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Stochastik Merkblätter
19.5.2021
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4. MATHEMATIK KLAUSUR Stochastik THEMEN Binomial verteilung (Erwartungswert + Standard abweichung) Erwartungswert Standardabweichung von Zufallsgrößen • Benoulli-Experimente Sigmaregeln Histogramme BINOMIAL VERTEILUNG Es muss eine feste Anzahl von Versuchen und eine konstante wahrscheinlichkeit geben. (wie Bernoulli- Experimente) (...) n = Anzahl der Pfade / Durchführungen Treffer wahrscheinlichkeit P: N = X = Zufallsgröße r = Anzahl der Tretter Richtige Schreibweise: P(X= 3) P(X= 3) P(X=3) Berechnungen Formel: P(x = () = (^) p² (1-p)^-' ⒸGTR Bei genauer Trefferzahl: binompdf (n, p,r.) Bei mindestens/höchstens: binomcdf (n, p, X bis Y) ¡ X ≤ 3 (höchstens) (mindestens) x = 3 x < 3 (Kleiner als) X3 (größer als) Binomial hoeffizient Gibt die Anzahl der Pfade bei n GTR B Durchführungen und Tretten an. Acten de Ber Bsp: (2) ncr (4₁2) = 6 Berechnung Bp. (5)= : n } (^) Formel Befehle eintippen oder тепи эт → D/E → 5 → 5·4·3·2·1 1.4·3·2·1 5-1=4 5! 1' · (5-1)! 120 : 24 =5 = ERWARTUNGSWERT -von Zufallsgrößen Mittelwert der Ergebnisse bei mehreren Durchführungen. Für eine Zufallsgröße X mit den Weith X₁, X₂, Xn : → M²=X₂₁₂₁ · P ( X = X₁) + X₂· P ( X = X ₂). Für eine. Zufallsgröße X mit den Weith X₁, X2, Xn: Joa STANDARDABWEICHUNG von Zufallsgrößen Durchschnittliche Abweichung vom Mittelwert •G= √(x-μ)²· P(x = x₁) .....+ (x₁ -M) ². P.(x = xn). Beispiel M = (-1) · (²) ) + (1. A)) +(9・ (²/3) = -3 10 0= √n⋅p⋅ (1-p) M = n₁p₁² n. +6 0 = √ ( 9 + 3)1³² · 3²/32 + (0 + 1³/1) %) Anzahl der Pfade 2 - 1 `Trefterwahr- scheinlichkeit P(x=g) ²² 6 Gegenwahrscheinlichkeit ( Ganze - wahrscheinlichkeit) 0 10 4 1 15 ~ 1,32 BERNOULLI - EXPERIMENTE Bernoulli-Experiment: Zufallsversuch mit nur zwei möglichen Ausgängen: Tretter oder Niete Bernoulli-Kette: die n-fache Wiedernowing eines Benoulli Experiments. jede Durchführung muss unabhängig von einander sein. (z. B. bei...
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Kugeln → mit Zurücklegen) - Bernoulli-Formel: mit ihr berechnet man die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl von Tretten. Anzahl der Pfade mit & Treflen bei n Durchführungen (Binomial hoefizient) Anzahl der Trefter P(X= 1) = () ² (1-P) Trefterwah- scheinlichheit Nieten wahr- Scheinlichkeit Anzahl Nieten SIGMAREGELN 1) P (μ- 0 ≤ x ≤ M+G) ~ 68,3% ↳ Mit einer Wahrscheinlichtheit von ca. 68%. liegt die Anzahl der Tiether um höchstens eine Standardabweichung vorn Erwartungswert entfernt. 2) P(M-20 ≤ x ≤ M + 20 ) ~ 95,4 % ↳ Mit einer Wahrscheinlichtheit von ca. 95% liegt die Anzahl der Tiefler um höchstens zwei Standardabweichung vorn Erwartung swast entfernt. 3) P (μ-30 ≤ x M +36) = 99,7% ² ↳ Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 99% liegt die Anzahl der Tietter um höchstens diei Standardabweichung vorn Erwartungswert entfernt. Wahrscheinlichkeiten. 0.2 0.15 0.1 0.05 0.2 0.1 HISTOGRAMME Wahrscheinlichkeit der einzelnen Tretter B(100; 0.05; k) B(10:0.6; k) 1 0 1 2 3 P(X ≤4) μ + σ 2 3 4 alle Säulen addiert 100% oder 1 → Maximum liegt immer beim Envartungswert M. → Wendestellen bei N-0 und N+o. i-0 4 5 P(X ≤8) B(10; 0,6; i) 6 P(5 ≤x≤8) 5 6 7 8 9 10 alle Treffer (0 bis n) P-σ P1005 (3≤x≤7) = 7 8 9 10 11 0.2 0.1 B(10; 0.6; k) Bilder Quelle: Mathelike.de 12 13 14 15 P(X≤5) 1 2 3 4 5 Pi 6 7 8 9 10