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Mathe Abitur Zusammenfassung 2022

Mathe Abitur Zusammenfassung 2022

 ANALYSIS:
Ganzrationale Funktionen:
Reelle Funktion mit Definitionsbereich Dp = R
Eindeutige Zuordnung = jedem x wird ein y zugeordnet
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Meine Mathe Abitur Zusammenfassung 2022 :) -> Analysis, Analytische Geometrie, Stochastik

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ANALYSIS: Ganzrationale Funktionen: Reelle Funktion mit Definitionsbereich Dp = R Eindeutige Zuordnung = jedem x wird ein y zugeordnet ↳ Definitionsmenge = welche x-Werte man einsetzen darf Lineare Funktionen: Funktion 1. Grades mit y=mx+n -> m = Steigung mit -> n = y-Achsenabschnitt (durch einsetzten) Quadratische Funktionen: 2 Funktion 2. Grades mit f(x) = ax +bx+c -> Verschiebung des Graphen: 3 1. In y-Richtung: f(x)= 2x+d 2. In x-Richtung: f(x)= cx+2 (umgekehrt) : (x+2)+ 2(x+2) 3. Streckung/Stauchung in y-Richtung: f(x)=ax a>0 = gestreckt Oca<^= gestaucht - 2 ↳x-werte MATHE ABITUR ZUSAMMENFASSUNG 2x Immer größer 2 2 Grenzwertverhalten: Limes ist der Grenzwert an den sich Graph nähert 1. x-Werte gehen gegen + oder - unendlich -> lim f(x) = + ∞0 X1180 4 2. x-Werte nähern sich endlicher Stelle x -> limf(x) z.B. lim 2x² + 5 = 23 ***0 x 3 (x-3)² sehr große oder kleine x-Werte einsetzen: lim 2x = 2.10000 = 20000 = + 00 1 4 V +00 y= 2x +2 Symmetrie: - Achsensymmetrie: für f(-x) = f(x) -> Bei geraden Exponenten z.b. x², x", -Punktsymmetrie: für f(-x) = -f(x) -> Bei ungeraden Exponenten z.B. x³, **... z. B. f(x)= 3x³ + x f(-x) = 3(-x)³ -x = -3x³-x = -f(x) L₂ Punktsymmetrisch zum Ursprung 42.8. f(x) = x² - 9 O=x²-9 1+9 √ x₂-3 ₁:3 evtl. auch keine Symmetrie V ↳ Achsensymmetrisc Nullstellen: - Ermittlung durch f(x) = 0 - Evtl. auch durch Ausklammern oder pq-Formel Doppelte Nullstellen -> berührt die x- Achse trisch zur y-Achse AN ↳ Zwei Nullstellen bei x₁=1 und x₂=-1 ↳ Doppelte Nollstelle bei x=3 Bedeutung der 1. Ableitung: Mittlere Änderungsrate: Steigung...

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im Intervall -> Sekantensteigung durch zwei Punkte f(x)-f(x0) -> mit Differenzenquotient: x-xo Momentane Änderungsrate: Steigung einer Funktion in einem Punkt -> Tangentensteigung durch f(x) = lim f(x)=f(x) h40 Aussage über Steigungsverhalten einer Funktion: 1. f'(x) > 0 = f ist streng monoton steigend 2. f'(x) < 0 = f ist streng monoton fallend Ableitungsregeln z.B. Extremstellen: Drei Arten von Extrema: Minimum, Maximum, Sattelpunkt ΤΡ nach = X 1. Notwendige Bedingung: f'(x) = 0 2. Hinreichende Bedingung: f" (x) # 0 -> Für f"(x) < 0 = Hochpunkt und für f"(x) > 0 = Tiefpunkt nach HP strebt für h→0 Grenzwert an Bsp: f(x)= x+3x+1 HP bei x = 1 f(0) = 1 f(3) = 19 da größer, da am höchsten 4 auch möglich bei WP bzw. Stärkster Änderung = dann Ränder in f'(x) einsetzen! Randextrema: - Evtl. Extrema nicht höchste/tiefste Stelle -> Mit Rändern des Definitionsbereiches vergleichen: D= [0;3] Ja Sattelpunkt kein VZW größer = Rand extrema ↳globales Extremum Extremstellen berechnen: 1. Handschriftlich: -> Bsp: f(x) = 4x² + 2x NB: f'(x) = 0 8x +2 = 0 X HB: f'(x)=0_f"(x) #0 z. B. xo f'(xo) -4 1-2:8 F"(-4)=8>0 →Tiefpunkt x <- 2. Monotonietabelle: F(x) = 4x² + 2x -1 ; -6 f(x) = 8x+2 f"(x)= 8 x = -1/ - 4 = in 3. GTR: Graph, F5, Min/Max ; F(x) einsetzen für y ×ε = - 4 >> -4 1 10 -TP da von "minus" nach ", plus Zimmer wenn HB=0 " Bedeutung der 2. Ableitung: Beschreibt Krümmungsverhalten einer Funktion -> Für f"(x) > 0 = Linksgekrümmt -> Für f"(x) < 0 = Rechtsgekrümmt Wendepunkte: Stelle wo eine Funktion ihre Krümmung oder Richtung ändert 1. Notwendige Bedingung: f" (x) = 0 2. Hinreichende Bedingung: f" (x) # 0 -> Wendepunkt mit waagerechter Tangente = Sattelpunkt Berechnen: 1. Handschriftlich 2 -> Bsp: f(x)=2x² + x^² +1 ; F"(x)= 12x + 2 NB: F"(x) = 0 12x +2=O z. B. xo Immer wenn HB=O X f"(xo) WP X<- 3 HB: F"(x)=0 f"(x) 0 - 1 2. Monotonietabelle: f(x)= 2׳ +ײ +1 승 =-1 - 10 ; f" (-1/2) = 12 >0 →→ Wendepunkt 1-2:12 f'(x) = 6x² + 2x f"(x) = 12 × =-11 O = in f(x) einsetzen für y xw== // x>-1/12 14 → Wendepunkt da VZW Wendetangente: - Berührt Funktion im Wendepunkt -> Bsp: f(x) = x² + 2 für x = 2 f(2)=6=Y f'(x) = 2x y=mx+n L₂t(x) = 4x-2 f'(2) = 4 = m 6 = 4.2+ n=-2 Zeichnerisches Ableiten: - Von f und f' -> f & f' 1-8 waagerechte Tangente = Sattelpunkt Aㅛ W 4 Nor VZW t(x) Extrema wenn ↳ wenn f(x) fällt beginnt f'(x) im Minus bereich NEW NEW Sachzusammenhang: 1. f(x) = Weg 2. f'(x) = Geschwindigkeit 3. f"(x) = Beschleunigung - Extrema: Höchster/Tiefster Punkt - Wendestellen: Stärkste Steigung → Abnahme / Zunahme Funktionsscharen: Funktionsterm enthält außer x noch einen Parameter z. B. a -> z.B. f (x) = ax + 2 Funktionsscharen zeichnen: Mit {} im GTR -> Durch zunehmendes/abnehmendes a = Graph verschiebt sich Gemeinsamkeiten und Unterschiede: Symmetrie zum Ursprung /y-Achse Genau einen Tiefpunkt, Schnittpunkt etc. -> Mit wachsendem a = näher/weiter auseinander Funktionsschar untersuchen: Parameter a wie Zahl behandeln -> Bsp: f(x) = x² + 4ax - 4a Punkt (111) auf f (x): f(1)= 1²+ 4a - 4a = 1 Schnittpunkt y-Achse: f(0) = 1°+40.0-40 = −4a 4x=0 - Schnittpunkt x-Achse: 0=x²+4ax-4a 1. mit pq-Formel -√²- oder ausklammern 2. mit GTR: Graph, F5, Root 3 ax³. -> Bsp: f (x) = Ableiten: f'(x) = 3ax²-3a f"(x) = bax ax-3ax-3a f"(x) = 6a Extrema: NB: f(x)=0 2 3ax²-3a = 0 3ax ² = X₁,2 = ±1 f"(x) ‡0 für a>0 HB: f'(x)=0 {"(1) = 6a > 0 → Tiefpunkt f" (1) = 6a >O für a<o → Hochpunkt f"(-1) = -6a <0 für a>0 ➜ Hochpunkt f"(-1) = -6a <O für aco→ Tiefpunkt -y-Koordinate durch x einsetzen in f -> Z.B. TP (11-2a + 1) 1-30 За 1: За / z. B. Für welchen Wert von a liegt einer der Extrema auf x- Achse? -> F₁(x)=0 O = 2a + 4 1-4 -4 = 2a 1:2 a = -2 Wendestellen: NB: "(x)=0 bax = 0 X = 0 1:ba HB: ₂ "(x) = 0 fa""(x) #0 fa" (0) = ba #0 für ato Ly-koordinate: fa (0) = -6a Wendetangente: f(x)= 2ax² + 2 Achtung beim differenzieren für Ja ist a>o, sonst keine Extrema für aco! WP (01-3a) Fallunterscheidung ↳ evtl. azo für x = 1 fa (1) = 2a + 2 = Y fa'(x) = 4a → y=mx+n → ↳₂ w(x) = 4ax + (−2a+2) fa' (1)=4a=m 2a+ 2 = 40.1 +0 1-4a - 2a + 2 = Steckbriefaufgaben: Gesucht: bestimmter Funktionsterm Gegeben: Verschiedene Eigenschaften 1. Welche Funktion = vom Graph ablesen oder n -> Grad + 1 = Bedingungen (so viele Bedingungen wie Parameter) 3 2 -> Bsp: Funktion 3. Grades = ax + bx + cx + d 2. Bedingungen aufstellen z.B. Steigung oder Wendepunkte 3. LGS aufstellen und lösen Steckbriefaufgaben Bedingungen: Symmetrie: 1. Punktsymmetrie: nur ungerade Exponenten z.B. ax³ + cx 2. Achsensymmetrie: nur gerade Exponenten z. B. bx² + d - Extrema: HP bei (111): f(1) = 1 & f(1) = 0 - Wendepunkt bei (515): f(5) = 5 & f" (5) = 0 Sattelpunkt bei x=8: f'(8) = 0 & f" (8) = 0 Nullstelle bei x=3: f(3) = 0 Waagerechte Tangente bei x=9: f'(9) = Wendetangente t(x)=5x + 8 bei x=1: f(1) = 13 Wendetangente x=2 mit Steigung 5: f'(2) =5 & f"(2) = 0 Schneidet g(x)= 3x+8 auf y-Achse: f(0) = 8 - Hat bei a Steigungswinkel: f'(3) = tan (x) 4 - Berührt x-Achse bei x=2 - -> Doppelte Nullstelle bei (216): f(2) = 0 f"(1)=0 & f'(2) = 0 Trassierung: - Zwei Funktionen f(x) und g(x) gegeben = t(x) Sprungfrei. gesuchte Funktion durch f(x) = g(x) ↳nantloser übergang Knickfrei: 3. Grades Erste Ableitung gleich: f'(x) = g'(x) -> gleiche Steigung Krümmungsruckfrei : 5. Grades - Zweite Ableitung gleich: f"(x) = g"(x) f'(x) = g'(x) auch I f(-3) = 1 I f'(-3) = G III f(1) = 1 TV (1) O a a. (-3)³ + b.(-3)² + c. (-3) + d = 1 3a. (-3)² +2b-(-3)+c = O ba + b + Steckbriefaufgaben LGS aufstellen: -Mithilfe Bedingungen LGS aufstellen: Bsp: 3. Grades; HP bei (-311) und WP (11) 4₂ 4. Bedingungen f(x) = ax³ + bx² +cx+d; F'(x) = 3ax² + 2bx+c ; f"(x) = 6ax+2b 2b + C g(x) + d -^ -> Mit GTR oder Gauß- Verfahren lösen - Umformen und in Funktionsterm einsetzen -> z.B. f(x) = 3x³ +2ײ + 6x +1 `E(x) = 0 2 3 f(x) 4

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Handschriftlich: -> Bsp: f(x) = 4x² + 2x NB: f'(x) = 0 8x +2 = 0 X HB: f'(x)=0_f"(x) #0 z. B. xo f'(xo) -4 1-2:8 F"(-4)=8>0 →Tiefpunkt x <- 2. Monotonietabelle: F(x) = 4x² + 2x -1 ; -6 f(x) = 8x+2 f"(x)= 8 x = -1/ - 4 = in 3. GTR: Graph, F5, Min/Max ; F(x) einsetzen für y ×ε = - 4 >> -4 1 10 -TP da von "minus" nach ", plus Zimmer wenn HB=0 " Bedeutung der 2. Ableitung: Beschreibt Krümmungsverhalten einer Funktion -> Für f"(x) > 0 = Linksgekrümmt -> Für f"(x) < 0 = Rechtsgekrümmt Wendepunkte: Stelle wo eine Funktion ihre Krümmung oder Richtung ändert 1. Notwendige Bedingung: f" (x) = 0 2. Hinreichende Bedingung: f" (x) # 0 -> Wendepunkt mit waagerechter Tangente = Sattelpunkt Berechnen: 1. Handschriftlich 2 -> Bsp: f(x)=2x² + x^² +1 ; F"(x)= 12x + 2 NB: F"(x) = 0 12x +2=O z. B. xo Immer wenn HB=O X f"(xo) WP X<- 3 HB: F"(x)=0 f"(x) 0 - 1 2. Monotonietabelle: f(x)= 2׳ +ײ +1 승 =-1 - 10 ; f" (-1/2) = 12 >0 →→ Wendepunkt 1-2:12 f'(x) = 6x² + 2x f"(x) = 12 × =-11 O = in f(x) einsetzen für y xw== // x>-1/12 14 → Wendepunkt da VZW Wendetangente: - Berührt Funktion im Wendepunkt -> Bsp: f(x) = x² + 2 für x = 2 f(2)=6=Y f'(x) = 2x y=mx+n L₂t(x) = 4x-2 f'(2) = 4 = m 6 = 4.2+ n=-2 Zeichnerisches Ableiten: - Von f und f' -> f & f' 1-8 waagerechte Tangente = Sattelpunkt Aㅛ W 4 Nor VZW t(x) Extrema wenn ↳ wenn f(x) fällt beginnt f'(x) im Minus bereich NEW NEW Sachzusammenhang: 1. f(x) = Weg 2. f'(x) = Geschwindigkeit 3. f"(x) = Beschleunigung - Extrema: Höchster/Tiefster Punkt - Wendestellen: Stärkste Steigung → Abnahme / Zunahme Funktionsscharen: Funktionsterm enthält außer x noch einen Parameter z. B. a -> z.B. f (x) = ax + 2 Funktionsscharen zeichnen: Mit {} im GTR -> Durch zunehmendes/abnehmendes a = Graph verschiebt sich Gemeinsamkeiten und Unterschiede: Symmetrie zum Ursprung /y-Achse Genau einen Tiefpunkt, Schnittpunkt etc. -> Mit wachsendem a = näher/weiter auseinander Funktionsschar untersuchen: Parameter a wie Zahl behandeln -> Bsp: f(x) = x² + 4ax - 4a Punkt (111) auf f (x): f(1)= 1²+ 4a - 4a = 1 Schnittpunkt y-Achse: f(0) = 1°+40.0-40 = −4a 4x=0 - Schnittpunkt x-Achse: 0=x²+4ax-4a 1. mit pq-Formel -√²- oder ausklammern 2. mit GTR: Graph, F5, Root 3 ax³. -> Bsp: f (x) = Ableiten: f'(x) = 3ax²-3a f"(x) = bax ax-3ax-3a f"(x) = 6a Extrema: NB: f(x)=0 2 3ax²-3a = 0 3ax ² = X₁,2 = ±1 f"(x) ‡0 für a>0 HB: f'(x)=0 {"(1) = 6a > 0 → Tiefpunkt f" (1) = 6a >O für a<o → Hochpunkt f"(-1) = -6a <0 für a>0 ➜ Hochpunkt f"(-1) = -6a <O für aco→ Tiefpunkt -y-Koordinate durch x einsetzen in f -> Z.B. TP (11-2a + 1) 1-30 За 1: За / z. B. Für welchen Wert von a liegt einer der Extrema auf x- Achse? -> F₁(x)=0 O = 2a + 4 1-4 -4 = 2a 1:2 a = -2 Wendestellen: NB: "(x)=0 bax = 0 X = 0 1:ba HB: ₂ "(x) = 0 fa""(x) #0 fa" (0) = ba #0 für ato Ly-koordinate: fa (0) = -6a Wendetangente: f(x)= 2ax² + 2 Achtung beim differenzieren für Ja ist a>o, sonst keine Extrema für aco! WP (01-3a) Fallunterscheidung ↳ evtl. azo für x = 1 fa (1) = 2a + 2 = Y fa'(x) = 4a → y=mx+n → ↳₂ w(x) = 4ax + (−2a+2) fa' (1)=4a=m 2a+ 2 = 40.1 +0 1-4a - 2a + 2 = Steckbriefaufgaben: Gesucht: bestimmter Funktionsterm Gegeben: Verschiedene Eigenschaften 1. Welche Funktion = vom Graph ablesen oder n -> Grad + 1 = Bedingungen (so viele Bedingungen wie Parameter) 3 2 -> Bsp: Funktion 3. Grades = ax + bx + cx + d 2. Bedingungen aufstellen z.B. Steigung oder Wendepunkte 3. LGS aufstellen und lösen Steckbriefaufgaben Bedingungen: Symmetrie: 1. Punktsymmetrie: nur ungerade Exponenten z.B. ax³ + cx 2. Achsensymmetrie: nur gerade Exponenten z. B. bx² + d - Extrema: HP bei (111): f(1) = 1 & f(1) = 0 - Wendepunkt bei (515): f(5) = 5 & f" (5) = 0 Sattelpunkt bei x=8: f'(8) = 0 & f" (8) = 0 Nullstelle bei x=3: f(3) = 0 Waagerechte Tangente bei x=9: f'(9) = Wendetangente t(x)=5x + 8 bei x=1: f(1) = 13 Wendetangente x=2 mit Steigung 5: f'(2) =5 & f"(2) = 0 Schneidet g(x)= 3x+8 auf y-Achse: f(0) = 8 - Hat bei a Steigungswinkel: f'(3) = tan (x) 4 - Berührt x-Achse bei x=2 - -> Doppelte Nullstelle bei (216): f(2) = 0 f"(1)=0 & f'(2) = 0 Trassierung: - Zwei Funktionen f(x) und g(x) gegeben = t(x) Sprungfrei. gesuchte Funktion durch f(x) = g(x) ↳nantloser übergang Knickfrei: 3. Grades Erste Ableitung gleich: f'(x) = g'(x) -> gleiche Steigung Krümmungsruckfrei : 5. Grades - Zweite Ableitung gleich: f"(x) = g"(x) f'(x) = g'(x) auch I f(-3) = 1 I f'(-3) = G III f(1) = 1 TV (1) O a a. (-3)³ + b.(-3)² + c. (-3) + d = 1 3a. (-3)² +2b-(-3)+c = O ba + b + Steckbriefaufgaben LGS aufstellen: -Mithilfe Bedingungen LGS aufstellen: Bsp: 3. Grades; HP bei (-311) und WP (11) 4₂ 4. Bedingungen f(x) = ax³ + bx² +cx+d; F'(x) = 3ax² + 2bx+c ; f"(x) = 6ax+2b 2b + C g(x) + d -^ -> Mit GTR oder Gauß- Verfahren lösen - Umformen und in Funktionsterm einsetzen -> z.B. f(x) = 3x³ +2ײ + 6x +1 `E(x) = 0 2 3 f(x) 4