Binomilaverteilung Stochastik

Sophia

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11/12/13

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Binomialverteilung, Kumulierte Binomialverteilung, Graphische und tabellarische Darstellung

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BINOMIALVERTEILUNG Was ist eine Binomialverteilung? lat. ,bi" = zwei → bei „entweder oder” Experimenten mit nur 2 möglichen Resultaten → 2.B. Treffer oder kein Treffer? / Kopf oder Zahl? → man nennt diese auch Bernoulli Experimente P(X= k) = B(n₁p;k) = (k) •p : (1-p)n-k ↑ Binomialkoeffizient (n)= K²: (n-k)! oder mit TR nCr W'keit für k. Treffer Beispiel: An einem Taxistand sind zehn Taxen stationiert. Ein Fahrzeug steht pro Stunde durchschnittlich zwölf Minuten auf dem Stand (und es wird angenommen, dass die Taxis unabhängig voneinander fahren bzw. stehen). Definieren Sie für die nachfolgende Frage eine geeignete Zufallsvariable X und geben Sie n, p.und k an. ,,Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 4 Taxen unterwegs sind?" n= 10 p=22² = 1 P(x-6) (20) (3) ³ (1-2) 10-6 10 8 k= 6 = 0,00551 P= Wahrscheinlichkeit des Ereignisses. k= Anzahl der Erfolge n= Größe der Stichprobe (Kettenlänge) ≈ 0,551% X= Anzahl anwesender Taxis KUMULIERTE BINOMIALVERTEILUNG Verteilungsfunktion an einer Stelle X ist die Summe aller Wahrscheinlichkeiten bis zu diesem Punkt x P(X ≤k) sei die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens & Treffer erzielt werden ↳ Intervallwahrscheinlichkeit entweder einzelnd addieren octer mithilfe von Vertei F(x) = Σ (2).pk. (1-p) ^-k K=O · Berechnung Allgemein → Du möchtest wissen, mit welcher W'heit du höchstens zwei Treffer erzielst (zwei Möglichkeiten) I einzelnd addieren: II Verteilungstabelle menu - 7 (Verteilungsfunktion) →→ kumulierte Binomialverteilung TR Liste oder Variable : Summieren von W'keit 0; 1 und 2 Treffer. P(x≤2) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) Beispiele: 2.) P(x-6) in= 10₁ p...

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= + → P(x-6)= (180). (4) ² (1-7) " ~ 1,6%. Lo Binomialeverteilung 5 Verteilungstabelle b.) P(x ≥3); n = 10; p=² → 1- P(x≤ 2) = 1 - 0,00044 ≈ 99,96 % 个 Lo Kumulierte Binomialverteilung ↑ Gegenwahrscheinlichkeit mindestens c.) P(5≤x≤8); n= 50; p=0,1 → P(x ≤ 4) = 0,43₁ P(x ≤ 8) = 0,94 ↑ mind. 5. höchst. 8 P(5≤ x ≤ 8) = 0,94-0,43=0,51 ≈ 511. 8 5 5 8 Tabellarische & graphische Darstellung Binomialverteilung mit den Parametern n=4 und p= 0,3 DARSTELLUNG ALLGEMEIN P(x=k) 0 0,2401 O7N3J 1 2 0,4116 0.2646 0,0756 0,0081 P(x=k). 0 1 2 3 4 5 k n= 5; p=0₁2 0,4 Eigenschaften einer Binomialverteilung in Abhängigkeit von p p(x=k) p(x=k) p(x=k) ● 123 n= 3; p=0₁9 0 1 2 3 4 k 0 1 2 3 4 5 k n=5; p=0,4 n=5; p= 0,5 I Je großer p ist, umso weiter rechts liegt das Maximum der Verteiding I Für p=0,5 liegt das Verteilungsmaximum mittig. II Es gilt die Symmetrie beziehung B(nipik) = B(n; 1-pin-k) Eigenschaften einer Binomialverteilung in Abhängigkeit von n P(x=k) P(x=k) P(x=k) 1 2 3 4 5 n= 5; p=0,4 +K 1 2 3 4 5 k p(x=k) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 n= 8; p=0,4 k 1 2 3 4 5 k n=5; p= 0,8 I Je größer n ist, umso breiter und flacher ist das Diagramm I Je größer n ist, umso weiter rechts liegt das Maximum cler Verteilung II Je größer n ist, umso symmetrischer wirkt das Verteilungsbild

Mathe /