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Binomialverteilung & Bernoulli Formel erklärt - Einfache Beispiele

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leahnrdkmp

20.8.2021

Mathe

Binomialverteilung

Binomialverteilung & Bernoulli Formel erklärt - Einfache Beispiele

The Bernoulli-Experiment and Binomialverteilung are fundamental concepts in probability theory, used to analyze experiments with two possible outcomes. This comprehensive guide covers probability calculations, cumulative distributions, and key statistical measures.

  • The Bernoulli-Formel calculates exact probabilities for specific numbers of successes
  • Kumulierte Binomialverteilung helps determine probabilities for ranges of outcomes
  • Statistical measures include expected value, variance, and standard deviation
  • The sigma rule provides probability intervals for normally distributed data
  • Practical applications include quality control and reliability testing
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20.8.2021

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Bernoulli-Versuch:
→ Bernoulli Experiment:
2 Zufallsexperiment, mit zwei mcgüchen Ausgangen
E = Tiefer fridg
- P(E) =P (Tieffer what)
€ =

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Kumulierte Binomialverteilung

Die kumulierte summiertesummierte Binomialverteilung ist ein wichtiges Konzept in der Stochastik. Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, höchstens k Treffer zu erzielen:

PXkX ≤ k = Fn,p,kn,p,k = Σi=0biski=0 bis k Bn,p,in,p,i

Diese Formel ist besonders nützlich für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in verschiedenen Intervallen:

  1. Mehr als k Treffer: PX>kX > k = 1 - Fn,p,kn,p,k
  2. Zwischen a und b Treffer: PaXba ≤ X ≤ b = Fn,p,bn,p,b - Fn,p,a1n,p,a-1
  3. Mindestens a und höchstens b Treffer: PaXba ≤ X ≤ b = Fn,p,bn,p,b - Fn,p,a1n,p,a-1

Example: Bei einem Bernoulli-Experiment mit n=10 und p=0,4 kann man die Wahrscheinlichkeit für höchstens 5 Treffer mit F10,0.4,510,0.4,5 berechnen.

Highlight: Die kumulierte Binomialverteilung ist besonders nützlich für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in Intervallen und für "mindestens" oder "höchstens" Szenarien.

Vocabulary: Kumulierte Wahrscheinlichkeit - Die Summe der Wahrscheinlichkeiten für alle Ergebnisse bis zu einem bestimmten Wert.

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Kennzahlen der Binomialverteilung

Die Binomialverteilung hat wichtige Kennzahlen, die ihre Eigenschaften beschreiben:

  1. Erwartungswert: EXX = n * p
  2. Varianz: VXX = n * p * q
  3. Standardabweichung: σXX = √npqn * p * q

Diese Kennzahlen helfen, die Verteilung zu charakterisieren und Vorhersagen zu treffen.

Die grafische Darstellung der Binomialverteilung erfolgt oft in einem Säulendiagramm, das die Wahrscheinlichkeiten für jedes k zeigt. Die kumulierte Binomialverteilung wird als Treppenfunktion dargestellt.

Definition: Der Erwartungswert ist die Zahl, die die Zufallsvariable im Mittel annimmt.

Highlight: Die Eigenschaften der Binomialverteilung ändern sich mit p und n. Je größer p, desto weiter rechts liegt das Maximum der Verteilung. Mit wachsendem n werden die Verteilungen flacher und symmetrischer.

Example: Für p = 0,5 ist die Verteilung symmetrisch, was bedeutet: Bn,p,kn,p,k = Bn,p,nkn,p,n-k

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Berechnung von p und n

In manchen Fällen müssen die Parameter p TrefferwahrscheinlichkeitTrefferwahrscheinlichkeit oder n La¨ngederBernoulliKetteLänge der Bernoulli-Kette berechnet werden:

  1. Berechnung von p: Wenn die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl von Treffern gegeben ist, kann p durch Lösen der entsprechenden Gleichung gefunden werden.
  2. Berechnung von n: Wenn die Wahrscheinlichkeit für mindestens oder höchstens eine bestimmte Anzahl von Treffern gegeben ist, kann n durch schrittweises Erhöhen gefunden werden.

Example: Wenn PX=10X = 10 = 0,9 bei n = 14 gegeben ist, kann p durch Lösen der Gleichung 0,9 = 14u¨ber1014 über 10 * p^10 * 1p1-p^4 gefunden werden.

Highlight: Die Berechnung von p und n erfordert oft den Einsatz von Taschenrechnern oder Computerprogrammen, da die Gleichungen komplex sein können.

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- P(E) =P (Tieffer what)
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Maximum und Erwartungswert bei der Binomialverteilung

Das Maximum einer Binomialverteilung hat besondere Eigenschaften:

  1. Wenn EXX ganzzahlig ist, liegt das Maximum genau an der Stelle k = EXX.
  2. Wenn EXX nicht ganzzahlig ist, liegt das Maximum bei der nächstgelegenen ganzen Zahl zu EXX.

Highlight: Die Position des Maximums in der Binomialverteilung hängt direkt mit dem Erwartungswert zusammen.

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Sigma-Regel

Die Sigma-Regel ist ein wichtiges Werkzeug in der Stochastik, das Aussagen über die Wahrscheinlichkeit von Abweichungen vom Erwartungswert macht:

  1. 68,3% der Werte liegen im Intervall μσ,μ+σμ - σ, μ + σ
  2. 95,5% der Werte liegen im Intervall μ2σ,μ+2σμ - 2σ, μ + 2σ
  3. 99,7% der Werte liegen im Intervall μ3σ,μ+3σμ - 3σ, μ + 3σ

Dabei ist μ der Erwartungswert und σ die Standardabweichung.

Highlight: Die Sigma-Regel ist besonders nützlich für schnelle Abschätzungen und gilt umso genauer, je größer n ist.

Example: Bei einem Bernoulli-Experiment mit n = 200 und p = 0,9 kann man mit der Sigma-Regel abschätzen, wie viele Treffer mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% erzielt werden.

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Vertrauensintervalle und Sicherheitswahrscheinlichkeiten

Vertrauensintervalle und Sicherheitswahrscheinlichkeiten sind wichtige Konzepte in der Statistik:

  1. 90% Vertrauensintervall: μ1,64σ,μ+1,64σμ - 1,64σ, μ + 1,64σ
  2. 95% Vertrauensintervall: μ1,96σ,μ+1,96σμ - 1,96σ, μ + 1,96σ
  3. 99% Vertrauensintervall: μ2,58σ,μ+2,58σμ - 2,58σ, μ + 2,58σ

Diese Intervalle geben an, in welchem Bereich der wahre Wert mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit liegt.

Highlight: Die Wahl des Vertrauensintervalls hängt von der gewünschten Genauigkeit und dem Anwendungskontext ab.

Example: Bei einem Bernoulli-Experiment mit n = 1000 und p = 0,8 kann man das 99% Vertrauensintervall berechnen, um eine sehr genaue Abschätzung der zu erwartenden Trefferzahl zu erhalten.

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Sicherheitswahrscheinlichkeiten

Präzisere Sicherheitswahrscheinlichkeiten für verschiedene Konfidenzintervalle.

Definition:

  • 90% im Intervall μ1,64σ,μ+1,64σμ-1,64σ, μ+1,64σ
  • 95% im Intervall μ1,96σ,μ+1,96σμ-1,96σ, μ+1,96σ
  • 99% im Intervall μ2,58σ,μ+2,58σμ-2,58σ, μ+2,58σ

Example: Bei n=1000, p=0,8: μ = 800, σ = 12,65 99%-Intervall: 768X768 ≤ X

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Confidence Intervals

This page details various confidence intervals and their applications.

Definition: Confidence intervals for different probability levels:

  • 90%: μ1.64σ,μ+1.64σμ-1.64σ, μ+1.64σ
  • 95%: μ1.96σ,μ+1.96σμ-1.96σ, μ+1.96σ
  • 99%: μ2.58σ,μ+2.58σμ-2.58σ, μ+2.58σ

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Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Lena, iOS Userin

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

 

Mathe

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20. Aug. 2021

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Binomialverteilung & Bernoulli Formel erklärt - Einfache Beispiele

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leahnrdkmp

@leonor_pmys

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Kumulierte Binomialverteilung

Die kumulierte summiertesummierte Binomialverteilung ist ein wichtiges Konzept in der Stochastik. Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, höchstens k Treffer zu erzielen:

PXkX ≤ k = Fn,p,kn,p,k = Σi=0biski=0 bis k Bn,p,in,p,i

Diese Formel ist besonders nützlich für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in verschiedenen Intervallen:

  1. Mehr als k Treffer: PX>kX > k = 1 - Fn,p,kn,p,k
  2. Zwischen a und b Treffer: PaXba ≤ X ≤ b = Fn,p,bn,p,b - Fn,p,a1n,p,a-1
  3. Mindestens a und höchstens b Treffer: PaXba ≤ X ≤ b = Fn,p,bn,p,b - Fn,p,a1n,p,a-1

Example: Bei einem Bernoulli-Experiment mit n=10 und p=0,4 kann man die Wahrscheinlichkeit für höchstens 5 Treffer mit F10,0.4,510,0.4,5 berechnen.

Highlight: Die kumulierte Binomialverteilung ist besonders nützlich für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in Intervallen und für "mindestens" oder "höchstens" Szenarien.

Vocabulary: Kumulierte Wahrscheinlichkeit - Die Summe der Wahrscheinlichkeiten für alle Ergebnisse bis zu einem bestimmten Wert.

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Kennzahlen der Binomialverteilung

Die Binomialverteilung hat wichtige Kennzahlen, die ihre Eigenschaften beschreiben:

  1. Erwartungswert: EXX = n * p
  2. Varianz: VXX = n * p * q
  3. Standardabweichung: σXX = √npqn * p * q

Diese Kennzahlen helfen, die Verteilung zu charakterisieren und Vorhersagen zu treffen.

Die grafische Darstellung der Binomialverteilung erfolgt oft in einem Säulendiagramm, das die Wahrscheinlichkeiten für jedes k zeigt. Die kumulierte Binomialverteilung wird als Treppenfunktion dargestellt.

Definition: Der Erwartungswert ist die Zahl, die die Zufallsvariable im Mittel annimmt.

Highlight: Die Eigenschaften der Binomialverteilung ändern sich mit p und n. Je größer p, desto weiter rechts liegt das Maximum der Verteilung. Mit wachsendem n werden die Verteilungen flacher und symmetrischer.

Example: Für p = 0,5 ist die Verteilung symmetrisch, was bedeutet: Bn,p,kn,p,k = Bn,p,nkn,p,n-k

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Berechnung von p und n

In manchen Fällen müssen die Parameter p TrefferwahrscheinlichkeitTrefferwahrscheinlichkeit oder n La¨ngederBernoulliKetteLänge der Bernoulli-Kette berechnet werden:

  1. Berechnung von p: Wenn die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl von Treffern gegeben ist, kann p durch Lösen der entsprechenden Gleichung gefunden werden.
  2. Berechnung von n: Wenn die Wahrscheinlichkeit für mindestens oder höchstens eine bestimmte Anzahl von Treffern gegeben ist, kann n durch schrittweises Erhöhen gefunden werden.

Example: Wenn PX=10X = 10 = 0,9 bei n = 14 gegeben ist, kann p durch Lösen der Gleichung 0,9 = 14u¨ber1014 über 10 * p^10 * 1p1-p^4 gefunden werden.

Highlight: Die Berechnung von p und n erfordert oft den Einsatz von Taschenrechnern oder Computerprogrammen, da die Gleichungen komplex sein können.

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Maximum und Erwartungswert bei der Binomialverteilung

Das Maximum einer Binomialverteilung hat besondere Eigenschaften:

  1. Wenn EXX ganzzahlig ist, liegt das Maximum genau an der Stelle k = EXX.
  2. Wenn EXX nicht ganzzahlig ist, liegt das Maximum bei der nächstgelegenen ganzen Zahl zu EXX.

Highlight: Die Position des Maximums in der Binomialverteilung hängt direkt mit dem Erwartungswert zusammen.

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Sigma-Regel

Die Sigma-Regel ist ein wichtiges Werkzeug in der Stochastik, das Aussagen über die Wahrscheinlichkeit von Abweichungen vom Erwartungswert macht:

  1. 68,3% der Werte liegen im Intervall μσ,μ+σμ - σ, μ + σ
  2. 95,5% der Werte liegen im Intervall μ2σ,μ+2σμ - 2σ, μ + 2σ
  3. 99,7% der Werte liegen im Intervall μ3σ,μ+3σμ - 3σ, μ + 3σ

Dabei ist μ der Erwartungswert und σ die Standardabweichung.

Highlight: Die Sigma-Regel ist besonders nützlich für schnelle Abschätzungen und gilt umso genauer, je größer n ist.

Example: Bei einem Bernoulli-Experiment mit n = 200 und p = 0,9 kann man mit der Sigma-Regel abschätzen, wie viele Treffer mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% erzielt werden.

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Vertrauensintervalle und Sicherheitswahrscheinlichkeiten

Vertrauensintervalle und Sicherheitswahrscheinlichkeiten sind wichtige Konzepte in der Statistik:

  1. 90% Vertrauensintervall: μ1,64σ,μ+1,64σμ - 1,64σ, μ + 1,64σ
  2. 95% Vertrauensintervall: μ1,96σ,μ+1,96σμ - 1,96σ, μ + 1,96σ
  3. 99% Vertrauensintervall: μ2,58σ,μ+2,58σμ - 2,58σ, μ + 2,58σ

Diese Intervalle geben an, in welchem Bereich der wahre Wert mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit liegt.

Highlight: Die Wahl des Vertrauensintervalls hängt von der gewünschten Genauigkeit und dem Anwendungskontext ab.

Example: Bei einem Bernoulli-Experiment mit n = 1000 und p = 0,8 kann man das 99% Vertrauensintervall berechnen, um eine sehr genaue Abschätzung der zu erwartenden Trefferzahl zu erhalten.

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Sicherheitswahrscheinlichkeiten

Präzisere Sicherheitswahrscheinlichkeiten für verschiedene Konfidenzintervalle.

Definition:

  • 90% im Intervall μ1,64σ,μ+1,64σμ-1,64σ, μ+1,64σ
  • 95% im Intervall μ1,96σ,μ+1,96σμ-1,96σ, μ+1,96σ
  • 99% im Intervall μ2,58σ,μ+2,58σμ-2,58σ, μ+2,58σ

Example: Bei n=1000, p=0,8: μ = 800, σ = 12,65 99%-Intervall: 768X768 ≤ X

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Confidence Intervals

This page details various confidence intervals and their applications.

Definition: Confidence intervals for different probability levels:

  • 90%: μ1.64σ,μ+1.64σμ-1.64σ, μ+1.64σ
  • 95%: μ1.96σ,μ+1.96σμ-1.96σ, μ+1.96σ
  • 99%: μ2.58σ,μ+2.58σμ-2.58σ, μ+2.58σ

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Bernoulli-Experiment und Binomialverteilung

Das Bernoulli-Experiment ist ein fundamentales Konzept in der Stochastik. Es beschreibt ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ausgängen: Erfolg EE mit Wahrscheinlichkeit PEE = p oder Misserfolg EˉĒ mit Wahrscheinlichkeit PEˉĒ = 1 - p = q.

Die Bernoulli-Kette entsteht, wenn das Experiment mehrfach hintereinander durchgeführt wird, wobei sich die Trefferwahrscheinlichkeit nicht ändert. Die Bernoulli-Formel wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl von Treffern in einer solchen Kette zu berechnen:

PX=kX = k = Bn,p,kn,p,k = nu¨berkn über k * p^k * q^nkn-k

Hierbei ist X die Zufallsgröße, die die Anzahl der Treffer angibt und als binomialverteilt bezeichnet wird.

Vocabulary: Binomialkoeffizient - Der Term nu¨berkn über k wird als Binomialkoeffizient bezeichnet und gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, k Elemente aus n Elementen auszuwählen.

Example: Ein praktisches Bernoulli-Experiment Beispiel wäre das mehrmalige Werfen einer Münze, wobei "Kopf" als Erfolg und "Zahl" als Misserfolg definiert wird.

Highlight: Die Bernoulli-Formel erklärt die Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine feste Anzahl von Versuchen mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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