Mathe Vorabi 2022 Lernzettel: Analysis, Geometrie & Stochastik

Analysis - Die Grundlagen für dein Abi

Differenzen- und Differentialquotienten sind der Schlüssel zum Verständnis von Funktionen. Der Differenzenquotient berechnet die mittlere Änderungsrate zwischen zwei Punkten, während der Differentialquotienten (die Ableitung) die momentane Änderungsrate an einem bestimmten Punkt angibt.

Für Extremwerte folgst du einem klaren Schema: Bilde f'$x$, setze es gleich null, prüfe mit f''$x$ ob es sich um Maximum oder Minimum handelt, und berechne die y-Koordinate durch Einsetzen in f$x$. Bei Wendepunkten machst du dasselbe mit f''$x$ = 0 und prüfst mit f'''$x$.

Die Integralrechnung hilft dir bei Flächenberechnungen und Rotationsvolumen. Merke dir den Hauptsatz: Das bestimmte Integral von a bis b entspricht F$b$ - F$a$. Für Flächenberechnungen zwischen zwei Funktionen bestimmst du zuerst die Schnittpunkte und berechnest dann das Integral der Differenzfunktion.

Tipp: Bei Steckbriefaufgaben brauchst du so viele Bedingungen wie unbekannte Parameter - für f$x$ = ax³ + bx² + cx + d also vier Bedingungen!

Funktionscharen und Parameter

Funktionscharen enthalten einen Parameter (meist t), der die Funktion verändert. Du untersuchst, wie sich Nullstellen, Extrempunkte und andere Eigenschaften in Abhängigkeit von diesem Parameter verhalten. Dabei arbeitest du oft mit Fallunterscheidungen, je nachdem welche Werte der Parameter annimmt.

Ortskurven zeigen dir, wo sich bestimmte Punkte (wie Extrema) verschiedener Funktionen einer Schar befinden. Das Schema ist: Ableitung bilden, f'$x$ = 0 setzen, Extrempunkte bestimmen, x-Koordinate nach t auflösen und in y-Koordinate einsetzen.

Gemeinsame Punkte von Funktionscharen findest du durch Gleichsetzen. Dabei entstehen oft Gleichungen, die für alle Parameter erfüllt sein müssen - das führt zu festen Koordinaten wie A(0|0) und B(3|27) im gegebenen Beispiel.

Die Potenzregeln sind dein Werkzeug für komplexere Rechnungen: a⁻¹ = 1/a, √a = a^$1/2$, und a^m/a^n = a^$m-n$. Diese brauchst du ständig bei Ableitungen und Integralen.

Analytische Geometrie - Vektoren und Ebenen

Ebenen kannst du auf drei Arten darstellen: Parameterform, Koordinatenform und Normalenform. In der Parameterform beschreibst du eine Ebene durch einen Stützpunkt und zwei Richtungsvektoren, die nicht parallel sind. Die Formel lautet: E: x⃗ = a⃗ + s·u⃗ + t·v⃗.

Für die Umwandlung zwischen den Darstellungen nutzt du das Skalarprodukt und den Normalenvektor. Der Normalenvektor steht senkrecht zur Ebene und kannst du durch das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren berechnen: n⃗ = u⃗ × v⃗.

Winkel zwischen Geraden berechnest du mit der Formel cos γ = |u⃗₁ · u⃗₂|/(|u⃗₁| · |u⃗₂|). Zwei Vektoren sind orthogonal (senkrecht), wenn ihr Skalarprodukt null ergibt. Das ist besonders wichtig für Normalenvektoren.

Merkhilfe: Für die Koordinatenform ax₁ + bx₂ + cx₃ = d ist (a|b|c) automatisch dein Normalenvektor!

Stochastik - Wahrscheinlichkeiten berechnen

Grundbegriffe der Stochastik: Die Ergebnismenge Ω enthält alle möglichen Ausgänge, ein Ereignis ist eine Teilmenge davon. Das Gegenereignis Ē hat die Wahrscheinlichkeit P(Ē) = 1 - P(E).

Bedingte Wahrscheinlichkeiten treten auf, wenn ein Ereignis A das Ereignis B beeinflusst. Dann gilt: P(B|A) = P(A∩B)/P(A). Bei unabhängigen Ereignissen ist P(A∩B) = P(A)·P(B).

Die Vierfeldertafel hilft dir bei der Übersicht komplexer Wahrscheinlichkeitsaufgaben. Der Satz von Bayes ermöglicht es, "rückwärts" zu rechnen: P(A|B) = P(A)·P(B|A)/P(B).

Kombinatorik unterscheidet zwischen "mit/ohne Zurücklegen" und "Reihenfolge wichtig/unwichtig". Für die Binomialverteilung nutzt du die Bernoulli-Formel: P$X=k$ = (n über k)·p^k·$1-p$^$n-k$, wobei n die Anzahl Versuche, k die Anzahl Erfolge und p die Erfolgswahrscheinlichkeit ist.

Binomialverteilung und Normalverteilung

Binomialverteilung verwendest du bei Experimenten mit gleichbleibender Erfolgswahrscheinlichkeit p. Der Erwartungswert ist μ = n·p und die Standardabweichung σ = √$n·p·(1-p)$. Diese Werte beschreiben, wo die meisten Ergebnisse liegen werden.

Kumulierte Wahrscheinlichkeiten P(X ≤ k) berechnest du mit dem Taschenrechner (Menü → 7 → 4 → 2). Für "mindestens"-Aufgaben nutzt du oft das Gegenereignis: P(X ≥ 1) = 1 - P$X = 0$.

Die Sigma-Regeln helfen bei Intervallwahrscheinlichkeiten: In μ ± σ liegen etwa 68% aller Werte, in μ ± 2σ etwa 95%, und in μ ± 3σ etwa 99%. Das ist besonders nützlich für Prognosen und Qualitätskontrolle.

Intervallwahrscheinlichkeiten berechnest du als Differenz: P(30 ≤ X ≤ 40) = P(X ≤ 40) - P(X ≤ 29). Achte dabei auf die Grenzen - bei "höchstens 16" rechnest du P(X ≤ 16), bei "mindestens 17" dann 1 - P(X ≤ 16).

Praxis-Tipp: Bei großen n kannst du die Binomialverteilung durch die Normalverteilung approximieren - das spart Zeit im Abi!