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Mathematik

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6. Dez. 2025

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Stochastik leicht erklärt: Vorbereitung fürs Mathe-Abitur

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Wahrscheinlichkeitsrechnung ist gar nicht so kompliziert, wie es aussieht! Du lernst hier alle wichtigen Formeln und Techniken, die... Mehr anzeigen

Mittelwert berechnen. wenn alle Ergebnisse 1x vorkommen 1. Klausur zur Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiele: wenn Ergebnisse häufiger vorko

Mittelwert und Standardabweichung berechnen

Mittelwert ist einfach der Durchschnitt aller Werte. Wenn jeder Wert nur einmal vorkommt, addierst du alle zusammen und teilst durch die Anzahl xˉ=x1+x2+...+xnn\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}.

Falls Werte mehrmals vorkommen, gewichtest du sie entsprechend xˉ=n1x1+n2x2+...+nkxkn\bar{x} = \frac{n_1x_1 + n_2x_2 + ... + n_kx_k}{n}. So bekommst du ein realistisches Bild deiner Daten.

Die Standardabweichung zeigt dir, wie stark die Werte um den Mittelwert streuen. Die Formel sieht kompliziert aus, aber mit dem GTR ist es ein Kinderspiel σ=n1(x1−xˉ)2+n2(x2−xˉ)2+...+nk(xk−xˉ)2n\sigma = \sqrt{\frac{n_1(x_1-\bar{x})^2 + n_2(x_2-\bar{x})^2 + ... + n_k(x_k-\bar{x})^2}{n}}.

Pro-Tipp Nutze deinen GTR! x-Werte in List 1, n-Werte in List 2 eingeben - das Gerät rechnet alles automatisch aus.

Mittelwert berechnen. wenn alle Ergebnisse 1x vorkommen 1. Klausur zur Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiele: wenn Ergebnisse häufiger vorko

Häufigkeiten und Erwartungswert

Absolute Häufigkeit sagt dir einfach, wie oft etwas passiert ist. Relative Häufigkeit setzt das ins Verhältnis zur Gesamtzahl relative Ha¨ufigkeit=absolute Ha¨ufigkeitAnzahl der Versuche\text{relative Häufigkeit} = \frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Anzahl der Versuche}}.

Der Erwartungswert ist deine beste Vorhersage für das Ergebnis eines Zufallsexperiments. Bei diskreten Werten rechnest du E(X)=∑ixipiE(X) = \sum_{i} x_i p_i - also jeden möglichen Gewinn mal seiner Wahrscheinlichkeit.

Ein Spiel ist fair, wenn der Erwartungswert null ist. Ist er negativ, verlierst du auf Dauer Geld. Je größer die Standardabweichung, desto unzuverlässiger wird deine Vorhersage.

Merkhilfe Bei einem fairen Münzwurf mit Kopf = 2€ und Zahl = 0€ ist der Erwartungswert 1€ - du gewinnst langfristig!

Mittelwert berechnen. wenn alle Ergebnisse 1x vorkommen 1. Klausur zur Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiele: wenn Ergebnisse häufiger vorko

Kombinatorik verstehen

In der Kombinatorik geht es darum, wie viele Möglichkeiten es gibt, Dinge anzuordnen. Die wichtigste Formel ist die Fakultät n!=1⋅2⋅3⋅...⋅nn! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n.

Beim Binomialkoeffizienten (nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} interessiert dich die Reihenfolge nicht. Du wählst einfach k Objekte aus n aus.

Bei Permutationen mit der Formel n!(n−k)!\frac{n!}{(n-k)!} ist die Reihenfolge wichtig. Acht Musiker können sich auf 8!=40.3208! = 40.320 verschiedene Arten hinsetzen!

Eselsbrücke Factorial = Fakultät - denk an eine Fabrik, die alles der Reihe nach abarbeitet!

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Bernoulli-Experimente meistern

Ein Bernoulli-Experiment hat nur zwei Ausgänge Treffer oder Nichttreffer. Die Zauberformel lautet P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}.

Dabei ist k die Anzahl der Treffer, n die Anzahl der Versuche und p die Einzelwahrscheinlichkeit. Beim Würfeln einer Sechs ist p = 1/6, beim Münzwurf p = 0,5.

Mit dem GTR wird's super einfach OPTN → Stat → DIST → BINOMIAL → Bpd eingeben. Dann BinmBpd(k, n, p) und fertig ist deine Wahrscheinlichkeit!

Beispiel Vier Würfe, genau zwei Sechsen P(X=2)=(42)⋅(16)2⋅(56)2=11,57P(X=2) = \binom{4}{2} \cdot (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{5}{6})^2 = 11,57%

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Binomialverteilung mit dem GTR

Der GTR macht Binomialverteilungen zum Kinderspiel! Für mehrere k-Werte gleichzeitig gibst du in List 1 die Werte 0,1,2,3... ein und lässt den Rechner die Wahrscheinlichkeiten berechnen.

Mit STATISTIK → GRAPH → SET kannst du sogar ein Histogramm erstellen. Setze den Startwert auf -0,5, damit die Balken schön mittig über den Zahlen stehen.

Das Histogramm zeigt dir auf einen Blick, welche Ergebnisse am wahrscheinlichsten sind. Bei einer fairen Münze p=0,5p = 0,5 ist die Verteilung symmetrisch.

Visualisierung hilft Ein Histogramm macht abstrakte Wahrscheinlichkeiten greifbar - nutze es!

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Kumulierte Wahrscheinlichkeiten

Kumulierte Wahrscheinlichkeiten fassen mehrere Einzelwahrscheinlichkeiten zusammen. "Höchstens 1 Treffer" bedeutet P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)P(X \leq 1) = P(X=0) + P(X=1).

Für "mindestens 1 Treffer" nutzt du die Gegenwahrscheinlichkeit P(X≥1)=1−P(X≤0)P(X \geq 1) = 1 - P(X \leq 0). Das ist oft viel einfacher zu rechnen!

Mit dem GTR verwendest du BinmBcd für kumulierte Werte. Für Bereiche wie "mehr als 20, weniger als 40" rechnest du P(20<X<40)=P(X≤39)−P(X≤20)P(20 < X < 40) = P(X \leq 39) - P(X \leq 20).

Trick Statt alle Einzelwahrscheinlichkeiten zu addieren, nutze die Gegenwahrscheinlichkeit - spart Zeit und Nerven!

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Binomialverteilung mit Reihenfolge

Manchmal ist die Position wichtig! Wenn die ersten 4 Schüler Linkshänder sein sollen, multiplizierst du einfach 0,340,3^4.

"Nur die ersten 4" bedeutet, dass die anderen 6 Rechtshänder sein müssen 0,34⋅0,760,3^4 \cdot 0,7^6. Für "3 nebeneinander" gibt es 8 verschiedene Positionen, also 8⋅0,33⋅0,778 \cdot 0,3^3 \cdot 0,7^7.

Bei komplexeren Aufgaben kombinierst du feste Positionen mit Binomialverteilung. Die 3. Person ist Linkshänder, die ersten beiden nicht, und von den restlichen 7 sollen mindestens 4 Rechtshänder sein.

Strategie Teile die Aufgabe in feste Positionen und variable Bereiche auf - dann wird's überschaubar!

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n, k und p bestimmen

Manchmal sind n, k oder p gesucht. Für n stellst du die Ungleichung auf und löst mit Logarithmen (56)n≤0,10(\frac{5}{6})^n \leq 0,10 wird zu n≥ln(0,1)ln(56)n \geq \frac{ln(0,1)}{ln(\frac{5}{6})}.

Für k-gesucht nutzt du den GTR mit Tabellen oder grafischen Lösungen. Suche den Wert, der sich von unten der geforderten Wahrscheinlichkeit am meisten nähert.

Bei p-gesucht arbeitest du grafisch f(x) = 1-BinmBcd(0,n,x) und g(x) = gewünschte Wahrscheinlichkeit. Der Schnittpunkt ist deine Lösung.

GTR-Tipp Tabellen sind sicherer als grafische Lösungen - weniger Ablesefehler!

Mittelwert berechnen. wenn alle Ergebnisse 1x vorkommen 1. Klausur zur Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiele: wenn Ergebnisse häufiger vorko

Erwartungswert, Standardabweichung und Sigma-Regeln

Bei Binomialverteilungen gibt es Abkürzungen! Erwartungswert μ=np\mu = np, Standardabweichung σ=np(1−p)\sigma = \sqrt{np(1-p)}. Viel einfacher als die langen Formeln!

Histogramme haben ihr Maximum nahe dem Erwartungswert. Je größer p, desto weiter rechts liegt es. Bei p = 0,5 ist die Verteilung perfekt symmetrisch.

Die Sigma-Regeln geben dir schnelle Orientierung 68% aller Werte liegen im 1σ-Bereich, 95,5% im 2σ-Bereich und 99,7% im 3σ-Bereich um den Erwartungswert.

Faustregel Die Sigma-Regeln helfen dir, unrealistische Ergebnisse sofort zu erkennen!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Bei Permutationen mit der Formel n!(n−k)!\frac{n!}{(n-k)!} ist die Reihenfolge wichtig. Acht Musiker können sich auf 8!=40.3208! = 40.320 verschiedene Arten hinsetzen!

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Bernoulli-Experimente meistern

Ein Bernoulli-Experiment hat nur zwei Ausgänge: Treffer oder Nichttreffer. Die Zauberformel lautet: P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}.

Dabei ist k die Anzahl der Treffer, n die Anzahl der Versuche und p die Einzelwahrscheinlichkeit. Beim Würfeln einer Sechs ist p = 1/6, beim Münzwurf p = 0,5.

Mit dem GTR wird's super einfach: OPTN → Stat → DIST → BINOMIAL → Bpd eingeben. Dann BinmBpd(k, n, p) und fertig ist deine Wahrscheinlichkeit!

Beispiel: Vier Würfe, genau zwei Sechsen: P(X=2)=(42)⋅(16)2⋅(56)2=11,57P(X=2) = \binom{4}{2} \cdot (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{5}{6})^2 = 11,57%

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Binomialverteilung mit dem GTR

Der GTR macht Binomialverteilungen zum Kinderspiel! Für mehrere k-Werte gleichzeitig gibst du in List 1 die Werte 0,1,2,3... ein und lässt den Rechner die Wahrscheinlichkeiten berechnen.

Mit STATISTIK → GRAPH → SET kannst du sogar ein Histogramm erstellen. Setze den Startwert auf -0,5, damit die Balken schön mittig über den Zahlen stehen.

Das Histogramm zeigt dir auf einen Blick, welche Ergebnisse am wahrscheinlichsten sind. Bei einer fairen Münze p=0,5p = 0,5 ist die Verteilung symmetrisch.

Visualisierung hilft: Ein Histogramm macht abstrakte Wahrscheinlichkeiten greifbar - nutze es!

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Kumulierte Wahrscheinlichkeiten

Kumulierte Wahrscheinlichkeiten fassen mehrere Einzelwahrscheinlichkeiten zusammen. "Höchstens 1 Treffer" bedeutet: P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)P(X \leq 1) = P(X=0) + P(X=1).

Für "mindestens 1 Treffer" nutzt du die Gegenwahrscheinlichkeit: P(X≥1)=1−P(X≤0)P(X \geq 1) = 1 - P(X \leq 0). Das ist oft viel einfacher zu rechnen!

Mit dem GTR verwendest du BinmBcd für kumulierte Werte. Für Bereiche wie "mehr als 20, weniger als 40" rechnest du: P(20<X<40)=P(X≤39)−P(X≤20)P(20 < X < 40) = P(X \leq 39) - P(X \leq 20).

Trick: Statt alle Einzelwahrscheinlichkeiten zu addieren, nutze die Gegenwahrscheinlichkeit - spart Zeit und Nerven!

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Binomialverteilung mit Reihenfolge

Manchmal ist die Position wichtig! Wenn die ersten 4 Schüler Linkshänder sein sollen, multiplizierst du einfach: 0,340,3^4.

"Nur die ersten 4" bedeutet, dass die anderen 6 Rechtshänder sein müssen: 0,34⋅0,760,3^4 \cdot 0,7^6. Für "3 nebeneinander" gibt es 8 verschiedene Positionen, also 8⋅0,33⋅0,778 \cdot 0,3^3 \cdot 0,7^7.

Bei komplexeren Aufgaben kombinierst du feste Positionen mit Binomialverteilung. Die 3. Person ist Linkshänder, die ersten beiden nicht, und von den restlichen 7 sollen mindestens 4 Rechtshänder sein.

Strategie: Teile die Aufgabe in feste Positionen und variable Bereiche auf - dann wird's überschaubar!

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n, k und p bestimmen

Manchmal sind n, k oder p gesucht. Für n stellst du die Ungleichung auf und löst mit Logarithmen: (56)n≤0,10(\frac{5}{6})^n \leq 0,10 wird zu n≥ln(0,1)ln(56)n \geq \frac{ln(0,1)}{ln(\frac{5}{6})}.

Für k-gesucht nutzt du den GTR mit Tabellen oder grafischen Lösungen. Suche den Wert, der sich von unten der geforderten Wahrscheinlichkeit am meisten nähert.

Bei p-gesucht arbeitest du grafisch: f(x) = 1-BinmBcd(0,n,x) und g(x) = gewünschte Wahrscheinlichkeit. Der Schnittpunkt ist deine Lösung.

GTR-Tipp: Tabellen sind sicherer als grafische Lösungen - weniger Ablesefehler!

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Erwartungswert, Standardabweichung und Sigma-Regeln

Bei Binomialverteilungen gibt es Abkürzungen! Erwartungswert: μ=np\mu = np, Standardabweichung: σ=np(1−p)\sigma = \sqrt{np(1-p)}. Viel einfacher als die langen Formeln!

Histogramme haben ihr Maximum nahe dem Erwartungswert. Je größer p, desto weiter rechts liegt es. Bei p = 0,5 ist die Verteilung perfekt symmetrisch.

Die Sigma-Regeln geben dir schnelle Orientierung: 68% aller Werte liegen im 1σ-Bereich, 95,5% im 2σ-Bereich und 99,7% im 3σ-Bereich um den Erwartungswert.

Faustregel: Die Sigma-Regeln helfen dir, unrealistische Ergebnisse sofort zu erkennen!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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