Histogramm und Binomialverteilung: Einfach erklärt!

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Priscilla

12.5.2022

Mathe

Sigma Regel

Fächer

Mathe

Stochastik

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Standardnormalverteilung

Histogramm und Binomialverteilung: Einfach erklärt!

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Die Binomialverteilung und deren Visualisierung durch Histogramme sind zentrale Konzepte der Stochastik, die durch Sigma-Regeln präzise beschrieben werden können.

• Die Sigma-Regeln definieren Wahrscheinlichkeitsbereiche um den Erwartungswert: 68,3% (1σ), 95,4% (2σ) und 99,7% (3σ)

• Die Zufallsgröße wird durch Erwartungswert μ und Standardabweichung σ charakterisiert

• Praktische Anwendungen umfassen Würfelexperimente und statistische Erhebungen

• Das systematische Vorgehen erfolgt in fünf Schritten: Werte angeben, Regeln auswählen, Kenngrößen berechnen, Formeln anwenden und Ergebnisse visualisieren

...

12.5.2022

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Reinfolge
1. Angeben der Werte (n, und p)
2. Überlege welche Regeln man benötigt
3. Erwartungswert und Standardabweichung berechnen
4. In di

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Praktische Anwendung der Sigma-Regeln

Die Anwendung der Sigma-Regeln wird anhand eines konkreten Beispiels demonstriert. Hier geht es um die Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass Schüler mit dem Bus zur Schule kommen.

Example: In einem Gymnasium mit 1100 Schülern fahren durchschnittlich 40% mit dem Bus. Gesucht ist ein symmetrisches Intervall um den Erwartungswert, in dem die Zufallsgröße X $Anzahl der Busfahrer an einem Tag$ mit etwa 95% Wahrscheinlichkeit liegt.

Schrittweise Lösung:

Erwartungswert berechnen: μ = 1100 * 0,4 = 440
Standardabweichung berechnen: σ = √ $1100 * 0,4 * 0,6$ ≈ 16,25
Anwendung der 2σ-Regel $95,4%$ : $440 - 1,96 * 16,25; 440 + 1,96 * 16,25$
Ergebnis: $409; 471$ $nach innen gerundet$

Highlight: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95,5% kommen zwischen 409 und 471 Schüler an diesem Tag mit dem Bus.

Diese Berechnung zeigt, wie die Sigma-Regeln in der Praxis angewendet werden, um präzise Vorhersagen über binomialverteilte Zufallsgrößen zu treffen.

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Übungsaufgaben zur Binomialverteilung

Um das Verständnis für die Binomialverteilung und die Anwendung der Sigma-Regeln zu vertiefen, werden Übungsaufgaben präsentiert. Diese Aufgaben helfen, die theoretischen Konzepte in die Praxis umzusetzen.

Example: Mit einem Würfel wird 200-mal gewürfelt. X sei die Anzahl der gewürfelten geraden Zahlen. Gesucht ist ein Intervall, in dem ca. 68,3% aller Werte von X liegen.

Lösungsansatz:

Identifizierung der relevanten Sigma-Regel $hier: Erste-Sigma-Regel$
Berechnung des Erwartungswerts: μ = 200 * 3/6 = 100
Berechnung der Standardabweichung: σ = √ $200 * 3/6 * 3/6$ ≈ 7,07
Anwendung der Formel: $μ - σ; μ + σ$ = $100 - 7,07; 100 + 7,07$ = $92,93; 107,07$

Highlight: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 68,3% würfelt man bei 200 Würfen zwischen 93 und 107 gerade Zahlen.

Diese Übung demonstriert, wie man die Sigma-Regeln praktisch anwendet, um Wahrscheinlichkeitsaussagen über binomialverteilte Zufallsgrößen zu treffen und diese im Histogramm zu interpretieren.

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Visualisierung der Binomialverteilung

Die grafische Darstellung der Binomialverteilung in Form eines Histogramms ist ein wichtiges Werkzeug für die Interpretation und Analyse von Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Definition: Ein Histogramm ist eine grafische Darstellung der Häufigkeitsverteilung kardinal skalierter Merkmale.

Bei der Binomialverteilung zeigt das Histogramm typischerweise eine glockenförmige Kurve, die symmetrisch um den Erwartungswert verteilt ist.

Highlight: Die Form des Histogramms gibt Aufschluss über die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße.

Wichtige Aspekte bei der Interpretation:

Die höchste Säule entspricht dem Erwartungswert μ.
Die Breite der Verteilung wird durch die Standardabweichung σ bestimmt.
Die Sigma-Regeln lassen sich direkt im Histogramm ablesen.

Example: Im Histogramm der Würfelaufgabe sieht man deutlich, dass die meisten Werte um den Erwartungswert von 100 konzentriert sind, mit abnehmender Wahrscheinlichkeit für Werte, die weiter vom Zentrum entfernt liegen.

Die Fähigkeit, Histogramme zu erstellen und zu interpretieren, ist entscheidend für das Verständnis und die Anwendung der Binomialverteilung in praktischen Situationen.

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Praktische Übungsaufgabe mit Würfelexperiment

Die fünfte Seite demonstriert die vollständige Lösung einer Übungsaufgabe zur Binomialverteilung.

Example: Bei 200 Würfen liegt die Anzahl der geraden Zahlen mit 68% Wahrscheinlichkeit zwischen 93 und 107.

Highlight: Die präzise Berechnung von Erwartungswert $μ=100$ und Standardabweichung $σ≈7,07$ ermöglicht eine exakte Intervallbestimmung.

Definition: Das resultierende Histogramm zeigt die charakteristische Glockenform der Binomialverteilung.

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12. Mai 2022

•

5 Seiten

Histogramm und Binomialverteilung: Einfach erklärt!

Priscilla

@priscillamireku_dgqa

Die Binomialverteilung und deren Visualisierung durch Histogramme sind zentrale Konzepte der Stochastik, die durch Sigma-Regeln präzise beschrieben werden können.

• Die Sigma-Regeln definieren Wahrscheinlichkeitsbereiche um den Erwartungswert: 68,3% (1σ), 95,4% (2σ) und 99,7% (3σ)

• Die Zufallsgrößewird durch Erwartungswert... Mehr anzeigen

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Praktische Anwendung der Sigma-Regeln

Die Anwendung der Sigma-Regeln wird anhand eines konkreten Beispiels demonstriert. Hier geht es um die Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass Schüler mit dem Bus zur Schule kommen.

Example: In einem Gymnasium mit 1100 Schülern fahren durchschnittlich 40% mit dem Bus. Gesucht ist ein symmetrisches Intervall um den Erwartungswert, in dem die Zufallsgröße X $Anzahl der Busfahrer an einem Tag$ mit etwa 95% Wahrscheinlichkeit liegt.

Schrittweise Lösung:

Erwartungswert berechnen: μ = 1100 * 0,4 = 440
Standardabweichung berechnen: σ = √ $1100 * 0,4 * 0,6$ ≈ 16,25
Anwendung der 2σ-Regel $95,4%$ : $440 - 1,96 * 16,25; 440 + 1,96 * 16,25$
Ergebnis: $409; 471$ $nach innen gerundet$

Highlight: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95,5% kommen zwischen 409 und 471 Schüler an diesem Tag mit dem Bus.

Diese Berechnung zeigt, wie die Sigma-Regeln in der Praxis angewendet werden, um präzise Vorhersagen über binomialverteilte Zufallsgrößen zu treffen.

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Übungsaufgaben zur Binomialverteilung

Example: Mit einem Würfel wird 200-mal gewürfelt. X sei die Anzahl der gewürfelten geraden Zahlen. Gesucht ist ein Intervall, in dem ca. 68,3% aller Werte von X liegen.

Lösungsansatz:

Identifizierung der relevanten Sigma-Regel $hier: Erste-Sigma-Regel$
Berechnung des Erwartungswerts: μ = 200 * 3/6 = 100
Berechnung der Standardabweichung: σ = √ $200 * 3/6 * 3/6$ ≈ 7,07
Anwendung der Formel: $μ - σ; μ + σ$ = $100 - 7,07; 100 + 7,07$ = $92,93; 107,07$

Highlight: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 68,3% würfelt man bei 200 Würfen zwischen 93 und 107 gerade Zahlen.

Diese Übung demonstriert, wie man die Sigma-Regeln praktisch anwendet, um Wahrscheinlichkeitsaussagen über binomialverteilte Zufallsgrößen zu treffen und diese im Histogramm zu interpretieren.

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Visualisierung der Binomialverteilung

Die grafische Darstellung der Binomialverteilung in Form eines Histogramms ist ein wichtiges Werkzeug für die Interpretation und Analyse von Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Definition: Ein Histogramm ist eine grafische Darstellung der Häufigkeitsverteilung kardinal skalierter Merkmale.

Bei der Binomialverteilung zeigt das Histogramm typischerweise eine glockenförmige Kurve, die symmetrisch um den Erwartungswert verteilt ist.

Highlight: Die Form des Histogramms gibt Aufschluss über die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße.

Wichtige Aspekte bei der Interpretation:

Die höchste Säule entspricht dem Erwartungswert μ.
Die Breite der Verteilung wird durch die Standardabweichung σ bestimmt.
Die Sigma-Regeln lassen sich direkt im Histogramm ablesen.

Example: Im Histogramm der Würfelaufgabe sieht man deutlich, dass die meisten Werte um den Erwartungswert von 100 konzentriert sind, mit abnehmender Wahrscheinlichkeit für Werte, die weiter vom Zentrum entfernt liegen.

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Praktische Übungsaufgabe mit Würfelexperiment

Die fünfte Seite demonstriert die vollständige Lösung einer Übungsaufgabe zur Binomialverteilung.

Example: Bei 200 Würfen liegt die Anzahl der geraden Zahlen mit 68% Wahrscheinlichkeit zwischen 93 und 107.

Highlight: Die präzise Berechnung von Erwartungswert $μ=100$ und Standardabweichung $σ≈7,07$ ermöglicht eine exakte Intervallbestimmung.

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Sigma-Regeln und ihre Anwendung

Die Sigma-Regeln sind ein fundamentales Werkzeug zur Interpretation von Histogrammen bei der Binomialverteilung. Sie ermöglichen es, präzise Aussagen über die Wahrscheinlichkeit bestimmter Ereignisse zu treffen.

Definition: Die Sigma-Regeln beschreiben die Wahrscheinlichkeit, mit der eine Zufallsgröße innerhalb bestimmter Intervalle um den Erwartungswert liegt.

Die drei Hauptregeln lauten:

Erste-Sigma-Regel: P $μ-σ < X < μ+σ$ ≈ 68,3%
Zweite-Sigma-Regel: P $μ-2σ < X < μ+2σ$ ≈ 95,4%
Dritte-Sigma-Regel: P $μ-3σ < X < μ+3σ$ ≈ 99,7%

Highlight: Diese Regeln sind essentiell für die Interpretation von Histogrammen und die Analyse von Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Zusätzlich gibt es weitere nützliche Regeln:

P $μ-1,64σ < X < μ+1,64σ$ ≈ 90%
P $μ-1,96σ < X < μ+1,96σ$ ≈ 95%
P $μ-2,58σ < X < μ+2,58σ$ ≈ 99%

Um diese Regeln anzuwenden, folgt man einer bestimmten Reihenfolge:

Werte $n und p$ angeben
Benötigte Regeln auswählen
Erwartungswert und Standardabweichung berechnen
Werte in die Formel einsetzen
Lösung im Histogramm darstellen

Example: Bei 200 Würfelwürfen und der Zählung von Einsen liegt die Trefferzahl mit 99,7% Wahrscheinlichkeit zwischen 18 und 49.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Stefan S

iOS user

Samantha Klich

Android user

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Lena M

Android user

Timo S

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Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Julia S

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Marcus B

iOS user

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

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