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Binomialverteilung & Bernoulli Formel erklärt - Einfache Beispiele

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

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Binomialverteilung & Bernoulli Formel erklärt - Einfache Beispiele

leahnrdkmp

@leonor_pmys

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Das Bernoulli-Experiment ist ein grundlegendes Konzept in der Stochastik mit zwei möglichen Ausgängen. Die Bernoulli-Formel wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Anzahl von Erfolgen in einer Reihe von unabhängigen Versuchen zu berechnen. Die Binomialverteilung ist eine wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die auf dem Bernoulli-Experiment basiert. Wichtige Aspekte sind:

Die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für exakte, kumulierte und intervallbasierte Ereignisse
Kennzahlen wie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung
Anwendung der Sigma-Regel für Konfidenzintervalle
Berechnung von p und n in speziellen Fällen
Eigenschaften der Binomialverteilung wie Symmetrie und Maximum

20.8.2021

685

"D
Bernoulli-Versuch:
→ Bernoulli Experiment:
2 Zufallsexperiment, mit zwei mcgüchen Ausgangen
E = Tiefer fridg
- P(E) =P (Tieffer what)
€ =

Vertrauensintervalle und Sicherheitswahrscheinlichkeiten

Vertrauensintervalle und Sicherheitswahrscheinlichkeiten sind wichtige Konzepte in der Statistik:

90% Vertrauensintervall: [μ - 1,64σ, μ + 1,64σ]
95% Vertrauensintervall: [μ - 1,96σ, μ + 1,96σ]
99% Vertrauensintervall: [μ - 2,58σ, μ + 2,58σ]

Diese Intervalle geben an, in welchem Bereich der wahre Wert mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit liegt.

Highlight: Die Wahl des Vertrauensintervalls hängt von der gewünschten Genauigkeit und dem Anwendungskontext ab.

Example: Bei einem Bernoulli-Experiment mit n = 1000 und p = 0,8 kann man das 99% Vertrauensintervall berechnen, um eine sehr genaue Abschätzung der zu erwartenden Trefferzahl zu erhalten.

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Kumulierte Binomialverteilung

Die kumulierte (summierte) Binomialverteilung ist ein wichtiges Konzept in der Stochastik. Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, höchstens k Treffer zu erzielen:

P(X ≤ k) = F(n,p,k) = Σ(i=0 bis k) B(n,p,i)

Diese Formel ist besonders nützlich für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in verschiedenen Intervallen:

Mehr als k Treffer: P(X > k) = 1 - F(n,p,k)
Zwischen a und b Treffer: P(a ≤ X ≤ b) = F(n,p,b) - F(n,p,a-1)
Mindestens a und höchstens b Treffer: P(a ≤ X ≤ b) = F(n,p,b) - F(n,p,a-1)

Example: Bei einem Bernoulli-Experiment mit n=10 und p=0,4 kann man die Wahrscheinlichkeit für höchstens 5 Treffer mit F(10,0.4,5) berechnen.

Highlight: Die kumulierte Binomialverteilung ist besonders nützlich für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in Intervallen und für "mindestens" oder "höchstens" Szenarien.

Vocabulary: Kumulierte Wahrscheinlichkeit - Die Summe der Wahrscheinlichkeiten für alle Ergebnisse bis zu einem bestimmten Wert.

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Kennzahlen der Binomialverteilung

Die Binomialverteilung hat wichtige Kennzahlen, die ihre Eigenschaften beschreiben:

Erwartungswert: E(X) = n * p
Varianz: V(X) = n * p * q
Standardabweichung: σ(X) = √(n * p * q)

Diese Kennzahlen helfen, die Verteilung zu charakterisieren und Vorhersagen zu treffen.

Die grafische Darstellung der Binomialverteilung erfolgt oft in einem Säulendiagramm, das die Wahrscheinlichkeiten für jedes k zeigt. Die kumulierte Binomialverteilung wird als Treppenfunktion dargestellt.

Definition: Der Erwartungswert ist die Zahl, die die Zufallsvariable im Mittel annimmt.

Highlight: Die Eigenschaften der Binomialverteilung ändern sich mit p und n. Je größer p, desto weiter rechts liegt das Maximum der Verteilung. Mit wachsendem n werden die Verteilungen flacher und symmetrischer.

Example: Für p = 0,5 ist die Verteilung symmetrisch, was bedeutet: B(n,p,k) = B(n,p,n-k)

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Bernoulli-Experiment und Binomialverteilung

Das Bernoulli-Experiment ist ein fundamentales Konzept in der Stochastik. Es beschreibt ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ausgängen: Erfolg (E) mit Wahrscheinlichkeit P(E) = p oder Misserfolg (Ē) mit Wahrscheinlichkeit P(Ē) = 1 - p = q.

Die Bernoulli-Kette entsteht, wenn das Experiment mehrfach hintereinander durchgeführt wird, wobei sich die Trefferwahrscheinlichkeit nicht ändert. Die Bernoulli-Formel wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl von Treffern in einer solchen Kette zu berechnen:

P(X = k) = B(n,p,k) = (n über k) * p^k * q^(n-k)

Hierbei ist X die Zufallsgröße, die die Anzahl der Treffer angibt und als binomialverteilt bezeichnet wird.

Vocabulary: Binomialkoeffizient - Der Term (n über k) wird als Binomialkoeffizient bezeichnet und gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, k Elemente aus n Elementen auszuwählen.

Example: Ein praktisches Bernoulli-Experiment Beispiel wäre das mehrmalige Werfen einer Münze, wobei "Kopf" als Erfolg und "Zahl" als Misserfolg definiert wird.

Highlight: Die Bernoulli-Formel erklärt die Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine feste Anzahl von Versuchen mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit.

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Maximum und Erwartungswert bei der Binomialverteilung

Das Maximum einer Binomialverteilung hat besondere Eigenschaften:

Wenn E(X) ganzzahlig ist, liegt das Maximum genau an der Stelle k = E(X).
Wenn E(X) nicht ganzzahlig ist, liegt das Maximum bei der nächstgelegenen ganzen Zahl zu E(X).

Highlight: Die Position des Maximums in der Binomialverteilung hängt direkt mit dem Erwartungswert zusammen.

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Berechnung von p und n

In manchen Fällen müssen die Parameter p (Trefferwahrscheinlichkeit) oder n (Länge der Bernoulli-Kette) berechnet werden:

Berechnung von p: Wenn die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl von Treffern gegeben ist, kann p durch Lösen der entsprechenden Gleichung gefunden werden.
Berechnung von n: Wenn die Wahrscheinlichkeit für mindestens oder höchstens eine bestimmte Anzahl von Treffern gegeben ist, kann n durch schrittweises Erhöhen gefunden werden.

Example: Wenn P(X = 10) = 0,9 bei n = 14 gegeben ist, kann p durch Lösen der Gleichung 0,9 = (14 über 10) * p^10 * (1-p)^4 gefunden werden.

Highlight: Die Berechnung von p und n erfordert oft den Einsatz von Taschenrechnern oder Computerprogrammen, da die Gleichungen komplex sein können.

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Sigma-Regel

Die Sigma-Regel ist ein wichtiges Werkzeug in der Stochastik, das Aussagen über die Wahrscheinlichkeit von Abweichungen vom Erwartungswert macht:

68,3% der Werte liegen im Intervall [μ - σ, μ + σ]
95,5% der Werte liegen im Intervall [μ - 2σ, μ + 2σ]
99,7% der Werte liegen im Intervall [μ - 3σ, μ + 3σ]

Dabei ist μ der Erwartungswert und σ die Standardabweichung.

Highlight: Die Sigma-Regel ist besonders nützlich für schnelle Abschätzungen und gilt umso genauer, je größer n ist.

Example: Bei einem Bernoulli-Experiment mit n = 200 und p = 0,9 kann man mit der Sigma-Regel abschätzen, wie viele Treffer mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% erzielt werden.

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Vertrauensintervalle und Sicherheitswahrscheinlichkeiten sind wichtige Konzepte in der Statistik:

90% Vertrauensintervall: [μ - 1,64σ, μ + 1,64σ]
95% Vertrauensintervall: [μ - 1,96σ, μ + 1,96σ]
99% Vertrauensintervall: [μ - 2,58σ, μ + 2,58σ]

Diese Intervalle geben an, in welchem Bereich der wahre Wert mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit liegt.

Highlight: Die Wahl des Vertrauensintervalls hängt von der gewünschten Genauigkeit und dem Anwendungskontext ab.

Example: Bei einem Bernoulli-Experiment mit n = 1000 und p = 0,8 kann man das 99% Vertrauensintervall berechnen, um eine sehr genaue Abschätzung der zu erwartenden Trefferzahl zu erhalten.

Kumulierte Binomialverteilung

Die kumulierte (summierte) Binomialverteilung ist ein wichtiges Konzept in der Stochastik. Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, höchstens k Treffer zu erzielen:

P(X ≤ k) = F(n,p,k) = Σ(i=0 bis k) B(n,p,i)

Diese Formel ist besonders nützlich für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in verschiedenen Intervallen:

Mehr als k Treffer: P(X > k) = 1 - F(n,p,k)
Zwischen a und b Treffer: P(a ≤ X ≤ b) = F(n,p,b) - F(n,p,a-1)
Mindestens a und höchstens b Treffer: P(a ≤ X ≤ b) = F(n,p,b) - F(n,p,a-1)

Example: Bei einem Bernoulli-Experiment mit n=10 und p=0,4 kann man die Wahrscheinlichkeit für höchstens 5 Treffer mit F(10,0.4,5) berechnen.

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Vocabulary: Kumulierte Wahrscheinlichkeit - Die Summe der Wahrscheinlichkeiten für alle Ergebnisse bis zu einem bestimmten Wert.

Kennzahlen der Binomialverteilung

Die Binomialverteilung hat wichtige Kennzahlen, die ihre Eigenschaften beschreiben:

Erwartungswert: E(X) = n * p
Varianz: V(X) = n * p * q
Standardabweichung: σ(X) = √(n * p * q)

Diese Kennzahlen helfen, die Verteilung zu charakterisieren und Vorhersagen zu treffen.

Definition: Der Erwartungswert ist die Zahl, die die Zufallsvariable im Mittel annimmt.

Highlight: Die Eigenschaften der Binomialverteilung ändern sich mit p und n. Je größer p, desto weiter rechts liegt das Maximum der Verteilung. Mit wachsendem n werden die Verteilungen flacher und symmetrischer.

Example: Für p = 0,5 ist die Verteilung symmetrisch, was bedeutet: B(n,p,k) = B(n,p,n-k)

Bernoulli-Experiment und Binomialverteilung

P(X = k) = B(n,p,k) = (n über k) * p^k * q^(n-k)

Hierbei ist X die Zufallsgröße, die die Anzahl der Treffer angibt und als binomialverteilt bezeichnet wird.

Vocabulary: Binomialkoeffizient - Der Term (n über k) wird als Binomialkoeffizient bezeichnet und gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, k Elemente aus n Elementen auszuwählen.

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Maximum und Erwartungswert bei der Binomialverteilung

Das Maximum einer Binomialverteilung hat besondere Eigenschaften:

Wenn E(X) ganzzahlig ist, liegt das Maximum genau an der Stelle k = E(X).
Wenn E(X) nicht ganzzahlig ist, liegt das Maximum bei der nächstgelegenen ganzen Zahl zu E(X).

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Berechnung von p und n

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Berechnung von p: Wenn die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl von Treffern gegeben ist, kann p durch Lösen der entsprechenden Gleichung gefunden werden.
Berechnung von n: Wenn die Wahrscheinlichkeit für mindestens oder höchstens eine bestimmte Anzahl von Treffern gegeben ist, kann n durch schrittweises Erhöhen gefunden werden.

Example: Wenn P(X = 10) = 0,9 bei n = 14 gegeben ist, kann p durch Lösen der Gleichung 0,9 = (14 über 10) * p^10 * (1-p)^4 gefunden werden.

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Sigma-Regel

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68,3% der Werte liegen im Intervall [μ - σ, μ + σ]
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Dabei ist μ der Erwartungswert und σ die Standardabweichung.

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