Rekonstruktion von Funktionen

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c III" 0= 3a + c 0=3a-2-a 0=2a-2 2 = 2a a=1 a in l' einsetzen: -2=a+c -2=1+c c=-3 Wendepunkt im Koordinatenursprung Tiefpunkt bei P(1|-2) Übung: LB S. 151 Nr. 1 Rekonstruiere anhand der Aussagen aus a) und b) die jeweilige Funktionsgleichung. Arbeite dabei schematisch die Punkte (1)-(5) ab. (1) Ansatz für die Funktionsgleichung f(x) = ax³ + bx² + cx+d (2) Eigenschaften der Funktion f 1. P(214) liegt auf dem Graphen von f. 2. Q(010) liegt auf dem Graphen von f. (3) Umsetzen der Eigenschaften von (2) in Gleichungen b) Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat im Ursprung und im Punkt P(214) jeweils ein Extremum. 1. P(214) liegt auf dem Graphen von f. Eigenschaft 2. Q(010) liegt auf dem Graphen von f. 3. f hat ein Extremum bei x₂ = 2. I 4. f hat ein Extremum bei x₂ = 0. 11 (4) Lösen des Gleichungssystems III IV 4= 8a + 4b +2c + d 0=d 0 12a + 4b + c 0=c l' umstellen: 1" 48a + 4b [" 1 = 2a + b 1" b=1-2a (5) Lösen des Gleichungssystems Ansatz: Ergebnis: f'(x)= 3ax² + 2bx+c IV in III: Bedeutung II, IV in I: f(x) = ax³ + bx² + cx + d f(x) = -x³ + 3x² f(2)=4 f(0) = 0 f'(2) = 0 f'(0) = 0 I' f"(x) = 6ax + 2b 3. f hat ein Extremum bei x₂ = 2. 4. f hat ein Extremum bei XE₂ = 0. Gleichung f(2)=a.2³ + b 2² + c.2+d 4= 8a + 4b + 2c + d f(1) = a-0³ +b-0² + c.0+d 0=d f'(2)=3-a-2²+2·b·2+c 0=12a + 4b+c f'(0) = 3.a.0² +2.b.0+c 0=c 48a + 4b+0+0 4 = 8a + 4b III' 0= 12a + 4b +0 III' 0= 12a + 4b b in III' einsetzen: III" 0= 12a + 4b 0 = 3a + b 0= 3a + 1-2a 0=a+1 a=-1 a in l' einsetzen: [" 4 = 8a + 4b 48 (-1) + 4b 4-8+4b 12=4b b=3 Extremum im Koordinatenursprung Eigenschaften von f bei xo notwendige Bedingung Funktionswert Nullstelle Уо Yo f(x) = Yo Xo f(x) = 0 Extremalstelle xo f'(x) = 0 Wendestelle Xo f"(x) = 0 Extremum im Punkt P(214) Sattelpunkt Xo f'(x) = 0 f"(x) = 0 Berührungs- punkt mit g Xo f (x) = g(x₂) f'(x) = g(x₂) f(x)=-2x+ Funktion 4. Grades f(x)=-2x* Funktion 4. Grades (3) Umsetzen der Eigenschaften von (2) in Gleichungen Eigenschaft 1. f hat zwei Wendestellen bei Xw₁ = -0,5 und Xw2 = 0,5. 2. f hat zwei Extrema bei XMin = 0 und XMax = 1. 3. P(0-2) liegt auf dem Graphen von f. 4. Q(110) liegt auf dem Graphen von f. (4) Lösen des Gleichungssystems 1 0-6-3b+2c II 0=-6+3b+2c III 0= d 10=-6-3b+2c II 0=-6+3b+2c III 0=d (4) Lösen des Gleichungssystems I und II gleichsetzen: b und III in IV einsetzen: Ansatz: Ergebnis: Bedeutung f"(-0,5) = 0 f"(0,5) = 0 f(0) = 0 (5) Rekonstruierte Funktion f(1) = 0 IV 0-8 + 3b +2c + d 8=2c c=4 f(0) = -2 V -2 = e VI 0= -2+b+c+d+e f(1) = 0 IV 0 -8+ 3b + 2c + d V -2=e VI 0=-2+b+c+d+e -6-3b+2c=-6 +3b+2c -3b = 3b -6b=0 b=0 IV' 0-8+3.0+2+0 f(x) = -2x¹ + bx³ + cx² + dx + e f(x) = -2x4 + 4x² - 2 Gleichung f"(-0,5) = -24 (-0,5)² + 6b (-0,5) +2c 0=-6-3b+2c f"(0,5) = -24 0,52 + 6b 0,5+2c 0=-6 + 3b +2c f'(0) = -8.0³ + 3b-0² +2c 0+d 0=d f'(1) -8.1³ + 3b 1²+2c 1+d 0=−8+ 3b +2c + d f(0) = -2.0+ b⋅0³ +c⋅0² +d.0+e |-2=e f(1) = -2.1+b.1³ +c-1² + d. 1+e 0=−2+b+c+d+e kubische Funktion kubische Funktion (3) Umsetzen der Eigenschaften von (2) in Gleichungen Eigenschaft 1. f hat eine Wendestelle bei xw = -1. 2. f hat ein Extremum bei XMin = 0. 3. P(0-4) liegt auf dem Graphen von f. 4. P(110) liegt auf dem Graphen von f (x₁=1 ist Nullstelle). (4) Lösen des Gleichungssystems 1 0=-6a + 2b 11 0=c II 0=c (4) Lösen des Gleichungssystems I 0=-6a + 2b II und III in IV: IV' IV' IV" in I einsetzen: I' III IV a = 1 III IV 0=a+b+0-4 4 = a + b Bedeutung f"(-1)=0 0=-6a+2 (4- a) 0-6a +8-2a 0-8a+8 f'(0) = 0 f(0) = -4 f(1) = 0 -4 = d 0=a+b+c+d -4 = d 0=a+b+c+d (5) Rekonstruierte Funktion Ansatz: f(x) = ax³ + bx² + cx+d Ergebnis: f(x)= x³ + 3x² - 4 Gleichung f"(-1)= 6a (-1) + 2b 0=-6a + 2b f'(0) 3a 0²+2b.0+c 0=c f(0) =a 0³ +b-0² + c.0+d -4=d f(1) =a.1³+b. 1²+c-1+d 0=a+b+c+d IV' umstellen: a in IV' einsetzen: IV" 4 = a +b IV" 4-a=b IV' 41+b b=3 quadratische Funktion quadratische Funktion (3) Umsetzen der Eigenschaften von (2) in Gleichungen Eigenschaft 1. f hat ein Extremum bei XMin = 1. 2. P(11) liegt auf dem Graphen von f. 3. Q(010) liegt auf dem Graphen von f (xo 0 ist Nullstelle). (4) Lösen des Gleichungssystems 0=2a + b 1 II -1=a+b+c III 0=c (4) Lösen des Gleichungssystems I 0=2a + b 11 -1=a+b+c III 0=c III in II: I'in II' einsetzen: II' -1=a+b+0 II' -1 = a +b II" -1=a-2a -1=-a a = 1 (5) Rekonstruierte Funktion Ansatz: f(x) = ax² + bx+c Ergebnis: f(x)=x²-2x Bedeutung f'(1) = 0 f(1) = -1 f(0) = 0 / umstellen: a in / einsetzen: Gleichung f'(1)=2.a.1+b 0 = 2a + b f(1) = a 1²+b·1+c -1=a+b+c f(0) = a.0²+b.0+ c 0=c I' I 0 = 2a + b -2a = b 0 2.1+b 0=2+b b = -2