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A - P(X ≤ 3) =^ - F (10 ; 4 ; 3) T2 : 1 - (D C B 1 10 ; 4) = P(X ≤5) - P(x≤2) = F ( 10₁ ^ ; S) - F( 10₁ ²/² (2) TR: (DC...) - CD(...) 62W. (D(3,5.10; A) = P(x≤6) - P(x ≤ 1) PCX A) Kenmahlen der Binomialverteilung → Gwallungswert: E(X) - varianz it. -P - Standardabweichung 1,0+ 0,8+ 0,6+ 0.4 ·0,2€ o i 0 1,0+ 0,8+ 0,6- 0,4+ 0,2 Tr B(10; ; k) Darstellung im Saulenciagramm 1) Binomialueileitung 2 2 p V(X) = np.q пря 4 5 6 7 8 mu 0 (X) = √√(x) = √n.p q - 11 9 10 nop 3 Gem Millel anammt пор die de bucalls- k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k Berechnen der Wahrscheinlichkeiten P(Xsk)=F(10; 1;k) für jedes k, z. B.: P(X ≤ 5) = 0,9976 (ingate TR Menu 7- AGweichung cunterschied to quadline chichnung catchnung vom Minelwelt O ▲ (2) summiele Binomial veilatling F(10; ; k) burchin chlearning van Millelweit Cigenschalten BChip:W) le großer p deslo weiler lechts legt das Maximum der venteilung mil wachsendem in werden die ver- teilungen llacher & symme inscher Cur pos ist die verteilung symmelluich вспіри) - вспір: n-k) Frvariatie (ingabe PDICOCkinip) p und lange ʼn berechnen: •Trefterwahrscheinlichkeit (gesucht) X: Anzahl der vall reislungslangen spieler пели P= ?"^ P ( X = 10) = 09 → ZU TUB: [mit tame] PCX=1U) - B(1U; P; 14) - (^u).pu. (1-P)° -plu ли PCX=10) 209 E €) plu 2 0,9 6 ps ^yaq 09925 -> mil Taschenrechner - Solven ( PD (10.10. P) = (19) 1409925 • Lange N s X: manu gezogener roter Kugeln p=099 -D P(X²A) = 0.99 - 2U TUB P(X) ²0.99 €) 1 - P(X-0) ²0 9 9 6) P(X=0) - СОЛ B (ni 0₁4₁0) ≤ 001 A ED (1). Qu° -06^ TR MATR - Menu 7 C TO A Ⓒ) (n (06) n n = 9,02 E 06 ≤001 ≤001 € in 0.01 [min n=10] ! Tun Maximum und Gwartungsweit bei der Binomialverteilung Das Maximum einer Binomial velleitung • genau an der Stelle K=ECX) Liegi, wenn (CX) ganzzahtig ist • dicht bei der Stelle K= ECX) liegt, wenn ECX) nicht ganLanug ist 0 Sigmareget 1st X eine mil den Parametein in und p anomalvertelle Zwallsgraße mit den awarlingswet p=n_p und der standard abweichung a= √n.p=q dann wegen die weite wir x in der Regel mit einer w'helt von ungefahr • 68,3% im Inevall [p = 0;N+0] (W. P (IX-µ1) ≤ 0 • 95,57%. im inevall [ ²20 ; U+20] 62W_P(TX-p) ≤20 • 99,7% im Intervall [µ-30; µ+30] 62w. PC|X-µl) ≤ 30 4 M Whelen sind nur ungelanie mngaten, sie sind umso genauer, je großer de lange in der Bemalli-velle ist 0 7 Nur anwenden, wenn a-vn. p q > 3 gur Claaace 2 Bedingung 101 to Beispiel: X. Anzani Manoffeln, die vermen. Xist binomialuevent mit n=200 und p=0,9 Berechnen sie, wie vele vartoffeln mit einer Sicherhalswhat von 951. Wemen werden 4. Möglichkeit: 0 tvt 2.5.1 max на 18012 D 200 Fot 9560 12.57 min max Belechnung KA PCX 2 WA) ² 0975 +4²-171 Belechnung U₂ PCX ≤ U₂) = 0,043 04₂ = 188 Garantieversprechen X: Amzan der Kailalleen die kamen Xist Ginamiat verleitt mit in- 200 und p=0,9 Belechnen Sie, we dele kanolleln mit einer sicher hats what von 95% heimen werden. 1. Moguchkeit: 0 2.5%. max G 2 ST max ил 180 Иг гоо min 95%. 251. max Belechnung ₁: PCX ²K₁) ² 0,975 Berechnung K₂ PCX ≤ U₂) = 0975 vertrauensiplervall von 95%. [ 172 188 2. Moguchkeit (bevannt com Hypaneseriest) पेन 190 ₂ 95% -₂ CCX-n² p = 200.09 = 180 min ... Belechnung UA PCX ≤U₁) ≤ 0025 PCX 2 U₂) ≤ a025 200 Eve 2.5% max тил: 172 tv 4₂ оил нэл V 4₂ 188 9 vairauens intervall con 951 [11, 188] auch moguch mit 2. sigma. iegel va buch! b Sicherheitsw'keiten T2 ist genauer •90% im mevall [-1.640; 0 + 1.640] 95 im intervall CV-1.960 iu + 1,96 0)_ Scharwerle глава 99%. in nevall (0-2,580;N+2580] •。mit der 99%. Regel: n=1000 p=980 D X misst die U=n·P = 800 a = √np.q² = 12,65 PC U-2,580 ; µ + 2,580) > PC 768 ≤X²832) • Relalive Halligkeit mit der 901 Regel. n-720 (failer willen. Scharen se de realive nautighat. mit der ter einer schehellswivell com 90%. en u gevallen leira aman Anzahl der anwachsenden planen X-relalive Hawnigkeit U-16ua N + 164 a © 2-A64a ≤ x≤ # +1.6ua to авча n e 410 1.64-10 ≤ x ≤ 1 + 1.64.10 920 6 720 720 © 14,4% € £ $197⁰ to 901. Regel H A - 1.64.10 #20 P = 0013 { Eine Firma produziert Glühbirnen. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Glühbirne fehlerfrei ist, beträgt 92%. Es wird eine Stichprobe von 100 Glühbirnen entnommen. X: Anzahl fehlerfreier Glühbirnen, X ist binomialverteilt n = 100, p = 0,92 Erwartungswert mu Wie viele fehlerfreie Glühbirnen erwartet man in der Stichprobe? Formel: (CX)=²=n·P Rechnung: 100-0,92 = 92 Antwort: Man erwallet 92 fehlerfreie Glühbinen in der Stichprobe Varianz und Standardabweichung Berechne die Varianz und die Standardabweichung. VCX)= Formel: V(X)= ⋅p.q Formel: (X)=√np.q Sigma e Rechnung: 100-0,92-008-7,36 g-Gegener- eignis Rechnung; ox)=√√CX) -√7.36 = 2,71 Wahrscheinlichkeiten Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass (1) genau 90 Glühbirnen fehlerfrei sind? PCX-90)= BCA00; 0.92:90)- - 0.1024-10.247. ca 671 aller were liegen im Bereich: [μ-0²μ+0] - [89, 29: 96,71] [१०:१५] (2) höchstens 90 Glühbirnen fehlerfrei sind? PCX ≤ 9C) = F(100; 0,92:90) - 0₁2780 = 27,8%. (3) weniger als 90 Glühbirnen fehlerfrei sind? PCX <90) = PCX ≤89) = FC100;0,92; 89) = 011757-17,57%. U-92 ACO In 671.: P(90 ≤ x ≤9) =P(x≤qu) - PCX ≤84) =F(100:992;94) - FC100;0,92 89) Neu Eingabe: (D(90,91,100,0,92) (4) mehr als 90 Glühbirnen fehlerfrei sind? P(X>90)=1-P(xsac) - 1-FC100,0,92;90) = 1-0,278 = 0,722=72,2% X-K 90.A (5) mindestens 90 Glühbirnen fehlerfrei sind? PCX 290) - 1-PCX ≤89) = 1 - FC 100;0,92:89) = 1-0, 1757 = 0,8 243= 82,43% I don (6) mindestens 80, aber höchstens 90 Glühbirnen fehlerfrei sind? P (80 ≤ x ≤90) = P(x≤90) - P(x≤79) = F(100:0,92; 90) - F(100:992;79] = EINGABETR [NEU] = CDC 80,90, 100, 092) = 0,278 = 27,8%. (7) mehr als 80 aber weniger als 90 Glühbirnen fehlerfrei sind? P(80<x<90)=P(x ≤89) - PCX²80) F(100; 0,92; 89) - FCA00; 0,92; 80) = 0,1756=17,56%. 81 @P(SA≤ x ≤ 89) = fuir Taschenrechner CDC29,90 Intervall