Das Kreuzprodukt erklärt: Bedeutung und Berechnung

Das Kreuzprodukt - Berechnung und Anwendung

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ergibt immer einen neuen Vektor $\vec{n}$, der senkrecht auf beiden ursprünglichen Vektoren steht. Die Formel sieht kompliziert aus, ist aber eigentlich nur ein festes Schema: $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}$

Methode 1 funktioniert mit einem praktischen Schema: Du schreibst die Komponenten untereinander, wiederholst die ersten beiden Zeilen und berechnest dann diagonal. Bei Methode 2 machst du dasselbe, aber achtest darauf, dass die zweite Komponente ein Minuszeichen bekommt.

💡 Merktipp: Das Kreuzprodukt brauchst du vor allem für Normalenvektoren und Flächenberechnungen - zwei der wichtigsten Anwendungen in Klausuren!

Du kannst das Kreuzprodukt für drei wichtige Dinge nutzen: Normalenvektoren berechnen, den Flächeninhalt eines Parallelogramms ($A = |\vec{a} \times \vec{b}|$) und den Flächeninhalt eines Dreiecks ($A = \frac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}|$). Das Beispiel mit $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} -2 \\ -7 \\ -2 \end{pmatrix}$ zeigt dir beide Rechenwege und führt zum Ergebnis $\vec{n} = \begin{pmatrix} 23 \\ -2 \\ -16 \end{pmatrix}$.