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Mathe

6. Dez. 2025

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Mathe LK Vorabitur: Vektorgeometrie und Stochastik – 13 Punkte Q2.2

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Nils Rosenberger @nils_rosenberger

Hier ist deine Zusammenfassung der Vorabitur-Klausur in Mathematik! Diese Klausur deckt die wichtigsten Themen ab, die du für... Mehr anzeigen

Name:
Nils Rosenberger
Q2 ML1-WEBE
Vorabiturklausur
21.2.2024
Hilfsmittelfreier Teil (30 Punkte)
Aufgabe 1 (Pflichtaufgaben) Bearbeite alle

Binomialverteilung - Grundlagen und Berechnungen

Stell dir vor, du testest eine neue Mandarinensorte und willst wissen, wie viele Früchte Kerne haben werden. Genau dafür brauchst du die Binomialverteilung! Bei einer Wahrscheinlichkeit von nur 10% für Kerne in 100 Mandarinen rechnest du so Erwartungswert μ = n·p = 100·0,1 = 10 und Standardabweichung σ = √np(1p)n·p·(1-p) = √9 = 3.

Der Term (1004)0,140,996\binom{100}{4} \cdot 0,1^4 \cdot 0,9^{96} beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass genau 4 von 100 Mandarinen Kerne haben. Das ist die klassische Binomialformel in Aktion.

Merktipp Bei der Binomialverteilung beschreibt der Binomialkoeffizient immer "auf wie viele Arten" ein Ereignis eintreten kann!

Um zu zeigen, dass fast alle Mandarinen kernlos sind, betrachtest du das Gegenereignis P(alle haben Kerne) = 0,11000,1^{100} ≈ 0, also ist P(mindestens eine kernlos) ≈ 1.

Name:
Nils Rosenberger
Q2 ML1-WEBE
Vorabiturklausur
21.2.2024
Hilfsmittelfreier Teil (30 Punkte)
Aufgabe 1 (Pflichtaufgaben) Bearbeite alle

Binomialverteilung - Aussagen prüfen und Geometrie-Basics

Bei einer Binomialverteilung mit n=4 und p=0,2 musst du verschiedene Aussagen auf ihre Richtigkeit prüfen. Der Erwartungswert ist μ = 0,8 und die Standardabweichung σ = 0,8 - sie sind also gleich groß! Die Binomialformel P(X=k)=(nk)pk(1p)nkP(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} wendest du immer korrekt an.

In der analytischen Geometrie arbeitest du mit Geradenscharen und Ebenen. Eine Gerade verläuft senkrecht zu einer Ebene, wenn ihr Richtungsvektor parallel zum Normalenvektor der Ebene ist. Das erreichst du durch das Kreuzprodukt der Spannvektoren der Ebene.

Praxistipp Bei Koordinatenform einer Ebene multiplizierst du einfach den Normalenvektor mit dem Ortsvektor und setzt einen Punkt ein!

Die Parameterform x=a+ru+sv\vec{x} = \vec{a} + r\vec{u} + s\vec{v} lässt sich immer in die Normalenform umwandeln, indem du den Normalenvektor über das Kreuzprodukt berechnest.

Name:
Nils Rosenberger
Q2 ML1-WEBE
Vorabiturklausur
21.2.2024
Hilfsmittelfreier Teil (30 Punkte)
Aufgabe 1 (Pflichtaufgaben) Bearbeite alle

Vektoren und Rechtecke/Quadrate

Du kannst mit Vektoren geometrische Formen wie Rechtecke und Quadrate konstruieren! Zwei Vektoren spannen ein Rechteck auf, wenn sie senkrecht zueinander stehen - das prüfst du mit dem Skalarprodukt uv=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0.

Für ein Quadrat müssen die Vektoren zusätzlich gleich lang sein u=v|\vec{u}| = |\vec{v}|. Bei gegebenem v=(2 1)\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \ 1 \end{pmatrix} berechnest du zuerst die Orthogonalitätsbedingung und dann die Längenbedingung.

Lösungsstrategie Erst Skalarprodukt = 0 setzen, dann Beträge gleichsetzen - so findest du alle möglichen Parameterwerte!

Das Schöne an dieser Methode Du kannst systematisch alle geometrischen Beziehungen zwischen Vektoren algebraisch lösen.

Name:
Nils Rosenberger
Q2 ML1-WEBE
Vorabiturklausur
21.2.2024
Hilfsmittelfreier Teil (30 Punkte)
Aufgabe 1 (Pflichtaufgaben) Bearbeite alle

Wahlaufgaben Würfelspiele und Urnen-Experimente

Beim Würfelspiel mit drei Würfen zahlst du 0,50€ Einsatz und bekommst für jede 6 einen Euro. Die Wahrscheinlichkeiten berechnest du über die Binomialverteilung mit n=3 und p=1/6. Für den fairen Spielpreis brauchst du den Erwartungswert der Auszahlung.

Das Urnenmodell wird richtig spannend Je nach Farbe der ersten Kugel ziehst du aus verschiedenen Urnen weiter. Solche bedingten Wahrscheinlichkeiten löst du am besten mit einem Baumdiagramm und der Pfadregeln.

Strategietipp Bei Urnenaufgaben immer erst das Baumdiagramm zeichnen - dann siehst du alle Pfade auf einen Blick!

Die Wahrscheinlichkeit 0,7 für "genau eine schwarze Kugel" berechnest du über alle möglichen Pfade, die zu diesem Ergebnis führen.

Name:
Nils Rosenberger
Q2 ML1-WEBE
Vorabiturklausur
21.2.2024
Hilfsmittelfreier Teil (30 Punkte)
Aufgabe 1 (Pflichtaufgaben) Bearbeite alle

Stetige Verteilungen und Normalverteilung

Dichtefunktionen sind das Herzstück der stetigen Wahrscheinlichkeitsrechnung! Eine Funktion ist eine Dichtefunktion, wenn sie überall ≥ 0 ist und das Integral über den gesamten Bereich gleich 1 ergibt. Bei deiner Funktion f(x)=0,75x2+0,75xf(x) = -0,75x^2 + 0,75x prüfst du beide Bedingungen durch Integration.

Wahrscheinlichkeiten berechnest du als Flächeninhalte unter der Kurve P(0X0,5)=00,5f(x)dxP(0 ≤ X ≤ 0,5) = \int_0^{0,5} f(x)dx. Das Ergebnis ist 3/8 = 0,375.

Wichtiger Punkt Dichtefunktionen können durchaus Werte > 1 annehmen - nur Wahrscheinlichkeiten müssen zwischen 0 und 1 liegen!

Bei der Normalverteilung erkennst du den Erwartungswert an der Symmetrieachse der Glockenkurve. Verschiedene Normalverteilungen vergleichst du über ihre Standardisierung.

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Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Jana V

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Binomialverteilung - Grundlagen und Berechnungen

Stell dir vor, du testest eine neue Mandarinensorte und willst wissen, wie viele Früchte Kerne haben werden. Genau dafür brauchst du die Binomialverteilung! Bei einer Wahrscheinlichkeit von nur 10% für Kerne in 100 Mandarinen rechnest du so: Erwartungswert μ = n·p = 100·0,1 = 10 und Standardabweichung σ = √np(1p)n·p·(1-p) = √9 = 3.

Der Term (1004)0,140,996\binom{100}{4} \cdot 0,1^4 \cdot 0,9^{96} beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass genau 4 von 100 Mandarinen Kerne haben. Das ist die klassische Binomialformel in Aktion.

Merktipp: Bei der Binomialverteilung beschreibt der Binomialkoeffizient immer "auf wie viele Arten" ein Ereignis eintreten kann!

Um zu zeigen, dass fast alle Mandarinen kernlos sind, betrachtest du das Gegenereignis: P(alle haben Kerne) = 0,11000,1^{100} ≈ 0, also ist P(mindestens eine kernlos) ≈ 1.

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Bei einer Binomialverteilung mit n=4 und p=0,2 musst du verschiedene Aussagen auf ihre Richtigkeit prüfen. Der Erwartungswert ist μ = 0,8 und die Standardabweichung σ = 0,8 - sie sind also gleich groß! Die Binomialformel P(X=k)=(nk)pk(1p)nkP(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} wendest du immer korrekt an.

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Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user