Mathe /

Stochastik - Binominalverteilung

Stochastik - Binominalverteilung

 Ⓒ Erwartungswert + Standardabweichung:
Für eine Zufallsgröße X mit den Werten X₁.X₂... Xn definiert man folgende kenngrößen:
Erwartungswert

Stochastik - Binominalverteilung

M

Mara

59 Followers

Teilen

Speichern

47

 

12/13

Lernzettel

Erwartungswert, Standardabweichung, Bernoulli- Experimente, Binominalverteilung, Sigmaregeln

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Ⓒ Erwartungswert + Standardabweichung: Für eine Zufallsgröße X mit den Werten X₁.X₂... Xn definiert man folgende kenngrößen: Erwartungswert von X: p= x₂₁ P ( X = x₂ ) + x₂ · P ( X = X ₂) + + x₁ · P(X=Xn) 0=√(x₁ - p)² · P(x=x₂) +₂ + (x-µ)² · P(Xx=x₂) Standardabweichung von X: Erwartungswert →> Anzahl der Durchführungen Wahrscheinlichkeit μ = n.p gibt an, welcher Wert durchschnittlich bei einer großen Zahl von Durchführungen des Zufallsexperiments zu erwarten ist → Prognose für den Mittelwert Standardabweichung →> Stochastik kenngrößen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen/ Binominalverteilung 0 = √n.p⋅ (1-P) beschreibt die Streuung der Wahrscheinlichkeitsverteilung um den Erwartungswert p Prognose für die Standardabweichung s Bei einem Gewinnspiel kann man für einen Einsatz von 1€ von einem Zufallsgenerator Zufallszahlen von 1 bis 100 generieren lassen. Bei 55 erhält man 50€ Gewinn; 11.22 und 33 nur 5€; 44,66,77,88 jeweils 3€; bei 99.1 und 100 je 1€. Ansonsten verliert man seinen Einsatz Überprüfen Sie, ob sich eine Teilnahme am Spiel lohnt. Erwartungswert berechnen: P = 50. + 5. 2010 + = 0,8 → Man kann im Schnitt einen Gewinn von 80 cent Das Spiel ist also nicht fair. Auf lange Sicht 0 = 1 100 P(x = k) = (2)⋅ pk · (4-p)^+ P(x-3) = (5) ()³()² = 24 Bestimmen Sie Erwartungswert und Standardabweichung der Binominalverteilung mit n= 10 für p=0,6. =√n⋅p⋅(1-p) p=n.p p=10.0,6 = 6 o=√10.0.6 (1-0,6) = 1,55 ·...

Mit uns zu mehr Spaß am Lernen

Hilfe bei den Hausaufgaben

Mit dem Fragen-Feature hast du die Möglichkeit, jederzeit Fragen zu stellen und Antworten von anderen Schüler:innen zu erhalten.

Gemeinsam lernen

Mit Knowunity erhältest du Lerninhalte von anderen Schüler:innen auf eine moderne und gewohnte Art und Weise, um bestmöglich zu lernen. Schüler:innen teilen ihr Wissen, tauschen sich aus und helfen sich gegenseitig.

Sicher und geprüft

Ob Zusammenfassungen, Übungen oder Lernzettel - Knowunity kuratiert alle Inhalte und schafft eine sichere Lernumgebung zu der Ihr Kind jederzeit Zugang hat.

App herunterladen

Alternativer Bildtext:

Bernoulli-kette der Länge 5; Trefferw.k. p= 1/3 X Anzahl der Würfe mit 5 oder 6 Augen n→ Gesamtzahl der Versuche · k→ Anzahl der Treffer · P→ Trefferwahrscheinlichkeit 4 100 Ein Würfel wird fünf mal geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit a) fallen genau drei mal 5 oder 6 Augen Bernoulli-Experimente + Binominalverteilung: Eine Bernoulli-kette der Länge n besteht aus n unabhängigen Bernoulli- Experimenten mit den Ergebnissen 1 (Treffer) und 0 (Niete). Beschreibt die Zufallsgröße X die Anzahl der Treffer und ist p die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer, so erhält man die Wahrscheinlichkeit für k Treffer mithilfe der Bernoulli - Formel: B₁₁p (k) = P(x=k) = (₁).p* · (1-p) ^*; k-0... n. Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung Brip heißt Binominalverteilung. Die Zufallsgröße X heißt binominalverteilt mit den Parametern n und P. =0,1646 1. Mit einer W.k. von etwa 16% fallen genau dreimal 5 ode 6 Augen. erwarten. Dem steht ein Einsatz von 1€ gegenüber. verliert der Teilnehmer. 3 100 Bernoulli-Experiment muss unendlich oft durchführbar sein ・immer nur zwei Ausgänge • Wahrscheinlichkeit darf sich nicht ändern b) fallen mindestens dreimal 5 oder 6 Augen? P(x²3) = (³) · (3) ³ (3)² + (5)· (3)“ · (3)² + (§) · (3) ³ (²)° 17 81 → Mit einer W.k. von 21% fallen mind. dreimal 5 oder 6 Augen. c) fallen höchstens zweimal 5 oder 6 Augen? 17 64 81 81 P(x≤2) = 1-P (X²3) = 1- = ~0,7901 Р = = 0,2099 → Mit einer W.k. von etwa 79%. fallen höchstens zweimal 5 oder 6 Augen. GTR W.k. genau: Run-Matrix → SHIFT - 4→ BinominalPO → k→","→→","→ p W.K. maximal: Run Matrix-SHIFT 4 →Binominal CD → mind. →>", "→ höchstens →n →>"," Sigmaregeln Sigmaregeln Für eine binomialverteilte Zufallsgröße X mit den Parametern n und p, dem Erwartungs- wert μ = n.p und der Standardabweichung o = √n.p (1-p) erhält man folgende Näherungen: 10-, 20-, 30-Regel 1. P(u-osx≤ µ + σ) ≈ 68,3% 2. P(u-20≤x≤μ+20)≈ 95,4% 3. P(μ-30≤x≤ μ+30) ≈ 99,7% A P(X=r) 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0. 30 99,7% 40 P(x-4)= 0, 136 13,6% A BinominalPD (4,50. 95,4% P(x≤ 4) = 0,8964 € 89,64% Binominalco (0,4,50, 20) mind höchst p=n· p p = 100 1/² = 5/²0 = 16,67 3 45 68% = bzw. für glatte" Wahrscheinlichkeiten 4. P(u-1,640 ≤ x ≤μ +1,640) ≈ 90% 5. P(u-1,960 ≤ x ≤u+1,960) ≈ 95% 6. P(u-2,58 0≤x≤μ +2,58 0) ≈ 99% Erwartungswert = μ = n⋅p 50 2. P(p-20≤x≤p + 20) = 95,4%. P(16,672 3.73) १,21 P(16,67 +23,73) 24,13 20-Intervall - [9:24] 10 Berechnen Sie P(X=4); P(X ≤4); P(X=3) für eine binominalverteilte Zufallsgröße X mit den Parametern n=50 und p = 0,05 = 21/10 Etwa 20% der Deutschen sind a) genau 5 b) zwischen 4 und 6 blond sind? a) p=0₁2; n = 25; k= 5 P(X=5) 0,1960 19,6%. Binominal Po (5,25,0,2) 55 n = 125 p= 0,4 20 p=10.0,6 = 6 p=20.0,6 = 12 Standardabweichung = 0 = √n⋅p⋅ (1-P) 60 P(x 3) = 0,4595 45,95% Binominal CD (3.50.50, 10) mind. höchst 65 I 30 0= √n⋅p⋅ (1-P) 0=√100(1-1) = 3,73 b) p=0,2 n = 25; mind. = 4; höchst. = 6 P (4≤ x ≤ 6) = 0,5460 = 54,6% Binominal CD (4,6,25,0.2) mind. höchst. P Anzahl r 70 o=√10.0.6 (1-0,6) ≈ 1,55 0√√20.0,6 (1-0.6) = 2,19 Fig. 2 unterste Grenze So erhält man mit n= 100, p=0.5₁ µ = 50 und σ = 5 z. B. das 20-Intervall P(p-20 ≤ x ≤ µ +20) = P (40 ≤ x ≤ 60) = F100;0.5 (60) - F100;0,5 (39) * 96,48%. blond. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Schulklasse mit 25 Schülern Ein Würfel wird 100-mal geworfen. X zählt die Anzahl der Sechsen. Berechnen Sie Erwartungswert und Standardabweichung von X. Bestimmen Sie das 20-Intervall. Vergleichen Sie die Wahrscheinlichkeit des 20-Intervalls mit dem Näherungswert, den die Sigmaregel liefert. Ein Würfel wird n= 60 mal gerollt. Die Zufallsgröße X zählt die Anzahl der Sechser (Treffer). Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass man 2) mind. 8 und höchstens 12. 1) genau 10. Sechser erhält. 1) genau 10 Treffer: (10) = 13,70% Boo: 1 oberste Grenze GTR Binominal CD (9.24,100,1) 0,9688 = 96,88% = 2) 8 bis 12 Treffer: F60;1 (12) - F₁0 (7) 80,97% -19,58% = 61,386% GTR BinominalCD (60, 12) Binominal CD (60, 1, 7) = 0,6139 GTR BinominalPD (60, 1, 10) = 0,1370 3) mehr als 15 Treffer: 1- P(X ≤15) = 1-F₁0;3 (15) = 1-96,62 %. = 3,38% GTR 1 Binominal CD (60, 15) P(9X24)= 96.88% →Die Sigmaregel besagt, dass 95% der Werte in dem Bereich liegen. Bestimmen Sie Erwartungswert und Standardabweichung der Binominalverteilung mit n= 10 und n=20 für p= 0,6 sowie die Wahrscheinlichkeit des 20-Intervalls. 3) mehr als 15 20-Intervall Pp-20 ≤ x ≤ µ+20) = 95,4% P(6-2-1,55) = 2,19 P(6+21,55) = 9,1 = [3:9] P(12-2-2,19)=7,62 P(12+2-2,19) = 16,38 = [8:16] GTR Binominal CD (3.9, 10, 3) = 0,9871 =98,71% P(3 x 9) 98,17% GTR Binominal CD (8,16,20,²)=0,963 P(8 X ²16) = 96,3% 96,3%

Mathe /

Stochastik - Binominalverteilung

M

Mara   

Follow

59 Followers

 Ⓒ Erwartungswert + Standardabweichung:
Für eine Zufallsgröße X mit den Werten X₁.X₂... Xn definiert man folgende kenngrößen:
Erwartungswert

App öffnen

Erwartungswert, Standardabweichung, Bernoulli- Experimente, Binominalverteilung, Sigmaregeln

Ähnliche Knows

user profile picture

3

Normalverteilung

Know Normalverteilung thumbnail

38

 

12/13

user profile picture

7

Stochastik Merkblätter

Know Stochastik Merkblätter thumbnail

204

 

11/12/13

user profile picture

11

Stochastik

Know Stochastik  thumbnail

6

 

11/12/13

L

Bernoulli

Know Bernoulli thumbnail

60

 

12

Ⓒ Erwartungswert + Standardabweichung: Für eine Zufallsgröße X mit den Werten X₁.X₂... Xn definiert man folgende kenngrößen: Erwartungswert von X: p= x₂₁ P ( X = x₂ ) + x₂ · P ( X = X ₂) + + x₁ · P(X=Xn) 0=√(x₁ - p)² · P(x=x₂) +₂ + (x-µ)² · P(Xx=x₂) Standardabweichung von X: Erwartungswert →> Anzahl der Durchführungen Wahrscheinlichkeit μ = n.p gibt an, welcher Wert durchschnittlich bei einer großen Zahl von Durchführungen des Zufallsexperiments zu erwarten ist → Prognose für den Mittelwert Standardabweichung →> Stochastik kenngrößen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen/ Binominalverteilung 0 = √n.p⋅ (1-P) beschreibt die Streuung der Wahrscheinlichkeitsverteilung um den Erwartungswert p Prognose für die Standardabweichung s Bei einem Gewinnspiel kann man für einen Einsatz von 1€ von einem Zufallsgenerator Zufallszahlen von 1 bis 100 generieren lassen. Bei 55 erhält man 50€ Gewinn; 11.22 und 33 nur 5€; 44,66,77,88 jeweils 3€; bei 99.1 und 100 je 1€. Ansonsten verliert man seinen Einsatz Überprüfen Sie, ob sich eine Teilnahme am Spiel lohnt. Erwartungswert berechnen: P = 50. + 5. 2010 + = 0,8 → Man kann im Schnitt einen Gewinn von 80 cent Das Spiel ist also nicht fair. Auf lange Sicht 0 = 1 100 P(x = k) = (2)⋅ pk · (4-p)^+ P(x-3) = (5) ()³()² = 24 Bestimmen Sie Erwartungswert und Standardabweichung der Binominalverteilung mit n= 10 für p=0,6. =√n⋅p⋅(1-p) p=n.p p=10.0,6 = 6 o=√10.0.6 (1-0,6) = 1,55 ·...

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Mit uns zu mehr Spaß am Lernen

Hilfe bei den Hausaufgaben

Mit dem Fragen-Feature hast du die Möglichkeit, jederzeit Fragen zu stellen und Antworten von anderen Schüler:innen zu erhalten.

Gemeinsam lernen

Mit Knowunity erhältest du Lerninhalte von anderen Schüler:innen auf eine moderne und gewohnte Art und Weise, um bestmöglich zu lernen. Schüler:innen teilen ihr Wissen, tauschen sich aus und helfen sich gegenseitig.

Sicher und geprüft

Ob Zusammenfassungen, Übungen oder Lernzettel - Knowunity kuratiert alle Inhalte und schafft eine sichere Lernumgebung zu der Ihr Kind jederzeit Zugang hat.

App herunterladen

Knowunity

Schule. Endlich einfach.

App öffnen

Alternativer Bildtext:

Bernoulli-kette der Länge 5; Trefferw.k. p= 1/3 X Anzahl der Würfe mit 5 oder 6 Augen n→ Gesamtzahl der Versuche · k→ Anzahl der Treffer · P→ Trefferwahrscheinlichkeit 4 100 Ein Würfel wird fünf mal geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit a) fallen genau drei mal 5 oder 6 Augen Bernoulli-Experimente + Binominalverteilung: Eine Bernoulli-kette der Länge n besteht aus n unabhängigen Bernoulli- Experimenten mit den Ergebnissen 1 (Treffer) und 0 (Niete). Beschreibt die Zufallsgröße X die Anzahl der Treffer und ist p die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer, so erhält man die Wahrscheinlichkeit für k Treffer mithilfe der Bernoulli - Formel: B₁₁p (k) = P(x=k) = (₁).p* · (1-p) ^*; k-0... n. Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung Brip heißt Binominalverteilung. Die Zufallsgröße X heißt binominalverteilt mit den Parametern n und P. =0,1646 1. Mit einer W.k. von etwa 16% fallen genau dreimal 5 ode 6 Augen. erwarten. Dem steht ein Einsatz von 1€ gegenüber. verliert der Teilnehmer. 3 100 Bernoulli-Experiment muss unendlich oft durchführbar sein ・immer nur zwei Ausgänge • Wahrscheinlichkeit darf sich nicht ändern b) fallen mindestens dreimal 5 oder 6 Augen? P(x²3) = (³) · (3) ³ (3)² + (5)· (3)“ · (3)² + (§) · (3) ³ (²)° 17 81 → Mit einer W.k. von 21% fallen mind. dreimal 5 oder 6 Augen. c) fallen höchstens zweimal 5 oder 6 Augen? 17 64 81 81 P(x≤2) = 1-P (X²3) = 1- = ~0,7901 Р = = 0,2099 → Mit einer W.k. von etwa 79%. fallen höchstens zweimal 5 oder 6 Augen. GTR W.k. genau: Run-Matrix → SHIFT - 4→ BinominalPO → k→","→→","→ p W.K. maximal: Run Matrix-SHIFT 4 →Binominal CD → mind. →>", "→ höchstens →n →>"," Sigmaregeln Sigmaregeln Für eine binomialverteilte Zufallsgröße X mit den Parametern n und p, dem Erwartungs- wert μ = n.p und der Standardabweichung o = √n.p (1-p) erhält man folgende Näherungen: 10-, 20-, 30-Regel 1. P(u-osx≤ µ + σ) ≈ 68,3% 2. P(u-20≤x≤μ+20)≈ 95,4% 3. P(μ-30≤x≤ μ+30) ≈ 99,7% A P(X=r) 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0. 30 99,7% 40 P(x-4)= 0, 136 13,6% A BinominalPD (4,50. 95,4% P(x≤ 4) = 0,8964 € 89,64% Binominalco (0,4,50, 20) mind höchst p=n· p p = 100 1/² = 5/²0 = 16,67 3 45 68% = bzw. für glatte" Wahrscheinlichkeiten 4. P(u-1,640 ≤ x ≤μ +1,640) ≈ 90% 5. P(u-1,960 ≤ x ≤u+1,960) ≈ 95% 6. P(u-2,58 0≤x≤μ +2,58 0) ≈ 99% Erwartungswert = μ = n⋅p 50 2. P(p-20≤x≤p + 20) = 95,4%. P(16,672 3.73) १,21 P(16,67 +23,73) 24,13 20-Intervall - [9:24] 10 Berechnen Sie P(X=4); P(X ≤4); P(X=3) für eine binominalverteilte Zufallsgröße X mit den Parametern n=50 und p = 0,05 = 21/10 Etwa 20% der Deutschen sind a) genau 5 b) zwischen 4 und 6 blond sind? a) p=0₁2; n = 25; k= 5 P(X=5) 0,1960 19,6%. Binominal Po (5,25,0,2) 55 n = 125 p= 0,4 20 p=10.0,6 = 6 p=20.0,6 = 12 Standardabweichung = 0 = √n⋅p⋅ (1-P) 60 P(x 3) = 0,4595 45,95% Binominal CD (3.50.50, 10) mind. höchst 65 I 30 0= √n⋅p⋅ (1-P) 0=√100(1-1) = 3,73 b) p=0,2 n = 25; mind. = 4; höchst. = 6 P (4≤ x ≤ 6) = 0,5460 = 54,6% Binominal CD (4,6,25,0.2) mind. höchst. P Anzahl r 70 o=√10.0.6 (1-0,6) ≈ 1,55 0√√20.0,6 (1-0.6) = 2,19 Fig. 2 unterste Grenze So erhält man mit n= 100, p=0.5₁ µ = 50 und σ = 5 z. B. das 20-Intervall P(p-20 ≤ x ≤ µ +20) = P (40 ≤ x ≤ 60) = F100;0.5 (60) - F100;0,5 (39) * 96,48%. blond. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Schulklasse mit 25 Schülern Ein Würfel wird 100-mal geworfen. X zählt die Anzahl der Sechsen. Berechnen Sie Erwartungswert und Standardabweichung von X. Bestimmen Sie das 20-Intervall. Vergleichen Sie die Wahrscheinlichkeit des 20-Intervalls mit dem Näherungswert, den die Sigmaregel liefert. Ein Würfel wird n= 60 mal gerollt. Die Zufallsgröße X zählt die Anzahl der Sechser (Treffer). Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass man 2) mind. 8 und höchstens 12. 1) genau 10. Sechser erhält. 1) genau 10 Treffer: (10) = 13,70% Boo: 1 oberste Grenze GTR Binominal CD (9.24,100,1) 0,9688 = 96,88% = 2) 8 bis 12 Treffer: F60;1 (12) - F₁0 (7) 80,97% -19,58% = 61,386% GTR BinominalCD (60, 12) Binominal CD (60, 1, 7) = 0,6139 GTR BinominalPD (60, 1, 10) = 0,1370 3) mehr als 15 Treffer: 1- P(X ≤15) = 1-F₁0;3 (15) = 1-96,62 %. = 3,38% GTR 1 Binominal CD (60, 15) P(9X24)= 96.88% →Die Sigmaregel besagt, dass 95% der Werte in dem Bereich liegen. Bestimmen Sie Erwartungswert und Standardabweichung der Binominalverteilung mit n= 10 und n=20 für p= 0,6 sowie die Wahrscheinlichkeit des 20-Intervalls. 3) mehr als 15 20-Intervall Pp-20 ≤ x ≤ µ+20) = 95,4% P(6-2-1,55) = 2,19 P(6+21,55) = 9,1 = [3:9] P(12-2-2,19)=7,62 P(12+2-2,19) = 16,38 = [8:16] GTR Binominal CD (3.9, 10, 3) = 0,9871 =98,71% P(3 x 9) 98,17% GTR Binominal CD (8,16,20,²)=0,963 P(8 X ²16) = 96,3% 96,3%