Nullstellen und Extremwerte

Die zweite Seite konzentriert sich auf die Berechnung von Nullstellen und die Analyse von Extremwerten, was zentrale Themen für Extremwertaufgaben im Abitur sind.

Für die Bestimmung von Nullstellen werden drei Methoden vorgestellt:

1. Nullproduktsatz (NPS) oder Ausklammern
2. PQ-Formel für quadratische Gleichungen
3. Substitution für komplexere Gleichungen

Vocabulary: Der Nullproduktsatz besagt, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn mindestens einer seiner Faktoren Null ist.

Zur Bestimmung von Extrema wird die erste Ableitung genutzt:

Definition: Lokale Extremstellen sind Punkte, an denen die erste Ableitung Null ist (f'(x) = 0) und ein Vorzeichenwechsel stattfindet.

Die Seite enthält auch wichtige Ableitungsregeln wie die Summenregel, Faktorregel und Produktregel, die für die Berechnung von Ableitungen unerlässlich sind.

Highlight: Das Krümmungsverhalten einer Funktion wird durch die zweite Ableitung bestimmt. Ist f''(x) > 0, ist die Funktion rechtsgekrümmt (konvex), bei f''(x) < 0 linksgekrümmt (konkav).

Exponentialfunktion und natürlicher Logarithmus

Die vierte Seite konzentriert sich auf die Exponentialfunktion f(x) = eˣ und ihre Umkehrfunktion, den natürlichen Logarithmus ln(x).

Definition: Die Eulersche Zahl e ≈ 2,72 ist die Basis der Exponentialfunktion und hat besondere Eigenschaften in der Analysis.

Die Exponentialfunktion wird detailliert beschrieben, einschließlich ihrer Eigenschaften:

• Streng monoton steigend
• Schnittpunkt mit der y-Achse bei (0,1)
• Kein globales Maximum, aber ein Grenzwert von 0 für x → -∞

Highlight: Die Exponentialfunktion hat die einzigartige Eigenschaft, dass sie ihre eigene Ableitung ist: (eˣ)' = eˣ.

Der natürliche Logarithmus wird als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion eingeführt:

• Streng monoton steigend
• Nullstelle bei x = 1
• Definiert für x > 0

Example: ln(e) = 1 und e^(ln(x)) = x sind wichtige Eigenschaften, die die Beziehung zwischen Exponentialfunktion und natürlichem Logarithmus zeigen.

Diese Funktionen sind fundamental für viele Anwendungen in der Analysis und spielen eine wichtige Rolle bei der Lösung von Exponentialgleichungen und logarithmischen Gleichungen.