Kumulierte Binomialverteilung

Die kumulierte (summierte) Binomialverteilung ist ein wichtiges Konzept in der Stochastik. Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, höchstens k Treffer zu erzielen:

P(X ≤ k) = F(n,p,k) = Σ(i=0 bis k) B(n,p,i)

Diese Formel ist besonders nützlich für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in verschiedenen Intervallen:

1. Mehr als k Treffer: P(X > k) = 1 - F(n,p,k)
2. Zwischen a und b Treffer: P(a ≤ X ≤ b) = F(n,p,b) - F(n,p,a-1)
3. Mindestens a und höchstens b Treffer: P(a ≤ X ≤ b) = F(n,p,b) - F(n,p,a-1)

Example: Bei einem Bernoulli-Experiment mit n=10 und p=0,4 kann man die Wahrscheinlichkeit für höchstens 5 Treffer mit F(10,0.4,5) berechnen.

Highlight: Die kumulierte Binomialverteilung ist besonders nützlich für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in Intervallen und für "mindestens" oder "höchstens" Szenarien.

Vocabulary: Kumulierte Wahrscheinlichkeit - Die Summe der Wahrscheinlichkeiten für alle Ergebnisse bis zu einem bestimmten Wert.

Kennzahlen der Binomialverteilung

Die Binomialverteilung hat wichtige Kennzahlen, die ihre Eigenschaften beschreiben:

1. Erwartungswert: E(X) = n * p
2. Varianz: V(X) = n * p * q
3. Standardabweichung: σ(X) = √(n * p * q)

Diese Kennzahlen helfen, die Verteilung zu charakterisieren und Vorhersagen zu treffen.

Die grafische Darstellung der Binomialverteilung erfolgt oft in einem Säulendiagramm, das die Wahrscheinlichkeiten für jedes k zeigt. Die kumulierte Binomialverteilung wird als Treppenfunktion dargestellt.

Definition: Der Erwartungswert ist die Zahl, die die Zufallsvariable im Mittel annimmt.

Highlight: Die Eigenschaften der Binomialverteilung ändern sich mit p und n. Je größer p, desto weiter rechts liegt das Maximum der Verteilung. Mit wachsendem n werden die Verteilungen flacher und symmetrischer.

Example: Für p = 0,5 ist die Verteilung symmetrisch, was bedeutet: B(n,p,k) = B(n,p,n-k)

Vertrauensintervalle und Sicherheitswahrscheinlichkeiten

Vertrauensintervalle und Sicherheitswahrscheinlichkeiten sind wichtige Konzepte in der Statistik:

1. 90% Vertrauensintervall: [μ - 1,64σ, μ + 1,64σ]
2. 95% Vertrauensintervall: [μ - 1,96σ, μ + 1,96σ]
3. 99% Vertrauensintervall: [μ - 2,58σ, μ + 2,58σ]

Diese Intervalle geben an, in welchem Bereich der wahre Wert mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit liegt.

Highlight: Die Wahl des Vertrauensintervalls hängt von der gewünschten Genauigkeit und dem Anwendungskontext ab.

Example: Bei einem Bernoulli-Experiment mit n = 1000 und p = 0,8 kann man das 99% Vertrauensintervall berechnen, um eine sehr genaue Abschätzung der zu erwartenden Trefferzahl zu erhalten.