Analysis Abitur

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u(x). v(x) (1) v'(x) & v'(x) bilden (2) f(x)= u(x) · v'(x) + u'(x) · v(x) Interpretieren im Sachzusammenhang f(t) Strecke ܠܢ e-Funktionen f(x)= ex f'(x)= ex f"(x) = ex f"(x) = ex (x) J(x) (1) u²(x) = 2x (2) f'(x)= x². · e f'(x) = ex (x² + 2x) v'(x) = ex +2x.e .ex X Menge an Flüssigkeit / Gas in einem Behälter Population konzentration (Medile. im Blut) f'(x) = 1 f'(x) = n. x f'(x) = 5₁ x 5-1 = 5x4 f'(x)=0 f(x) = g(x) ±h(x) — f'(x) = g'(x) = h'(x) − ± g (x) → f'(x)=_c. g'(x) f'(x) = 5.3.x³-1. 15 x 2 Special - Ableitungen" Kettenregel In - Funktion f(x) = In (x) f'(x) = = / f(x)= u (v(x)) mit u(x) als außere und v (x) als Innere Funktion n-1 f'(x) = u' (v [x)) · v² (x) Bsp. f(x) = ex² f(x)= e f'(x) = ex², 2x ⇒u(x)=e* -u'(x)= _v(x)_ _V(x) = x² → v²(x)= =e* f'(+) Geschwindigkeit Zu-/Ablaufgeschwindig- keit wachstumsrate Abbaurate Wurzelfunktion x f(x)=√x = x2 f'(x) = ²/2 - x ²²-1 = ₁/2 - ( x ²)^ 1 2 √x 2x Trigonometrische Funktionen C cos(x) Quotienterregel u (x) f(x) = v(x) f'(x)= Sin (x) - sin (x)</ mit dem Uhrzeigersinn leiten wir ab cos (x u'(x) · v(x) - u(x) · v'(x) (v (x)) ² Bsp.: f(x) = 3x x²-x-1 u'(x)=3 u(x) = 3x ; v (x)=x²-x-1; v¹ (x) = 2x - ^ f'(x)= 3 ⋅ (x²-x-1)- 3x · (2X-^) (x²-x-1)² Integral rechnung Hauptsatz der integration лу a A 1 A= [² f(x) dx = [F(x)] = F(b) - F(a) ₂ 2. Rotationskorper Fallstricke bei der Flächenberechnung 1. Zwischen dem Graphen und der X-Achse in einem Intervall [a; b] 2. Zwischen dem Graphen und der x-Achse (eingeschlossene Fläche) 3. Zwischen zwei Funktionen y -f(x) f(x) X 10 a= untere / linke Grenze b=obere/rechle Grenze → Rotation um die X-Achse f(x)=√x¹ a V= πT - S^(f(x)) ³dx dx= Integrationsvariable Höhe des Kelches : 10 cm Aufgabe: Ermittle das Volumen des entstehenden Rotationskörpers TX by 3. 10 V = πT · Ĵ (√x²)³² dx = 2 πT. √(x^²) dx 0 16 10 = πT S (x) dx = πT - [ ₁1 x²] =t lô 1020) 0 = TT 50 SO IT [VE] Stamfunktion bilden: 1 n+1 n f(x) = x^ Faktorregel f(x)= c. g(x) F(x) = c.G(x) bspw. f(x)= 5x³ F(x) = 5. 5 4 = 4 F(x)= X Sf(x) f(x) dx - cos (x) Umkehrung der Kettenregel f(x)= u(v(x)) F(x) = U (v (x)) · v²(x) Bsp.: +(x) = cos (2x) F(x) = sin (2x) n+1 Integrieren trigonometrischer Funktionen wir letten gegen sin (x) Ohrgesgersinn ab Bestimmtes vs. unbestimmtes Integral Unbestimmtes Integral: ohne Grenzen → als lsg. → alle möglichen = sin (x) f(x)= 5→→ F(x) = 5.x f(x)= x→→ F(x)=x² +(x)= x³ F(x)=x² Bestimmtes Integral: Stamfunktionen → vorgegebene Grenzen [ f(x) dx f(x) dx = [F(x)] a cos (x) F(x) + C (CER) Kurvendiskussion Grenzverhalten wichtigste Funktionsgraphen quadratische Funktion: f(x) = ax² + bx+c ; a, b, c =R ; a‡0 1 f(x) →x kubische Funktion: f(x)= ax³ + bx²+cx +d; a, b, c, d ER ; a ‡ 0 | f(x) f(x)→ +∞ →→x f(x) →> 8∞ y u lim f(x) +00 X+∞ e-Funktion f(x) = ex lim X→+00 biquadratische Funktion 3 f(x) = ax + bx³+ cx²+dx+e; a,b,c,d,e €R ; a‡ 0 /f(x) f(x) → +∞ lim X-8 →>x (f(x) lim x → too lim x-00 lim x+00 →x f(x) → f(x)→ +∞0 +X x← Punktsymmetrie zum. Ursprung-f(x) = f(-x) → Bei ganzrationalen Funktionen: Terme mit ausschließlich ungeraden Exponenten bspw. f(x) = x² + x³ + x Term mit der höchsten Potenz bspw. f(x) = 5x² - 2x 4400 lim f(x) X→ ±∞0 konstante Vorfaktoren/vorzeichen bspw. f(x) = -5x² - 2x → Multiplikation von Symmetrie Symmetrieverhalten Graphen können entweder punkt- oder achsensymmetrisch sein. Ein Graph muss aber nicht zwingend eine Symmetrie haben, ny лу lim X-> ±00 Achsensymmetrisch zury-Achse f(x) = f(-x) →Terme mit ausschließlich geraden Exponenten bspw. f(x)=x²+x+x² +2 e-Term dominiest Bestimmung des Grentverhaltens n → X ändern bspw. f(x) = x³ f(x) → 88 n X & e-Funktion -Term kann nur das Vorzeichen Extrempunile 1. f'(x) und f"(x) bestimmen 2. notwendige Bedingung f'(x) = 0 alle XE, die diese Bedingung erfüllen 3. hinreichende Bedingung f'(x) = 0 ^f" (x₂) # 0 4. → f'(x)=0 ^ f" (x=) >0 ⇒Tiefpunkt (TP) → f'(x) = 0 ^f" (XE) = 0 ⇒ migl. Sattelpunkt (SP) → f'(x) = 0 ^ f" (xE) <0 ⇒ Hochpunkt (HP) y- -Wert berechnen X₂ in f(x) einsetzen = P(X=IF (XE)) Wendepunkte → Punkt an der sich die Krümmung des Graphen Ondert → Punkt mit kleinster oder größter Tangentensteigung X stärkste Zunahme →y LR-Wendepunkt f" (xw) ≤ 0 RL-Wendepunkt f" (xw) > O 1. f" (x) und flll (x) bestimmen stärkste Abnahme 2. notw. Bedingung: f" (x)=0 ⇒xw 3. hinr. Bedingung:f" (x) *0 alle xw in f" einsetzen 4. y-Werte berechnen xw in f(x) einsetzen Tangentengleichung aufstellen Po (xol yo) ny Yo f(x) 1 //rangente Po Xo >> Steigung der Tangente = f'(xo) M = b=y-Achsenabschnitt Allgemeiner Geradensatz y = mx + b Gauß-Verfahren → ziel: lösen eines linearen Gleichungssystems (LGS) 1) zeilen vertauschen. 2) zeilen dürfen mit einer zahl aus RR (0) multipliziert werden 3) Zeilen addieren + subtrahieren → Stufenform zum Lösen des LGS ereichen Steckbriefaufgaben Idee: zu vorgegebenen Eigenschaften (bpw. Hoch-, Wendepunkt) eine zugehörige Funktions gleichung ermitteln ... ... Beispiel: I II-2x+ ... 101. I Ia - X ° III I I a a X - Ia: X- X I: 2 2 x - - X Z= -67=3 -슬 -X y + 2z = y-6z 55 - x - 4 (-1/2) -X + 2 +15 y+2z= - 4z = X तरारा = - 2z = 3 - 2z = у+2= = 0 - 4z= - 6z = 3 1 = -6 FIN 555 __Geraden y= 2x+3 Beispiel + 1 f(x)= 3x². ; Xo = 1 1. vollständigen Punkt ermitteln f(x) = f(1) = 3-1² + 1 = 4 ⇒ P (114) 2. Tangenten steigung ermitteln +'(x0) = 6x f'(1) = 6· 1 = 6 = 1 ist bei x = 4 parallel zur ⇒m=6 3. Tangenten amsatz aufschreiben t: y = mx +b 4= 6.1 + b + b 1-6 4= 6 -2=6 ⇒b=-2 4. Tangenten gleichung aufstellen +(x) = 6 x -2 °]+ schneidet die y-Achse bei !.... ... hat einen Extrempunkt € (015) ... berührt die x-Achse bei S hat bei x = -5 einen Wendepunkt seine wendetangente. bei x = -2 = 0 = 01-2 = -21=(-1 = 2 O • hat im Punkt (314)... | ... geht durch den Ursprung..…... schneidet die x-Achse bei 5 •hat bei x = 3 die Steigung m=-1 ;]+ 3 = 01-1 -11-1 O f(3) = 4 f(0) = 0 f(5)=0 f'(3)=-1 f'(4) = 2 f(0) = 8 f(0) = 5, f'(0)=0 +(5) = 0, f'(5)=0 f"(-5)=0 f" (-2)=0 Scharfunktionen haben neben der variablen (x) noch einen Parameter (bspw. a) Parameter ist ein Platzhalter für eine Zahl beim Rechnen ist der Parameter wie eine zahl zu behandeln Definitionsbereich des Paramekis 1st zu beachten →Fall unterscheidung kann notwendig sein Beispiel: 3 2 fa (x) = 3x³ - ²x² ; x GR ; a&R ; a‡0 a Ermittle in Abhängigkeit vom Parameter a die Extrempunkte von fa (x) 1. Ableitungen f'(x) ^ f" (x) bestimmen 2 f₁ (x) = 9x²² - 6 f₁"(x) = 18x - 62 a 2. notwend. Bedingung fa' (x)=0 6 0= 9x² - 1 x a 0= x (9x - 1/12) 0= X V 9x- 2. hinreichende Bedingung f₂²(0) = 18·0-1/² = -6 a a = 2 fő (a) = 18. 3 a - 6/12 a = 36-6 3a a -42-6 12 a = 0 1 + 1²/12 6 १४ ==1=9 a 6 2 x=== १० 3 a 33.0³ X == a - = 6018 3.y-wert f(0) = 3.0³ - 1²/20² = 0 6 a fa(²³0) = 3 ⋅ (²/₂)^² - ² ² · (²61) ² =3.8 = 3.4 a. 3². a ⇒ Fall unterscheidung a> 0: - < 0 ⇒ HP a < 0: - > 0 ⇒ TP 9 Fallunterscheidung > O = TP <O>> HP a>o: = 24403 - 123 = 80 - 123 90° a <o: a a>0: HP (010) aco: тр (010) a>0: ĐTP ca lăn) a <o: HP (3₁1-44²) Extremwertaufgaben / Optimierung Lasungsstrategie: 1. Hauptbedingung aufstellen → das, was optimiert werden soll 2. Nebenbedingungen) aufstellen → das, was die Optimierung begrenzt 3. Nebenbedingung(en) nach einer Variablen umstellen und in die Hauptbedingung einsetzten Zielfunktion 4. Zielfunktion auf Extremstellen untersuchen und alle fehlenden Werte ermitteln Quadranten I I II TV →x Beispiel яу P(ulf(u)) 0 (010) Q(u10) X f(x) = -₁/² x ² + 4,5 →Graph der Funktion wird nur im I. Quadranten betrachtet →P(ulf(u)) beliebig auf dem Graphen im 1. Quadranten → Q(u 10) Aufgabe: Welche Koordinaten muss der Punkt P haben, damit der Flächen- Inhalt des Dreiecks (blau, lila, orange) maximal ist ? 1) Hauptbedingung aufstellen A = 1/2·9·h g.h 2) Nebenbedingungen aufstelle g=u-0 = u h = 0 + f(u) = f(u) 3) Nebenbedingung in Hauptbedingung einsetzen, um zielfunktion zu erhalten A = ₁2.9-h = 1/2 - u - f(x) 슬 = 1/2 ·u· (-1/u²³² + 4,5) 3 = -1 1/2 4²³ + +2,25 u 4) A' (u) = - = u ² + 2,25 A" (u) = - = /u = 1. notw. Bed. A' (u) = 0 0=-11²2² +2,25 1-2, 25 -2,25=-лиг 1 ÷ (-²) 9 4₁ = -3;u₂ = 3 12 = A (u) 2 u² in 2. hinreichende Bedingung Al" (u) === A" (3) = 1/2 · 3 = ²/2 < 0 → HP (3)=-4-3² +4,5 6 2 = -를 + 올 = 2 = 3 2 2 ⇒ P (313) ↳maximaler Flächen- inhalt