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Binomialverteilung

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Bernoulli-Versuch:
→ Bernoulli Experiment:
2 Zufallsexperiment, mit zwei mcgüchen Ausgangen
E = Tiefer fridg
- P(E) =P (Tieffer what)
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E = Tiefer fridg
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"D Bernoulli-Versuch: → Bernoulli Experiment: 2 Zufallsexperiment, mit zwei mcgüchen Ausgangen E = Tiefer fridg - P(E) =P (Tieffer what) € = Mele I Misselag ✓ PCE) = 1- P - Q > Bernoulli Welle der lange n = Experiment wird mehrfach hinter Leirellerwhelt andet sich nicht einander durchgefübit Bernoulli-Famel: Bei einer Bemoulli welle der länge ʼn mit Tieflerwheit & gilf eur die willelt genau u Treffer zu erzielen. P ( X = k) = B (nipik) dire purattsgroße X, die are mand, der heller angitt, heißt Ginomialverteilt mit . vedere + Binomialuceffizient (R) 'n über l' AW/ (s gilt: (n) = The w'hellsverteilung heißt Bromalveitatung (der Zufallsgraße X) ho! ^ Schritt bei Aulgaten. - Cingate TR: вспірік) 51 55 (W) .p" q Stochastik n₂ K. (n-k'!) _n-k X= X ist Ginomialueleilt mit h= und p= "n-Fakultat" L (x) = n (²)) = 1 Menu 1-OPTN-Stat -dist - Binomial-Bpd- angabe: K, np (alphabetisch) Menu A - OPTN -- Prob (ingate: 5-x! Menu 1-OPTN-D-Pr06 angate: 5-nchr-3 Kumulierte (summierte) Binomialverteilung 1st x eine Gnomigil veileille zufallsgroße mit den Paramelen In und p, so gilf fur die what höchsiens u Tieller zu enielen TR: Bcd P(X≤X) = F(nipill) B(nip; 0) + и Ž (?).pl. gni 1=0 = 6 mina u P ( X 2 U) X²3 ΕΣ -o for wellere intervalle [bspw. n-10 p-4 ] a) mehr als 5 P (XP5) X45 un u A XPS X2U + B (n.pik) Ⓒ) zwischen 2 und 6. P(Z < X < 6) = P( 3 ≤ x ≤S) X ≤2 3≤x≤ $ 3 XES d) mind. 2 höchstens 6 P(2≤ x ≤6) = 1-PCX ≤5) = 1-F (10; 4 ; 5) TRỊA- CDCS,105) =...

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Alternativer Bildtext:

A - P(X ≤ 3) = A - F (A0; 4:3) T2: 1- CD (31 10; 4) - P(X $5) - P(x≤2) = F (10₁4; S) - F (10; ²4; 2) (D(...) 62W. (D(3, S. 10; A) TR: (DC...). = = P(x≤6) - P(x ≤A) Kennzahlen der Binomialverteilung → Gwallungsweit: E(X) - varianz - Standardatweichung. 1.0+ 0,8- 0,6- 0,4+ 0.2+ -P 0 1,0- 0,8- 0,6- 0,4+ 0.2 V(X)= np. g Darstellung im Saulendiagramm 4) Binomialueileitung B(10; k) 1 2 3 2 2 0 (X) = √√(x) = √n.p q 4 Menu 7 mu 5 - 6 7 8 9 10 k 123 4567 8 9 10 k Berechnen der Wahrscheinlichkeiten P(Xsk)=F(10;;k) für jedes k, z.B.: P(X ≤ 5) = 0,9976 (ingate TR (2) summiale Binomial veitatung F(10; ;k) zahl, die de bucals- variable im Mittel apammt Abweichung unterschied to quaalive chichnung vom O durchio collegining van Millequel Gigenschalien BCn.P/W) le großer p deslo weiler lechts liegt das Maximum der venteilung mil wachsendem in werden die ver- teilungen llacher & symme inscher •Cur p-os ist die verteilung symmalisisch BCnip; W) = B(ni pin-k) Frvaliatie (ingate PDICD (kinip) p und lange ʼn berechnen •Trefterwahrscheinlichkeit (gesucht) X: Anzahl del vall leistungsfähigen Spieler P ( X = 10) = 09 n=14₁ -PZU TUB: [mit tame] PCX-1U) - B( 1U; P; 14)- (^u)-p"-(1-P)⁰-plu PCX-10) 209 € €) plù 2 0.9 ©ps ^yaq D 09925 -> mil Taschenrechner → SOVEN ( PD (10.10₁P) = (₁9) 18 019925 · Lange N X. Amani gezogener roter Kugeln p=099 -D P(X²A) = 6.99 TOMATR - Menu ZU FUB PCX)2099 ) 1- POX -0) 2099 6 P(X=O) ≤ 0.01 A ⒸB (n. 0.4₁0) ≤ 001 (Ⓒ) (!). Qu° -06" 067 3 Ⓒ) (n (06) n c ≤ 001 ≤001 € in 0.01 29,02 [min n=1]. un Maximum und Gwartungsweit bei der Binomialueiteitung Das Maxmum einer Binomial velleitung • genau an der Stelle K=E(X) liegl, wenn (CX) ganzzahtig ist • dich bei der Stelle K= (CX) liegt, wenn eox) nicht gan anug ist 6 Sigmaregel 1St x eine mil den Parametein ʼn und & Gnomalvellalle Zwallsgroße mil den dwarlingsweit 0 = nip and der standard abweichung a= Uhip: q dann liegen die weite wir x in der Regel mit einer w'heit von Langeland • 68,3% im Inevall [p-σ; N + 0 ] GW. P (IX-µl) ≤ 0 •95,57%. im Intervall (p=20; p +20] 62W. P(IX-U) ≤ 20 • 997% im Intervall [p-30; µ+30) 62w. PCIX-µl) ≤ 30 Whelen sind nur ungelahie mgaten, sie sind umso genauer, je großer de lange in der Bemailli-nelle ist 0 ✓ Nur anwenden, wenn a-in.pq 3 gut (oa giung 2 Claaace Bedingung O - Beispiel: X. Anzani Manollern, die vermen. XiSt Ginomialueilelt mit n=200 und p=0₁& Berechnen se, we vele vartoffeln mit einer Sicheinhalswhat von 951. vermen werden 1. Moguchwert: 2.5% max на 180 иг 95+15 min + 200 257 max Belechnung WA PCX 2 W₁) ² 09750₁-171 Belechnung 4₂. PCX ≤ U₂) = 078 0 1₂ = 188 Garantieversprechen X Aman der Kailallein die kamen Xist tinanial verleitt mit n-200 und p=09 Berechnen sie we were kanolletn mit einer sicher halsw hot von 95% neimen werden 1. Moguchkeit: -₂ CCX-n² p = 200.09 - 180 0 2.5%. max ил 180 Иг год min 95%. 251. Belechnung un PCX 2K₁) ² 0.975 6 Berechnung U₂ PCX ≤ U₂) 9975. velirauensiplervall con 95%. 172 188 2. Moguchveit k max 190 4₂ r 951 И N 257 max min Berechnung UA.. P(X ≤UA) ≤ 0025 PCX 2 U₂) ≤ 0025 IC bewann't com Hypaneseries!) 200 MA: 172 eve 2.5% max TV U₂ пил иэл tv Uz 188 auch moguch mit 2. sigma- liegel va buch! vertrauens intervall von 957 [171, 188 Sicherheilsw'keiten-012 ist genauer! 1.90% in navall [ 0 -1.600, 0+ 1.64 al 1.1957. •951. im intervall Cv-1.960 iu + 1960) ip 99%. im nevall [N-2580;N + 2580] 0 •mit der 99% Regel: n=1000 p=980 X misst ale nahl der anwachsenden arabien u = n . p = 800 a = √n p・q² = 12,65 PC U-2,580 +2,580) > PC 768 ≤X-832) • Relalive Houdigkeit mit der 901 Regel n=720 (railer willen. Scharen se de realive Taulighet. mit der bei einer schanellswivel con 90%. en u gewalen wird. X-prelalive Hawligkeit N - 1.64a N + Abua to 901. Regel деца ≤x≤ # +1.Gua - p= pn = p n A a A G n Plc A 1.64-10 ≤ x ≤ 1 + 1,64.10 720 6 720 720 € 14,4% € X12 Schan were NO € 96 + 1.64.10 920 0013 Eine Firma produziert Glühbirnen. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Glühbirne fehlerfrei ist, beträgt 92%. Es wird eine Stichprobe von 100 Glühbirnen entnommen. X: Anzahl fehlerfreier Glühbirnen, X ist binomialverteilt n = 100, p = 0,92 Erwartungswert Wie viele fehlerfreie Glühbirnen erwartet man in der Stichprobe? ·mu Formel: ECx)==n·P/ • Rechnung: 100-0,92 = 92 Antwort: Man erwallet 92 fehlerfreie Glühbirnen in der Stichprobe Varianz und Standardabweichung Berechne die Varianz und die Standardabweichung. VCX)= Formel: V(X)=n·P· q Formel: (X)=√npq Sigma = Wahrscheinlichkeiten Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass (1) genau 90 Glühbirnen fehlerfrei sind? PCX-90) BCA00; 0.92:90) - 01024-10.247. (2) höchstens 90 Glühbirnen fehlerfrei sind? PCX ≤90)= F(100; 0,92:90) = 0.2780 = 27.8%. Rechnung: 100-0,92-008-7,36 g-Gegener- eignis Rechnung ox)-√√CX) -√736=271 ca 671 aller were liegen im Bereich: [μ-0₁µ₁+0] = [89,29; 96,71] [१०:१५]]] U-92 ACO on (3) weniger als 90 Glühbirnen fehlerfrei sind? PCX <90) = PCX ≤89)= FC100;0,92; 89) - 01757-17,57%. 671.: P(90 ≤ x ≤90) =P(x≤qu) - PCX ≤84) =FC1001092;94) - F(100;0,9289) Neu Eingabe: (D(90,91,100,0,92) (4) mehr als 90 Glühbirnen fehlerfrei sind? P(X>90)=1-PCxsac) - 1-FC100,0,92;90)=1-0,278 = 0,722=72,2% X-K 90.1 (5) mindestens 90 Glühbirnen fehlerfrei sind? PCX 290) - 1-PCX ≤89) = 1 - FC 100;0,92:89) = 1-0, 1757 = 0₁8243= 82,43% 90,A (6) mindestens 80, aber höchstens 90 Glühbirnen fehlerfrei sind? P(80 ≤ x ≤90) = P(x≤90) - P(x≤79) = (100: 0,92; 90) - F(100:002; 79) = EINGABETR INGUT = CDC 80,90, 100,092) = 0,278 = 27,8% (7) mehr als 80 aber weniger als 90 Glühbirnen fehlerfrei sind? P(80<x<90)=P(x ≤89) - PCX²80) F(100; 0,92; 89) - FCA00; 0,92;80) = 0,1756=17,567. 81 P(81≤ x ≤89) = fur Taschenrechner CD ( 29,90 intervall