Sigma-Regeln in der Stochastik

Diese Seite erklärt die Sigma-Regeln, die in der Stochastik verwendet werden, um Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Bereiche einer Normalverteilung zu beschreiben.

Die Sigma-Regeln Binomialverteilung sind wichtige Faustregeln in der Stochastik:

1. Erste Sigma-Regel (68%-Regel): P(μ - σ ≤ X ≤ μ + σ) ≈ 68,3% Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 68% liegt die Anzahl der Treffer um höchstens eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt.

2. Zweite Sigma-Regel (95%-Regel): P(μ - 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ) ≈ 95,4% Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 95% liegt die Anzahl der Treffer um höchstens zwei Standardabweichungen vom Erwartungswert entfernt.

3. Dritte Sigma-Regel (99,7%-Regel): P(μ - 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ) ≈ 99,7% Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 99,7% liegt die Anzahl der Treffer um höchstens drei Standardabweichungen vom Erwartungswert entfernt.

Highlight: Die Sigma-Regeln sind besonders nützlich für schnelle Abschätzungen und das intuitive Verständnis von Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Example: Bei einer Binomialverteilung mit μ = 50 und σ = 5 würden etwa 68% der Werte zwischen 45 und 55, 95% zwischen 40 und 60 und 99,7% zwischen 35 und 65 liegen.

Diese Regeln sind ein wichtiger Bestandteil des Stochastik Grundwissens und helfen bei der Interpretation von statistischen Daten und Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Erwartungswert und Standardabweichung von Zufallsgrößen

Diese Seite erklärt die Konzepte des Erwartungswerts und der Standardabweichung für Zufallsgrößen in der Stochastik.

Der Erwartungswert ist der Mittelwert der Ergebnisse bei mehreren Durchführungen eines Zufallsexperiments. Für eine Zufallsgröße X mit den Werten x₁, x₂, ..., xn berechnet sich der Erwartungswert μ wie folgt:

μ = x₁ * P(X = x₁) + x₂ * P(X = x₂) + ... + xn * P(X = xn)

Die Standardabweichung σ misst die durchschnittliche Abweichung vom Mittelwert und wird wie folgt berechnet:

σ = √[(x₁ - μ)² * P(X = x₁) + ... + (xn - μ)² * P(X = xn)]

Example: Für eine Binomialverteilung gelten folgende Formeln: μ = n * p σ = √(n * p * (1-p))

Highlight: Erwartungswert und Standardabweichung sind zentrale Kenngrößen in der Stochastik Grundlagen, die helfen, Zufallsverteilungen zu charakterisieren und zu vergleichen.