Kurvendiskussion

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I4 1,73 EXTREma Extremstellen sind Hoch- und Tiefpunkte. An diesen Stellen ist die Steigung =O. Daher sind Sie in der Ableitungsfunktion Nullstellen. BEISPIEL ex /f(x). N wenn das Ergebnis der hinreichenden Bedingung positiv ist. handelt es sich um einen Tiefpunkt. Bei einem negativen Ergebnis liegt ein Hochpunict vor. fcol=0 X BEISPIEL B Daher kommt die notwendige Bedingung f'(x)=0. f(x) / F"(x)/ f(x) Bsp.: f(x)=x²³ - 3x² ·f'(x) = 3x² - 6x f"(x) = 6x-6 not w. Bed.: f'(x)=0. 0= 3x²-6x X1=0 X₂=2. um jetzt sicher sein 20 können, dass es sich um eine Extremstelle handelt, und keinen Sattelpunkt, ist die hinreichende • Bedingung f'(x) = 0_ nf "(x) #0 erforderlich. hinr. Bed.: f'(x) =0_n_f"(x) *O 2um Schluss müssen noch die y- koordinaten der Extremstellen berechnet werden. Dazu werden sie in die Ausgangsfunktion eingesetzt: f(2)=-4 GTR Mit dem Taschenrechner können Extrema bestimmt werden, indem man die Funktion zeichnen Tässt und dann Menu → Graph analysieren → Minimum / Maximum" auswänır wenn das Ergebnis der hinreichenden Bedingung positiv ist, handelt es sich um einen RIL-WP. Bei einem negativen Ergebonis liegt ein L/R-WP vor. -4- wendepunkte Wendepunkte sind die Stellen, die die extremste Steigung haben. Daher sind sie Extremstellen in der ersten Ableitung, und dementsprechend Nullstellen in der zweiten Ableitung. Dadurch ergibt sich die notwendige Beclingung f "(x)=0. notw. Bed.: f"(x)=6 0=6x-6 f"(0)=6-0-6 ⇒ Die Funktion f(x) hat zwei Extremstellen an den Punkten HP(010) und TP(2I-4). =-6 <0 → HP Bsp.: Auch hier müssen wieder y-koordinaten berechnet werden. f"(2)=62-6 26 202TP f(x)=x²-3x² f'(x)=3x² - 6x f"(x)=6x -6 f(x) = 6 f(1)=-2) Die Funktion hat einen wendepunkt bei WP(11-2). Die hinreichende Bedingung lauter f"(x)=0 n f"(x)*0. • hinr. Bed.: f"(x)=0 n f "(x) *0 ·f" (1) = 6 >0 → R/C - WP GIR x=1 Wendepunkte können nicht direkt mit dem GTR bestimmt werden. Jedoch könnte man die zweite Ableitung zeichnen lassen und dann mit Menu → Graph analysieren → Minimum/Maximum die Extremwerte der zweiten Ableitung bestimmen. Danach muss man noch die y- koordinate berechnen. 11 5 - STANDARD SYMMETRIEN Es gibt zwei Standard symmetrien: Die Achsensymmetrie zur Y-Achse |f(x)=x² Achsensymmetrisch zur .y-Achse → alle Exponenten sind gerade wenn sowoh gerade als auch ungerade Exponenten vorhanden sind, liegt keine Standard symmetrie vor. ausführlion: f(x) = f(-x) Lim BEISPIEL Lim Lim x ³ (1 - ³/2 + 3/1/2 =X+00 x→∞ f(x): 6- FERNVERHALTEN- Das Fernverhallen gibt das Verhalten einer Funktion im Unendlichen an. Bei Polynomfunktionen kann das Fernverhalten der variable mit dem höchsten Exponenten auf die gesamte Function übertragen werden. um Lim nur höchster Exponent: x+∞ f(x) = x+6 X X-→-∞ f(x) = Limm x ³ (1 - ³ + ³/2 =-∞0 um Lim x → ∞ f(x) = x2-x² = ∞ ,f(x) und die punktsymmetrie zum ursprung (010). Bsp.: f(x) = x³ + 3x² f(0) = 0³ + 3.0² f(0) = 0. lassen 11 F -3- f(x)=x³ Punktsymmetrisch zum Ursprung. →Alle Exponenten sind ungerade f(-x) = -f(x) Eine andere Möglichkeit, die jedoch nicht genau ist, ist probieren. Man setzt für x eine Sehr große/kleine zahl ein (2.B. aaaa/-aaaa) und erkennt daran das Femverhalten. 4-y-achsen abschMITT- Dery-Achsenabschnitt ist der Schnittpunkt mit der y-Achse.. Er wird mit. f(0) berechnet. Bei 2.B. f(x)= x³ + 2x −3 liegt keine Standard symmetrie vor: = x³ + 2x²-3x º = f(x) = x³ + GIR Um das Fernverhalten mit dem GTR 20 bestimmen, kann man die und daran dal Fernverhalten ablesen. Funktion zeichnen GIR Mit dem GTR kann man die Funktion zeichnen und mit Menu → Geometry → Punkte & Geraden → Schnittpunkt(e)" den y-Achsenabschnitt berechnen. Dazu wählt man als Graphen die Funktion und die y-Achse aus.