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Analysis (Ableitungen)
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Nico
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11/9/10
Klausur
Ableitung, Steigung, Differenzenquotient
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Datum: 15.12.2020 Unterschrift der Eltern/Erziehungsberechtigten: Punkte: 26,5 Aufgabe 1: Bestimme jeweils die Ableitungsfunktion f'. a) f(x) = x+ - 4x³ + 3,5x² − 15 b) f(x) = (x² - 1). x² c) f(x)=-4.√x d) f(x) = 2x³ - 3x² Lies die Aufgaben vollständig durch und achte auf deine Darstellung! Gib den Rechenweg an, nur Ergebnisse zählen nicht! Aufgabe 4: Das Schaubild zeigt den Graphen einer Funktion f. Bestimme... a) den Differenzenquotient im Intervall [-1; 1] b) f'(-2) Aufgabe 2: a) Bestimme die Ableitung der Funktion f mit f(x) = x² + 3 an der Stelle xo = 2 mithilfe des Differenzenquotienten. b) In welchen Punkten hat der Graph von g mit g(x) = x³ + x² eine waagrechte Tangente? Aufgabe 3: Gegeben ist die Funktion f(x) = x³ - 3x a) Bestimme die Tangentengleichung im Punkt P(21f(2)). b) Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f im Punkt P. c) An welcher Stelle hat die Normale (an den Graphen f) die Steigung m = -1/? 2 Entscheide, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind und begründe deine Entscheidung. c) Im Intervall [-1; 1] ist der Differenzenquotient kleiner als im Intervall [-3; -2]. d) Die momentane Änderungsrate an der Stelle x = -1 beträgt ungefähr 1. e) Der Graph von f' geht nicht durch den Ursprung. f) Für -2 < x < 0 verläuft der Graph von f' oberhalb der x-Achse. /32P Note: 3 -2 -1 3+ 2 1 0 -1- y -2+ -3- Klasse...
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10 2+ 2 Punkte 2,5/4P X 5/4,5P 4/6P 6/6P Aufgabe 5: Ein Auto fährt entlang der Kurve mit der Gleichung f(x) = 0,2 (x³ - 8x² + 20x - 6) Im Punkt (1|1,4) rutscht das Auto auf glatter Fahrbahn (knickfrei) aus und prallt gegen eine Hecke mit der Gleichung y= 2,8. Berechne die Koordinaten des Punktes A, an dem er gegen die Hecke prallt. (Tipp: fertige eine Skizze an) Aufgabe 6: Eine Feuerwerksrakete wird in den Himmel geschossen. Für ihre Flughöhe (in m) gilt in Abhängigkeit von der Zeit t (in s) die Funktionsgleichung f(t) = -5t² + 40t a) Wie hoch ist die Rakete na b) Welche Durchschnittsgeschwindigkeit hat die Rakete in den ersten zwei Sekunden? c) Welche aktuelle Geschwindigkeit hat die Rakete nach 4 Sekunden? d) Wann beträgt die Geschwindigkeit 20? e) Wann trifft die Rakete auf dem Boden auf? Sekunden? 34P 6/7,5P Mathe KA Nr. 2 1a) f(x) = ²/ b) f(x) = 1. (x²-1).X² f ² ( x ) = ²³² × ²³² - 12 × ² + 7× 3 x² - 4x³ + 3,5x² - 15 f'(x) = { x = 1 + 2x = 24×-1 3 (f(x) = 1 -4.5x= x=³ = 4 x ²² 슬 f'(x) = -3x-4-2 x (15) d) f(x) = 2x³ 3x² = 6x5 f'(x) = 30x4 2a) f(x)-f(a) x-a f(x)=2x b) g(x) = 4 x ³ + 6 2= (3a) f(x) = x³-3× f'(x)=3x²³²-3 f'(2)=9 b) tan (~) = 9 c) m₂=- g'(x) = 1/2 x ² + x Disp r (=2 2018 7 +1+² 1 tan1 (9) = ∞ = 83,7⁰ 33 1.2+( 4. x²+3=(a²+3) x-a f'(2) = lin 2+2=4 x+2 = 11 + J ^²y = -1/² P(212) v=9x+c m =- 0= 1x²+x 2- 0= x - ( 1 × + 1) ×₁=0 +20 9 0,58 x2 = -2 1P. ( x²-a² = (x_a) x-a AP. 17 4.x²-x+ 1x² 3x=749 2=9.2+C <= - 16 18 x = 49 6 OP. 0,5P A.P. (x-a). (x+a) -4--4 ×+28 2-20 9 1-(-3) . x-a f 1-48 r ty=9x=16 / g(0) = 1.0³ + 1.0² = 0₂ 2 g(-2) = 1. (42)) + 1. 리드 등. 3 AP PC010) QC-21릉게 =x+a AP- 3P 4 L P(491520 17) W|N 딩 OP 2,5P. 4,58. 4. P. 3,5P 4a) [-1, 13: b) f'(-2) = 0 [-1,13: A 2 5 f(1) = f(-1) 1+1 [-3; -2]: f(-2)-f(-3) = 2-0 =2 −2+3 2-1 2 ↳ Ja, es stimmt, da 2 großer ist als 1 2 P(111,4) 1 2 d) Nein, da der Graph eine negative Steigung hat. Dadurch sind es ungefähr - 1. P e) Doch, da bei dem Graph Dann geht & durch den Armpning. f)-2<x<0 Nein, da der graph von of in Intervall von [0; -2] eine negative Steigung hat. Dann verläuft of' center der x-Achse. MP + Hecke A f(x)=0₁2 (x³ - 8x² +20x-6) f (x) = 0,2x³ - 1₁6x² + 4x = 1₁² f'(x) = 0,6 x ²-3,2x +4 f(1) = 1,4 1,4 = 1₁4. 1 +C 1-1,4 <=0₁ y=1₁4x+c C von f ein Tiefpunkt zu sehen ist. tiy=1,4xr 18 18. ( (2₁8=1,4 x 1:1,4 x=2r A (212) A: Er prollt im Punkt A(212) gegen die Hecke. 2,8 f 26 S a) f(x) = -5t² +40€ f(5) = -5.5² +40.5=75 6) f (²)-f(0) = 60-0 2-0 2-0 () f(4)=80 V=§ = 80=20 E 6=2 d) 20 = - 10€ +40) 1-40 -20--10t 1:(-10) TS I c) nicht e) 0= -56² +40t 0=6-0-5€ +40) ²₁ = 0 € ₂ = 8 = 30 ✓ das ist nicht die akhielle Geschw. A: 20m 20명 Warnst du ber hr mit der Ableitung ? r r m r A: 75m A: 30m S r 18- 1,50 f A: Nach 2 Sekunden r A: Nach 8 Sekunden. OP. 2 P 69.
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