch oder zum Ursprung punktsymmetrisch ist. wenn im Funktionsterm nur x-Potenzen mit geraden Hochzahlen enthalten sind dann ist der Graph von fachsensymmetrisch zur y-Achse wenn im Funktionsterm nur x-Potenzen mit ungeraden Hochzahlen enthalten sind dann ist der Graph von fpunktsymmetrisch zum Ursprung Ableitung -Steigung einer Funktion Wie rechnet man die Ableitung aus? = f'(x) < 0 = negative Steigung f'(x) = 2 · 3x²-₁ = 6x 2. Hochzahl -1 . Summenregel: f(x) = 3x² + 5x + x 1. Hochzahl vorziehen +2 1.Teil 2. Teil 3.Teil 4. Teil Jeden Teil einzeln ableiten f'(x) = 6x +5-x-² + 0 Wendestellen der Moment, in dem der Funktionsgraph von einer Links- in eine Rechtskrümmung wechselt oder umgekehrt f'(x) > 0 = positive Steigung ! f(x) = 2x=₁ f'(x) = -1·2x-1-1 = -2x-² ! f(x) = x 12x-12-0 LD xw = 1 W A K 4 f(x) = x² f'(x) = 1x ₁-1 = x ² =...

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1 (ohne x) f(x) = 5 f'(x) = 0 wendepunkt f" (x₁) < OL-R-W f™ (x₂) > O R-L-W 1. erste, zweite und dritte Ableitung der Funktion f bestimmen 2. zweite Ableitung null setzen [f" (x) = O) und passenden x-Werte ermitteln 3. x-Werte in dritte Ableitung einsetzen: ist f" (x) #O, so handelt es sich um eine Wendestelle 4. x-Werte in Funktion f einsetzen, um y-Koordinaten der Wendepunkte zu bestimmen Beispiel: 1. f(x) = 2x² - 6x² 2. Notwendige Bedingung: 3. f" (x₁) = 0 f'(x) = 6x² - 12x f"(x) = 0 f" (xw) + 0 f"(x)=12x - 12 f" (1) 12 f"(x) = 12 4. Xw in f f(1) = 2.1³-6.1² = -4 → W (1|-4) 12>0 LD R-L-W Extrempunkte 1. Erste Ableitung berechnen 2. Nullstellen der ersten Ableitung berechnen z.B. mit abc-Formel 3. Zweite Ableitung berechnen 4. Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung einsetzen ist die zweite Ableitung dann kleiner O, handelt es sich um einen Hochpunkt ist die zweite Ableitung dann größer O, handelt es sich um einen Tiefpunkt 5. x-Werte in fund y-Koordinate der Extrema berechnen Beispiel: 1. f(x) = (x+3)(x-4).x f(x) = (x²-4x+3x-12) ·× f(x)=x²-x²-12x 41. Ableitung: 3x²-2x-12 3. 2. Ableitung: 6x-2 4. X₁ in f" 2. f" (2,361) = 6-2,361 -2 =12,166-TP X₂ in f" f" (-1,694) = 6 (-1,694) - 2 =-12,164 HP abc-Formel X1,2 X1,2 = HP Ň TP = - b ± √b²-4ac 2a 2 ± √(-2)²-4-3-(-12) 2.3 2 ± √148¹ 6 ↓-X₁ ~ 2,361 X₂^-1,694 5. f(x) = 2,361 ³-2,361²-12-2,361-20,745TP (2,631|-20,745) f(x) = (-1,694) ³- (-1,694)²-12-(-1,694) 12,597 → HP(-1,694/12,597) 3 Polynomdivision -um Nullstellen zu berechnen Folgende Funktion ist gegeben: f(x)=x²-2x²-5x +6 1. Eine Nullstelle erraten (Wertetabelle im Taschenrechner hilft) x₁ = 3 3. Dividieren x³ - 2x² - 5x +6 (x-3) = x : -2 x³ < x³ - 2x²-5x +6 (x-3) x³-3x² 5. Rest der Funktion nach unten ziehen x-5x+6 x³ - 2x²-5x +6 : (x-3)=x² -(x²-3x²) 2. Funktion durch den Linearfaktor teilen (Linearfaktor (x-geratene Nullstelle") (x-3)=x² 7. Erneut wiederholen (bis nichts mehr übrig ist) x-5x+6 - (x²-3x) 3 x³ - 2x² - 5x +6 = (x-3)=x²+x-2 : X -(x²-3x²) - 2x+6 -(-2x+6) x³ - 2x² - 5x +6 : (x-3) 4. Term von Funktion abziehen 3 oder x³-2x²-5x +6 : -(x³-3x²) 5x +6 : (x-3)= x X 6. Schritte 3-5 wiederholen x³ - 2x² -5x +6: (x-3)=x²+x -(x²-3x²) x-5x+6 - (x²-3x) - 2x+6 8. Funktion umschreiben f(x)=x³-2x²-5x+6=(x-3). (x²+x-2) 9. Regel vom Nullprodukt f(x)= x³ - 2x² -5x + 6 = (x-3)⋅ (x²+x-2) 0 → RUNP I) x-3=0x₁=3 I II II) x²+x-2=0 mit abc-Formel -X2=-2 • X₂ = 1 Vorzeichenwechselkriterium -um Festzustellen, ob es sich um einen Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt handelt Beispiel: f(x)=3x² + 12x f'(x) = 6x +12 → 1. Erste Ableitung bilden (f '(x) = 0) 6x +12=0|-12-2. Erste Ableitung nach x auflösen 6x = - 12|: 6 x = -2 3. Tabelle erstellen und Spalten berechnen x < -2 x=-2 X>-2 4. X = O f'(0)=6.0+12 =12 1. X=-3 2.f'(-3)=-18+12 =-6 →→→negative Steigung → fallend 3. -> pasitive Steigung steigend Wie berechnet man die Anzahl der Spalten? -Anzahl x-Werte 2+1=3 (hier) Unterschied Hochpunkt & Tiefpunkt -Steigung: . •HP= steigend, dann fallend . • TP= fallend, dann steigend • 6. f(-2) = 3. (-2)² + 12- (-2) y = - 12 SĐTP 1. zufälliges x, welches kleiner als -2 ist 2. Steigung berechnen, dazu x-Wert in erste Ableitung einsetzen 3. Pfeile eintragen 4. Andere Seite der Tabelle 5. Ablesen ob und um welches Extrema es sich handelt 6. x in f einsetzen um y-Koordinate zu berechnen

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1 (ohne x) f(x) = 5 f'(x) = 0 wendepunkt f" (x₁) < OL-R-W f™ (x₂) > O R-L-W 1. erste, zweite und dritte Ableitung der Funktion f bestimmen 2. zweite Ableitung null setzen [f" (x) = O) und passenden x-Werte ermitteln 3. x-Werte in dritte Ableitung einsetzen: ist f" (x) #O, so handelt es sich um eine Wendestelle 4. x-Werte in Funktion f einsetzen, um y-Koordinaten der Wendepunkte zu bestimmen Beispiel: 1. f(x) = 2x² - 6x² 2. Notwendige Bedingung: 3. f" (x₁) = 0 f'(x) = 6x² - 12x f"(x) = 0 f" (xw) + 0 f"(x)=12x - 12 f" (1) 12 f"(x) = 12 4. Xw in f f(1) = 2.1³-6.1² = -4 → W (1|-4) 12>0 LD R-L-W Extrempunkte 1. Erste Ableitung berechnen 2. Nullstellen der ersten Ableitung berechnen z.B. mit abc-Formel 3. Zweite Ableitung berechnen 4. Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung einsetzen ist die zweite Ableitung dann kleiner O, handelt es sich um einen Hochpunkt ist die zweite Ableitung dann größer O, handelt es sich um einen Tiefpunkt 5. x-Werte in fund y-Koordinate der Extrema berechnen Beispiel: 1. f(x) = (x+3)(x-4).x f(x) = (x²-4x+3x-12) ·× f(x)=x²-x²-12x 41. Ableitung: 3x²-2x-12 3. 2. Ableitung: 6x-2 4. X₁ in f" 2. f" (2,361) = 6-2,361 -2 =12,166-TP X₂ in f" f" (-1,694) = 6 (-1,694) - 2 =-12,164 HP abc-Formel X1,2 X1,2 = HP Ň TP = - b ± √b²-4ac 2a 2 ± √(-2)²-4-3-(-12) 2.3 2 ± √148¹ 6 ↓-X₁ ~ 2,361 X₂^-1,694 5. f(x) = 2,361 ³-2,361²-12-2,361-20,745TP (2,631|-20,745) f(x) = (-1,694) ³- (-1,694)²-12-(-1,694) 12,597 → HP(-1,694/12,597) 3 Polynomdivision -um Nullstellen zu berechnen Folgende Funktion ist gegeben: f(x)=x²-2x²-5x +6 1. Eine Nullstelle erraten (Wertetabelle im Taschenrechner hilft) x₁ = 3 3. Dividieren x³ - 2x² - 5x +6 (x-3) = x : -2 x³ < x³ - 2x²-5x +6 (x-3) x³-3x² 5. Rest der Funktion nach unten ziehen x-5x+6 x³ - 2x²-5x +6 : (x-3)=x² -(x²-3x²) 2. Funktion durch den Linearfaktor teilen (Linearfaktor (x-geratene Nullstelle") (x-3)=x² 7. Erneut wiederholen (bis nichts mehr übrig ist) x-5x+6 - (x²-3x) 3 x³ - 2x² - 5x +6 = (x-3)=x²+x-2 : X -(x²-3x²) - 2x+6 -(-2x+6) x³ - 2x² - 5x +6 : (x-3) 4. Term von Funktion abziehen 3 oder x³-2x²-5x +6 : -(x³-3x²) 5x +6 : (x-3)= x X 6. Schritte 3-5 wiederholen x³ - 2x² -5x +6: (x-3)=x²+x -(x²-3x²) x-5x+6 - (x²-3x) - 2x+6 8. Funktion umschreiben f(x)=x³-2x²-5x+6=(x-3). (x²+x-2) 9. Regel vom Nullprodukt f(x)= x³ - 2x² -5x + 6 = (x-3)⋅ (x²+x-2) 0 → RUNP I) x-3=0x₁=3 I II II) x²+x-2=0 mit abc-Formel -X2=-2 • X₂ = 1 Vorzeichenwechselkriterium -um Festzustellen, ob es sich um einen Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt handelt Beispiel: f(x)=3x² + 12x f'(x) = 6x +12 → 1. Erste Ableitung bilden (f '(x) = 0) 6x +12=0|-12-2. Erste Ableitung nach x auflösen 6x = - 12|: 6 x = -2 3. Tabelle erstellen und Spalten berechnen x < -2 x=-2 X>-2 4. X = O f'(0)=6.0+12 =12 1. X=-3 2.f'(-3)=-18+12 =-6 →→→negative Steigung → fallend 3. -> pasitive Steigung steigend Wie berechnet man die Anzahl der Spalten? -Anzahl x-Werte 2+1=3 (hier) Unterschied Hochpunkt & Tiefpunkt -Steigung: . •HP= steigend, dann fallend . • TP= fallend, dann steigend • 6. f(-2) = 3. (-2)² + 12- (-2) y = - 12 SĐTP 1. zufälliges x, welches kleiner als -2 ist 2. Steigung berechnen, dazu x-Wert in erste Ableitung einsetzen 3. Pfeile eintragen 4. Andere Seite der Tabelle 5. Ablesen ob und um welches Extrema es sich handelt 6. x in f einsetzen um y-Koordinate zu berechnen