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Mathe

30. Nov. 2025

1.745

4 Seiten

Stochastik - Wichtige Themen für das Mathe Abitur LK

M

Merle Riemer @studywithme._

Bernoulli-Experimente und Binomialverteilungen sind überall um uns herum - vom Münzwurf bis zu Umfragen. Diese mathematischen Konzepte helfen... Mehr anzeigen

Bernoulli und Binomialverteilung
Lwahrscheinlichkeit
Bernoulli Kette.
1 Reihe von Bernoulli Experimenten
2 Ein Versuch bei dem nur zwei Ausg

Bernoulli-Ketten und Binomialverteilung

Stell dir vor, du wirfst eine Münze mehrmals hintereinander - genau das ist eine Bernoulli-Kette! Es handelt sich um eine Reihe von Experimenten, bei denen nur zwei Ausgänge möglich sind (wie Kopf oder Zahl).

Die Binomialverteilung berechnet die Wahrscheinlichkeit für k Erfolge bei n Versuchen mit der Formel P(X=k)=(nk)pk(1p)nkP(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}. Dein GTR macht das Leben einfacher binompdf(n; p; k) für P(X=k)P(X=k) und binomcdf(n; p; k) für P(Xk)P(X \leq k).

Ein praktisches Beispiel 4% der Männer haben eine Rot-Grün-Schwäche. Wie groß muss eine Gruppe sein, damit mit 90% Wahrscheinlichkeit mindestens einer betroffen ist? Du berechnest P(X1)0,9P(X \geq 1) \approx 0,9, was bedeutet P(X=0)0,1P(X=0) \approx 0,1.

💡 Merktipp Der Binomialkoeffizient (nk)\binom{n}{k} zeigt dir, auf wie viele Arten du k Objekte aus n auswählen kannst - super nützlich für Kombinationen!

Bernoulli und Binomialverteilung
Lwahrscheinlichkeit
Bernoulli Kette.
1 Reihe von Bernoulli Experimenten
2 Ein Versuch bei dem nur zwei Ausg

Wahrscheinlichkeiten berechnen und Kennwerte

Manchmal brauchst du zusammengesetzte Wahrscheinlichkeiten. Für P(X1)P(X \geq 1) rechnest du alle Einzelwahrscheinlichkeiten zusammen, für P(X1)P(X \leq 1) nutzt du das Gegenereignis 1P(X2)1 - P(X \geq 2).

Der Erwartungswert μ=np\mu = np sagt dir, was du im Durchschnitt erwarten kannst. Die Standardabweichung σ=np(1p)\sigma = \sqrt{np(1-p)} zeigt, wie stark die Werte um den Durchschnitt schwanken.

Die Sigma-Regeln sind echte Lebensretter 68,3% aller Werte liegen innerhalb von μ±σ\mu \pm \sigma, 95,5% innerhalb von μ±2σ\mu \pm 2\sigma und 99,7% innerhalb von μ±3σ\mu \pm 3\sigma. Für "glatte" Prozente gibt's spezielle Faktoren wie 1,96 für 95%.

💡 Praxistipp Die Sigma-Regeln helfen dir schnell einzuschätzen, ob ein Ergebnis normal oder außergewöhnlich ist - perfekt für Klausuren!

Bernoulli und Binomialverteilung
Lwahrscheinlichkeit
Bernoulli Kette.
1 Reihe von Bernoulli Experimenten
2 Ein Versuch bei dem nur zwei Ausg

Hypothesentests und Signifikanz

Hypothesentests helfen dir zu entscheiden, ob eine Behauptung stimmt oder nicht. Du stellst eine Nullhypothese H₀ (die du testen willst) einer Alternativhypothese H₁ (deine Vermutung) gegenüber.

Bei einem zweiseitigen Test prüfst du, ob sich etwas von einem bestimmten Wert unterscheidet H0p=0,5vs.H1p0,5H₀ p = 0,5 vs. H₁ p ≠ 0,5. Das Signifikanzniveau α (meist 5%) bestimmt deine Fehlertoleranz.

Der Test teilt deine Ergebnisse in Annahme- und Ablehnungsbereich auf. Zwei Fehlerarten können auftreten Fehler 1. Art (H₀ fälschlich verworfen) und Fehler 2. Art (H₀ fälschlich beibehalten).

💡 Eselsbrücke Denk an einen Gerichtsprozess - H₀ ist "unschuldig", H₁ ist "schuldig". Ein Fehler 1. Art verurteilt einen Unschuldigen!

Bernoulli und Binomialverteilung
Lwahrscheinlichkeit
Bernoulli Kette.
1 Reihe von Bernoulli Experimenten
2 Ein Versuch bei dem nur zwei Ausg

Faire Spiele und Normalverteilung

Ein faires Spiel liegt vor, wenn dein erwarteter Gewinn null ist. Beim Glücksrad-Beispiel berechnest du alle Gewinne und Verluste mit ihren Wahrscheinlichkeiten. Ist das Ergebnis negativ, verlierst du langfristig Geld.

Um Fairness zu erreichen, passt du den Einsatz oder Gewinn entsprechend an. Das Spiel wird fair, wenn der erwartete Gewinn genau null beträgt.

Die Normalverteilung ist die "Königin" aller Verteilungen - fast alle Mittelwerte folgen ihr! Die Dichtefunktion hat ihre typische Glockenform mit Maximum bei μ. Dein GTR unterstützt dich mit normcdf und normpdf.

💡 Realitätsbezug Körpergrößen, IQ-Werte, Messfehler - die Normalverteilung begegnet dir überall im Leben und bildet die Grundlage für viele statistische Analysen!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Bernoulli-Ketten und Binomialverteilung

Stell dir vor, du wirfst eine Münze mehrmals hintereinander - genau das ist eine Bernoulli-Kette! Es handelt sich um eine Reihe von Experimenten, bei denen nur zwei Ausgänge möglich sind (wie Kopf oder Zahl).

Die Binomialverteilung berechnet die Wahrscheinlichkeit für k Erfolge bei n Versuchen mit der Formel: P(X=k)=(nk)pk(1p)nkP(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}. Dein GTR macht das Leben einfacher: binompdf(n; p; k) für P(X=k)P(X=k) und binomcdf(n; p; k) für P(Xk)P(X \leq k).

Ein praktisches Beispiel: 4% der Männer haben eine Rot-Grün-Schwäche. Wie groß muss eine Gruppe sein, damit mit 90% Wahrscheinlichkeit mindestens einer betroffen ist? Du berechnest P(X1)0,9P(X \geq 1) \approx 0,9, was bedeutet P(X=0)0,1P(X=0) \approx 0,1.

💡 Merktipp: Der Binomialkoeffizient (nk)\binom{n}{k} zeigt dir, auf wie viele Arten du k Objekte aus n auswählen kannst - super nützlich für Kombinationen!

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Wahrscheinlichkeiten berechnen und Kennwerte

Manchmal brauchst du zusammengesetzte Wahrscheinlichkeiten. Für P(X1)P(X \geq 1) rechnest du alle Einzelwahrscheinlichkeiten zusammen, für P(X1)P(X \leq 1) nutzt du das Gegenereignis: 1P(X2)1 - P(X \geq 2).

Der Erwartungswert μ=np\mu = np sagt dir, was du im Durchschnitt erwarten kannst. Die Standardabweichung σ=np(1p)\sigma = \sqrt{np(1-p)} zeigt, wie stark die Werte um den Durchschnitt schwanken.

Die Sigma-Regeln sind echte Lebensretter: 68,3% aller Werte liegen innerhalb von μ±σ\mu \pm \sigma, 95,5% innerhalb von μ±2σ\mu \pm 2\sigma und 99,7% innerhalb von μ±3σ\mu \pm 3\sigma. Für "glatte" Prozente gibt's spezielle Faktoren wie 1,96 für 95%.

💡 Praxistipp: Die Sigma-Regeln helfen dir schnell einzuschätzen, ob ein Ergebnis normal oder außergewöhnlich ist - perfekt für Klausuren!

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Hypothesentests helfen dir zu entscheiden, ob eine Behauptung stimmt oder nicht. Du stellst eine Nullhypothese H₀ (die du testen willst) einer Alternativhypothese H₁ (deine Vermutung) gegenüber.

Bei einem zweiseitigen Test prüfst du, ob sich etwas von einem bestimmten Wert unterscheidet H0:p=0,5vs.H1:p0,5H₀: p = 0,5 vs. H₁: p ≠ 0,5. Das Signifikanzniveau α (meist 5%) bestimmt deine Fehlertoleranz.

Der Test teilt deine Ergebnisse in Annahme- und Ablehnungsbereich auf. Zwei Fehlerarten können auftreten: Fehler 1. Art (H₀ fälschlich verworfen) und Fehler 2. Art (H₀ fälschlich beibehalten).

💡 Eselsbrücke: Denk an einen Gerichtsprozess - H₀ ist "unschuldig", H₁ ist "schuldig". Ein Fehler 1. Art verurteilt einen Unschuldigen!

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Faire Spiele und Normalverteilung

Ein faires Spiel liegt vor, wenn dein erwarteter Gewinn null ist. Beim Glücksrad-Beispiel berechnest du alle Gewinne und Verluste mit ihren Wahrscheinlichkeiten. Ist das Ergebnis negativ, verlierst du langfristig Geld.

Um Fairness zu erreichen, passt du den Einsatz oder Gewinn entsprechend an. Das Spiel wird fair, wenn der erwartete Gewinn genau null beträgt.

Die Normalverteilung ist die "Königin" aller Verteilungen - fast alle Mittelwerte folgen ihr! Die Dichtefunktion hat ihre typische Glockenform mit Maximum bei μ. Dein GTR unterstützt dich mit normcdf und normpdf.

💡 Realitätsbezug: Körpergrößen, IQ-Werte, Messfehler - die Normalverteilung begegnet dir überall im Leben und bildet die Grundlage für viele statistische Analysen!

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Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

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Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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