Kumulierte Binomialverteilung

Die kumulierte (summierte) Binomialverteilung ist ein wichtiges Konzept in der Stochastik. Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, höchstens k Treffer zu erzielen:

P(X ≤ k) = F(n,p,k) = Σ(i=0 bis k) B(n,p,i)

Diese Formel ist besonders nützlich für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in verschiedenen Intervallen:

1. Mehr als k Treffer: P(X > k) = 1 - F(n,p,k)
2. Zwischen a und b Treffer: P(a ≤ X ≤ b) = F(n,p,b) - F(n,p,a-1)
3. Mindestens a und höchstens b Treffer: P(a ≤ X ≤ b) = F(n,p,b) - F(n,p,a-1)

Example: Bei einem Bernoulli-Experiment mit n=10 und p=0,4 kann man die Wahrscheinlichkeit für höchstens 5 Treffer mit F(10,0.4,5) berechnen.

Highlight: Die kumulierte Binomialverteilung ist besonders nützlich für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in Intervallen und für "mindestens" oder "höchstens" Szenarien.

Vocabulary: Kumulierte Wahrscheinlichkeit - Die Summe der Wahrscheinlichkeiten für alle Ergebnisse bis zu einem bestimmten Wert.

Berechnung von p und n

In manchen Fällen müssen die Parameter p (Trefferwahrscheinlichkeit) oder n (Länge der Bernoulli-Kette) berechnet werden:

1. Berechnung von p: Wenn die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl von Treffern gegeben ist, kann p durch Lösen der entsprechenden Gleichung gefunden werden.

2. Berechnung von n: Wenn die Wahrscheinlichkeit für mindestens oder höchstens eine bestimmte Anzahl von Treffern gegeben ist, kann n durch schrittweises Erhöhen gefunden werden.

Example: Wenn P(X = 10) = 0,9 bei n = 14 gegeben ist, kann p durch Lösen der Gleichung 0,9 = (14 über 10) * p^10 * (1-p)^4 gefunden werden.

Highlight: Die Berechnung von p und n erfordert oft den Einsatz von Taschenrechnern oder Computerprogrammen, da die Gleichungen komplex sein können.