Fächer

Mathe

Stochastik

Stetige wahrscheinlichkeitsverteilungen

Standardnormalverteilung

Wie du ein Histogramm zur Binomialverteilung erstellst und interpretierst

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Öffnen

Wie du ein Histogramm zur Binomialverteilung erstellst und interpretierst

Priscilla

@priscillamireku_dgqa

7 Follower

Die Binomialverteilung und ihre Darstellung im Histogramm sind zentrale Konzepte der Stochastik. Diese Zusammenfassung erläutert die Sigma-Regeln, ihre Anwendung und die Interpretation von Histogrammen anhand von Beispielen.

Die Sigma-Regeln ermöglichen präzise Wahrscheinlichkeitsaussagen für binomialverteilte Zufallsgrößen.
Erwartungswert und Standardabweichung sind Schlüsselgrößen für die Anwendung der Sigma-Regeln.
Histogramme visualisieren die Wahrscheinlichkeitsverteilung und erleichtern die Interpretation.

12.5.2022

1187

Reinfolge
1. Angeben der Werte (n, und p)
2. Überlege welche Regeln man benötigt
3. Erwartungswert und Standardabweichung berechnen
4. In di

Öffnen

Sigma-Regeln und ihre Anwendung

Die Sigma-Regeln sind ein fundamentales Werkzeug zur Interpretation von Histogrammen bei der Binomialverteilung. Sie ermöglichen es, präzise Aussagen über die Wahrscheinlichkeit bestimmter Ereignisse zu treffen.

Definition: Die Sigma-Regeln beschreiben die Wahrscheinlichkeit, mit der eine Zufallsgröße innerhalb bestimmter Intervalle um den Erwartungswert liegt.

Die drei Hauptregeln lauten:

Erste-Sigma-Regel: P(μ-σ < X < μ+σ) ≈ 68,3%
Zweite-Sigma-Regel: P(μ-2σ < X < μ+2σ) ≈ 95,4%
Dritte-Sigma-Regel: P(μ-3σ < X < μ+3σ) ≈ 99,7%

Highlight: Diese Regeln sind essentiell für die Interpretation von Histogrammen und die Analyse von Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Zusätzlich gibt es weitere nützliche Regeln:

P(μ-1,64σ < X < μ+1,64σ) ≈ 90%
P(μ-1,96σ < X < μ+1,96σ) ≈ 95%
P(μ-2,58σ < X < μ+2,58σ) ≈ 99%

Um diese Regeln anzuwenden, folgt man einer bestimmten Reihenfolge:

Werte (n und p) angeben
Benötigte Regeln auswählen
Erwartungswert und Standardabweichung berechnen
Werte in die Formel einsetzen
Lösung im Histogramm darstellen

Example: Bei 200 Würfelwürfen und der Zählung von Einsen liegt die Trefferzahl mit 99,7% Wahrscheinlichkeit zwischen 18 und 49.

Öffnen

Übungsaufgaben zur Binomialverteilung

Um das Verständnis für die Binomialverteilung und die Anwendung der Sigma-Regeln zu vertiefen, werden Übungsaufgaben präsentiert. Diese Aufgaben helfen, die theoretischen Konzepte in die Praxis umzusetzen.

Example: Mit einem Würfel wird 200-mal gewürfelt. X sei die Anzahl der gewürfelten geraden Zahlen. Gesucht ist ein Intervall, in dem ca. 68,3% aller Werte von X liegen.

Lösungsansatz:

Identifizierung der relevanten Sigma-Regel (hier: Erste-Sigma-Regel)
Berechnung des Erwartungswerts: μ = 200 * 3/6 = 100
Berechnung der Standardabweichung: σ = √(200 * 3/6 * 3/6) ≈ 7,07
Anwendung der Formel: [μ - σ; μ + σ] = [100 - 7,07; 100 + 7,07] = [92,93; 107,07]

Highlight: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 68,3% würfelt man bei 200 Würfen zwischen 93 und 107 gerade Zahlen.

Diese Übung demonstriert, wie man die Sigma-Regeln praktisch anwendet, um Wahrscheinlichkeitsaussagen über binomialverteilte Zufallsgrößen zu treffen und diese im Histogramm zu interpretieren.

Öffnen

Visualisierung der Binomialverteilung

Die grafische Darstellung der Binomialverteilung in Form eines Histogramms ist ein wichtiges Werkzeug für die Interpretation und Analyse von Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Definition: Ein Histogramm ist eine grafische Darstellung der Häufigkeitsverteilung kardinal skalierter Merkmale.

Bei der Binomialverteilung zeigt das Histogramm typischerweise eine glockenförmige Kurve, die symmetrisch um den Erwartungswert verteilt ist.

Highlight: Die Form des Histogramms gibt Aufschluss über die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße.

Wichtige Aspekte bei der Interpretation:

Die höchste Säule entspricht dem Erwartungswert μ.
Die Breite der Verteilung wird durch die Standardabweichung σ bestimmt.
Die Sigma-Regeln lassen sich direkt im Histogramm ablesen.

Example: Im Histogramm der Würfelaufgabe sieht man deutlich, dass die meisten Werte um den Erwartungswert von 100 konzentriert sind, mit abnehmender Wahrscheinlichkeit für Werte, die weiter vom Zentrum entfernt liegen.

Die Fähigkeit, Histogramme zu erstellen und zu interpretieren, ist entscheidend für das Verständnis und die Anwendung der Binomialverteilung in praktischen Situationen.

Öffnen

Praktische Anwendung der Sigma-Regeln

Die Anwendung der Sigma-Regeln wird anhand eines konkreten Beispiels demonstriert. Hier geht es um die Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass Schüler mit dem Bus zur Schule kommen.

Example: In einem Gymnasium mit 1100 Schülern fahren durchschnittlich 40% mit dem Bus. Gesucht ist ein symmetrisches Intervall um den Erwartungswert, in dem die Zufallsgröße X (Anzahl der Busfahrer an einem Tag) mit etwa 95% Wahrscheinlichkeit liegt.

Schrittweise Lösung:

Erwartungswert berechnen: μ = 1100 * 0,4 = 440
Standardabweichung berechnen: σ = √(1100 * 0,4 * 0,6) ≈ 16,25
Anwendung der 2σ-Regel (95,4%): [440 - 1,96 * 16,25; 440 + 1,96 * 16,25]
Ergebnis: [409; 471] (nach innen gerundet)

Highlight: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95,5% kommen zwischen 409 und 471 Schüler an diesem Tag mit dem Bus.

Diese Berechnung zeigt, wie die Sigma-Regeln in der Praxis angewendet werden, um präzise Vorhersagen über binomialverteilte Zufallsgrößen zu treffen.

Öffnen

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

Knowunity wurde bei Apple als "Featured Story" ausgezeichnet und hat die App-Store-Charts in der Kategorie Bildung in Deutschland, Italien, Polen, der Schweiz und dem Vereinigten Königreich regelmäßig angeführt. Werde noch heute Mitglied bei Knowunity und hilf Millionen von Schüler:innen auf der ganzen Welt.

Laden im

Google Play

Laden im

App Store

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

4.9+

Durchschnittliche App-Bewertung

13 M

Schüler:innen lieben Knowunity

#1

In Bildungs-App-Charts in 12 Ländern

950 K+

Schüler:innen haben Lernzettel hochgeladen

Immer noch nicht überzeugt? Schau dir an, was andere Schüler:innen sagen...

iOS User

Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Philipp, iOS User

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Lena, iOS Userin

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

Fächer

Mathe

Stochastik

Stetige wahrscheinlichkeitsverteilungen

Standardnormalverteilung

Wie du ein Histogramm zur Binomialverteilung erstellst und interpretierst

Priscilla

@priscillamireku_dgqa

7 Follower

Die Sigma-Regeln ermöglichen präzise Wahrscheinlichkeitsaussagen für binomialverteilte Zufallsgrößen.
Erwartungswert und Standardabweichung sind Schlüsselgrößen für die Anwendung der Sigma-Regeln.
Histogramme visualisieren die Wahrscheinlichkeitsverteilung und erleichtern die Interpretation.

12.5.2022

1187

11/12

Mathe

Kostenlose Lernzettel von Top-Schülern - Jetzt freischalten!

Kostenlose Notizen für jedes Fach, erstellt von den besten Schülern

Bekomme Noten mit intelligenter KI-Unterstützung

Lerne schlauer, weniger Stress - Jederzeit und überall

Mit E-Mail anmelden

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Sigma-Regeln und ihre Anwendung

Definition: Die Sigma-Regeln beschreiben die Wahrscheinlichkeit, mit der eine Zufallsgröße innerhalb bestimmter Intervalle um den Erwartungswert liegt.

Die drei Hauptregeln lauten:

Erste-Sigma-Regel: P(μ-σ < X < μ+σ) ≈ 68,3%
Zweite-Sigma-Regel: P(μ-2σ < X < μ+2σ) ≈ 95,4%
Dritte-Sigma-Regel: P(μ-3σ < X < μ+3σ) ≈ 99,7%

Highlight: Diese Regeln sind essentiell für die Interpretation von Histogrammen und die Analyse von Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Zusätzlich gibt es weitere nützliche Regeln:

P(μ-1,64σ < X < μ+1,64σ) ≈ 90%
P(μ-1,96σ < X < μ+1,96σ) ≈ 95%
P(μ-2,58σ < X < μ+2,58σ) ≈ 99%

Um diese Regeln anzuwenden, folgt man einer bestimmten Reihenfolge:

Werte (n und p) angeben
Benötigte Regeln auswählen
Erwartungswert und Standardabweichung berechnen
Werte in die Formel einsetzen
Lösung im Histogramm darstellen

Example: Bei 200 Würfelwürfen und der Zählung von Einsen liegt die Trefferzahl mit 99,7% Wahrscheinlichkeit zwischen 18 und 49.

Kostenlose Lernzettel von Top-Schülern - Jetzt freischalten!

Kostenlose Notizen für jedes Fach, erstellt von den besten Schülern

Bekomme Noten mit intelligenter KI-Unterstützung

Lerne schlauer, weniger Stress - Jederzeit und überall

Mit E-Mail anmelden

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Übungsaufgaben zur Binomialverteilung

Example: Mit einem Würfel wird 200-mal gewürfelt. X sei die Anzahl der gewürfelten geraden Zahlen. Gesucht ist ein Intervall, in dem ca. 68,3% aller Werte von X liegen.

Lösungsansatz:

Identifizierung der relevanten Sigma-Regel (hier: Erste-Sigma-Regel)
Berechnung des Erwartungswerts: μ = 200 * 3/6 = 100
Berechnung der Standardabweichung: σ = √(200 * 3/6 * 3/6) ≈ 7,07
Anwendung der Formel: [μ - σ; μ + σ] = [100 - 7,07; 100 + 7,07] = [92,93; 107,07]

Highlight: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 68,3% würfelt man bei 200 Würfen zwischen 93 und 107 gerade Zahlen.

Kostenlose Lernzettel von Top-Schülern - Jetzt freischalten!

Kostenlose Notizen für jedes Fach, erstellt von den besten Schülern

Bekomme Noten mit intelligenter KI-Unterstützung

Lerne schlauer, weniger Stress - Jederzeit und überall

Mit E-Mail anmelden

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Visualisierung der Binomialverteilung

Die grafische Darstellung der Binomialverteilung in Form eines Histogramms ist ein wichtiges Werkzeug für die Interpretation und Analyse von Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Definition: Ein Histogramm ist eine grafische Darstellung der Häufigkeitsverteilung kardinal skalierter Merkmale.

Bei der Binomialverteilung zeigt das Histogramm typischerweise eine glockenförmige Kurve, die symmetrisch um den Erwartungswert verteilt ist.

Highlight: Die Form des Histogramms gibt Aufschluss über die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße.

Wichtige Aspekte bei der Interpretation:

Die höchste Säule entspricht dem Erwartungswert μ.
Die Breite der Verteilung wird durch die Standardabweichung σ bestimmt.
Die Sigma-Regeln lassen sich direkt im Histogramm ablesen.

Example: Im Histogramm der Würfelaufgabe sieht man deutlich, dass die meisten Werte um den Erwartungswert von 100 konzentriert sind, mit abnehmender Wahrscheinlichkeit für Werte, die weiter vom Zentrum entfernt liegen.

Die Fähigkeit, Histogramme zu erstellen und zu interpretieren, ist entscheidend für das Verständnis und die Anwendung der Binomialverteilung in praktischen Situationen.

Kostenlose Lernzettel von Top-Schülern - Jetzt freischalten!

Kostenlose Notizen für jedes Fach, erstellt von den besten Schülern

Bekomme Noten mit intelligenter KI-Unterstützung

Lerne schlauer, weniger Stress - Jederzeit und überall

Mit E-Mail anmelden

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Praktische Anwendung der Sigma-Regeln

Die Anwendung der Sigma-Regeln wird anhand eines konkreten Beispiels demonstriert. Hier geht es um die Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass Schüler mit dem Bus zur Schule kommen.

Example: In einem Gymnasium mit 1100 Schülern fahren durchschnittlich 40% mit dem Bus. Gesucht ist ein symmetrisches Intervall um den Erwartungswert, in dem die Zufallsgröße X (Anzahl der Busfahrer an einem Tag) mit etwa 95% Wahrscheinlichkeit liegt.

Schrittweise Lösung:

Erwartungswert berechnen: μ = 1100 * 0,4 = 440
Standardabweichung berechnen: σ = √(1100 * 0,4 * 0,6) ≈ 16,25
Anwendung der 2σ-Regel (95,4%): [440 - 1,96 * 16,25; 440 + 1,96 * 16,25]
Ergebnis: [409; 471] (nach innen gerundet)

Highlight: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95,5% kommen zwischen 409 und 471 Schüler an diesem Tag mit dem Bus.

Diese Berechnung zeigt, wie die Sigma-Regeln in der Praxis angewendet werden, um präzise Vorhersagen über binomialverteilte Zufallsgrößen zu treffen.

Kostenlose Lernzettel von Top-Schülern - Jetzt freischalten!

Kostenlose Notizen für jedes Fach, erstellt von den besten Schülern

Bekomme Noten mit intelligenter KI-Unterstützung

Lerne schlauer, weniger Stress - Jederzeit und überall

Mit E-Mail anmelden

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

Knowunity wurde bei Apple als "Featured Story" ausgezeichnet und hat die App-Store-Charts in der Kategorie Bildung in Deutschland, Italien, Polen, der Schweiz und dem Vereinigten Königreich regelmäßig angeführt. Werde noch heute Mitglied bei Knowunity und hilf Millionen von Schüler:innen auf der ganzen Welt.

Laden im

Google Play

Laden im

App Store

4.9+

Durchschnittliche App-Bewertung

13 M

Schüler:innen lieben Knowunity

#1

In Bildungs-App-Charts in 12 Ländern

950 K+

Schüler:innen haben Lernzettel hochgeladen

Immer noch nicht überzeugt? Schau dir an, was andere Schüler:innen sagen...

iOS User

Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Philipp, iOS User

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Lena, iOS Userin

Wie du ein Histogramm zur Binomialverteilung erstellst und interpretierst

Sigma-Regeln und ihre Anwendung

Übungsaufgaben zur Binomialverteilung

Visualisierung der Binomialverteilung

Praktische Anwendung der Sigma-Regeln

Ähnliche Inhalte

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

4.9+

13 M

#1

950 K+

Immer noch nicht überzeugt? Schau dir an, was andere Schüler:innen sagen...

Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

Wie du ein Histogramm zur Binomialverteilung erstellst und interpretierst

Kostenlose Lernzettel von Top-Schülern - Jetzt freischalten!

Sigma-Regeln und ihre Anwendung

Kostenlose Lernzettel von Top-Schülern - Jetzt freischalten!

Übungsaufgaben zur Binomialverteilung

Kostenlose Lernzettel von Top-Schülern - Jetzt freischalten!

Visualisierung der Binomialverteilung

Kostenlose Lernzettel von Top-Schülern - Jetzt freischalten!

Praktische Anwendung der Sigma-Regeln

Kostenlose Lernzettel von Top-Schülern - Jetzt freischalten!

Ähnliche Inhalte

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

4.9+

13 M

#1

950 K+

Immer noch nicht überzeugt? Schau dir an, was andere Schüler:innen sagen...

Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.