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KURYENDISKUSSION ZUSAMMENFASSUNG
4-ABLEITUNGEN BILDEN
Die Ableitung einer Funktion gilot ihre Steigung an.
Die allgemeine Famel lautet:
f(x)
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Die allgemeine Famel lautet:
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Die allgemeine Famel lautet:
f(x)

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KURYENDISKUSSION ZUSAMMENFASSUNG 4-ABLEITUNGEN BILDEN Die Ableitung einer Funktion gilot ihre Steigung an. Die allgemeine Famel lautet: f(x)= x" f'(x) = n. x' n-1 Für sie gilt: f(x)=0 BELSPIEL AY. Bsp.: Auch die Ableitung kann abgeleitet werden, dies ist dann die zweite/dritte/... Ableitung. f'(x) = 9x² + 4x + 1 f"(x)=18x + 4 f"(x) = 18 hullstellen Nullstellen sind die Stellen, an denen die Funktion die X-Achse Schneidet. GTR ,f(x) A Ausklammem um Nullstellen ohne Taschenrechner 3-3=9 3-1=2 f(x)= 3x³ + 2x²+x+4 f'(x)= 9x² + 4x + 1 Bsp.: f(x)= 3x² - 6x 0 = 3x² - 6x 0 = x (3x-6) X₁ = 0 x₂ = 2 2-2=4 2-A=1 wenn ein x alleine ist die Ableitung 1. → f(x)=x = f(x) = 1 x^ · f'(x) = 1 um sie zu berechnen können die Taschenrechnerbetenie "poly Roots" und unsolve" verwendet werden. "Poly Roots" kann jedoch nur für polynom funktionen verwender werden. Insolve" kann für alle Funktionen verwendet werden, berechner jedoch zunächst nur eine Nullstelle. Eine weitere Möglichkeit ist es, die Funktion zeichnen zu lassen. und dann durch Menu → Graph analysieren → Nullstelle" die Nullstellen zu bestimmen. zu berechnen, gilor es mehrere Möglichkeiten: 2 pq- Formel (bei quadratischen Funktionen) Bsp.: f(x)=x² + px+q X₁₁2=====√√(5) ². f(x)= x² + 3x + 1 X4,2===√ X₁₁2 = 1,5± √√2.25-1 X₁,2 = -1.5 = √1125 X₁₁2 = 1,5 ± 1,12 X₁ = -2,62 X₂= 2,62 -1- stent, 3 substitutionsverfahren x² = 2 Bsp: x² + x²-12=0 | Substit. 2²+2-12=0 →quadr. Funktion-pq-Formel 2₁,2= -√√√(4)²-(-12) 2₁=3 2₂=-4 Rücksubsklukon: x²= 2 x₂²2²=3 1√ x.= √3 = 1,73 ₁1,73 x₂²2²=-u I√ 4 EXTREMA Extremstellen sind Hoch- und Tiefpunkte....

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Alternativer Bildtext:

An diesen Stellen ist die Steigung =o. Daher sind Sie in der Ableitungsfunktion Nullstellen. BEISPIEL wenn das Ergebnis der hinreichenden Bedingung positiv ist. handelt es sich um einen Tiefpunkt. Bei einem negativen Ergeonis liegt ein Hochpunich vor. fcol=0 f'(x) /f(x). BEISPIEL AY Daher kommt die notwendige Bedingung f'(x) = 0. Bsp.: f(x)= x³ - 3x² f'(x) = 3x² - 6x ·f"(x) = 6x-6 f(x) [/F"(x)/ f(x) 2um Schluss müssen noch die y- koordinaten der Extremstellen berechnet werden. Dazu werden sie in die Ausgangsfunktion eingesetzt: f(2)=-4 wenn das Ergebnis der hinreichenden Bedingung positiv ist. handelt es sich um einen R/L-WP. Bei einem negativen Ergebonis liegt ein LIR-WP vor. X1=0 X₂=2 um jetzt sicher sein 20 können, dass es sich um eine Extremstelle handelt, und kemen Sattelpunkt, ist die hinreichende Bedingung f'(x) = 0_ nf "(x) #0 erforderlich. not w. Bed.: f'(x)=0 hinr. Bed. f'(x)=0 n f "(x) *0 f"(0)= 6.0-6 GTR Mit dem Taschenrechner können Extrema bestimmt werden, indem man die Funktion zeichnen lässt und dann Menu → Graph analysleren → Minimum / Maximum" auswähir =-6 <0 HP -ly-Wendepunkte Wendepunkte sind die Stellen, die die extremste Steigung haben. Daher sind sie Extremstellen in der ersten Ableitung. und dementsprechend Nullstellen in der zweiten Ableitung. 0=3x²-6x =>Die Funktion f(x) hat zwei Extremstellen an den Punkten HP(010) und ΤΡ(21-4). Bsp.: f(x)=x²-3x² f'(x)=3x² - 6x f"(x)=6x -6 f"(x) = 6 f"(2)=62-6 :6 209 T Auch hier müssen wieder y-koordinaten berechnet werden. Dadurch ergibt sich die notwendige Beclingung notw. Bed: f"(x)=0 0= 6x-6 x=1 f(1) =-2) Die Function nat einen wendepunkt bei WP(11-2). -2- Die hinreichende Bedingung lauter f"(x)=0 n f"(x)*0. hinr. Bed.: {"(x)=0 af "(x)=0 f"² (1) = 6 >0 → R/C - WP f"(x)=0. GIR wende punkte können nicht direkt mit dem GTR bestimmt werden. Jedoch könnte man die zweite Ableitung zeichnen lassen und dann mit Menu Graph analysieren → Minimum/Maximum die Extremwerte der zweiten Ableitung bestimmen. Danach muss man noch die y- koordinate berechnen. STAMBADDEYMMETRIEN Es gibt zwei Standard symmetrien: Die Achsensymmetrie zur y-Achse f(x)=x² 5- Achsensymmetrisch zur 4-Achse → alle. Exponenten sind gerade f(x) = f(-x) wenn sowoh gerade als auch und ade Exponenten vorhanden sina, liegt keine Standard symmetrie vor. ny ausführlion: Lim∞ f(x) = Limm Lim X4-8 7-y-ac BEISPIEL f(x) = \im G-FERNVERHALTEN Das Fernverhallen gibt das Verhalten einer Funktion im Unendlichen an. Bei Polynomfunktionen kann das Fernverhalten der variable mit dem höchsten Exponenten auf die gesamte Function übertragen werden. x ³ (1 - ³/3/2 + ³/3/2 um Lim nur höchster Exponent: *+ f(x) = x10 x³ (1- 3/3/1 + 3/1/2 =-∞ = ∞ x³ = ∞ um x+ -∞ f (x)= xm-00 x³ = -00 AY ,f(x) M und die punktsymmetrie zum ursprung (010). Dery-Achsenabschnitt ist der Schnittpunkt mit der y-Achse.. Er wird mit Bsp.: f(x) = x³ + 3x² f(0) = 0³ + 3.02 f(0) = 0 ay Eine andere Möglichkeit, die jedoch nicht genau ist, ist probieren. Man setzt für x eine sehr große/kleine zahl ein (2.B. aaaa/-aaaa) und erkennt daran das Femverhalten. 4-4-ACHSENABSCHMITT -3- Punktsymmetrisch zum Ursprung →Alle Exponenten sind ungerade f(-x) = -f(x) f(x)=x² GTR Um das Fernverhalten mit dem GTR 20 bestimmen, kann man die Funktion zeichnen lassen und daran dal Fernverhalten ablesen. F(0) Bei 2.B. f(x)= x³ + 2x-3 liegt keine Standard symmetrie vor: = f(x) = x³ + 2x^-3×°. berechnet. GIR man die Funktion zeichnen und Mit dem GTR kann mit Menu → Geometry → Punkte & Geraden → Schnittpunkt(e)" den y-Achsenabschnitt berechnen. Dazu wählt man als Graphen die Funktion und die 4-Achse aus.