Kenngrößen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen - Binomialverteilung

Die mathematische Analyse binomialverteilter Zufallsgrößen erlaubt es uns, komplexe Probleme zu lösen:

• Wir können berechnen, wie wahrscheinlich bestimmte Ereignisse sind
• Wir können Schätzungen über den zu erwartenden Bereich möglicher Ergebnisse abgeben
• Wir können fundierte Entscheidungen unter Unsicherheit treffen

Diese stochastischen Methoden finden Anwendung in vielen Bereichen wie Wirtschaft, Medizin und Naturwissenschaften.

Beispiel: Wenn bei einer Befragung 48% der Schüler regelmäßig YouTube nutzen, können wir mit Hilfe der Binomialverteilung berechnen, wie wahrscheinlich es ist, dass in einer zufälligen Stichprobe von 25 Schülern mindestens 15 YouTube-Nutzer sind.

Standardabweichung

Die Standardabweichung hilft uns, die Genauigkeit von Vorhersagen einzuschätzen und mögliche Abweichungen zu quantifizieren.

Praktische Anwendung der Sigmaregeln:

• Die 68,3%-Regel (1σ-Regel) gibt einen wahrscheinlichen Bereich für alltägliche Schwankungen an
• Die 95,4%-Regel (2σ-Regel) wird häufig für Prognosen und Konfidenzintervalle verwendet
• Die 99,7%-Regel (3σ-Regel) dient der Identifikation sehr unwahrscheinlicher Ereignisse

Bei der Rundung der Intervallgrenzen gilt:

• Untere Grenze: aufrunden, wenn negativ oder Dezimalbruch
• Obere Grenze: abrunden

Praxistipp: Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße muss nicht ganzzahlig sein, obwohl die Zufallsgröße selbst nur ganzzahlige Werte annimmt. Beispielsweise ist der Erwartungswert für die Anzahl der Sonntagskinder μ = 3, aber die tatsächliche Anzahl ist immer eine ganze Zahl zwischen 0 und 21.

Binompdf und Binomcdf

Praktische Anwendungsbeispiele für Berechnungen mit binomPdf und binomCdf:

1. Exakte Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl:

   • Fragestellung: "Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind genau 3 von 10 Produkten fehlerhaft?"
   • Berechnung: P(X=3) = binomPdf(10,0.2,3)

2. Wahrscheinlichkeit für ein Intervall:

   • Fragestellung: "Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind zwischen 5 und 8 Teilnehmer erfolgreich?"
   • Berechnung: P(5≤X≤8) = binomCdf(20,0.3,5,8)

3. Wahrscheinlichkeit für "mindestens k Erfolge":

   • Fragestellung: "Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind mindestens 2 Treffer zu erwarten?"
   • Berechnung: P(X≥2) = binomCdf(10,0.4,2,10) oder 1-binomCdf(10,0.4,0,1)

Wichtige Formeln:

• Genau k Erfolge: P(X=k) = binomPdf(n,p,k)
• Höchstens k Erfolge: P(X≤k) = binomCdf(n,p,0,k)
• Mindestens k Erfolge: P(X≥k) = binomCdf(n,p,k,n) = 1-binomCdf(n,p,0,k-1)
• Zwischen a und b Erfolge: P(a≤X≤b) = binomCdf(n,p,a,b)

Erwartungswert und Standardabweichung

Die praktische Anwendung von Erwartungswert und Standardabweichung umfasst viele Bereiche:

• Qualitätskontrolle: Berechnung der erwarteten Anzahl defekter Produkte
• Versicherungsmathematik: Kalkulation von Prämienhöhen basierend auf erwarteten Schäden
• Finanzwesen: Bewertung von Anlagerisiken anhand der Standardabweichung der Rendite
• Spieltheorie: Beurteilung, ob ein Glücksspiel fair ist

Besonders wichtig ist das Verständnis dieser Kenngrößen für die Binomialverteilung:

• Der Erwartungswert μ = n·p gibt an, wie viele Erfolge bei n Versuchen im Mittel zu erwarten sind
• Die Standardabweichung σ = √(n·p·(1-p)) gibt an, wie stark die tatsächliche Anzahl der Erfolge vom Erwartungswert abweichen kann
• Mit den Sigmaregeln kann man Intervalle um den Erwartungswert angeben, in denen die Zufallsgröße mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit liegt

Anwendungsbeispiel: Bei einer Klausur mit 30 Multiple-Choice-Fragen und jeweils 4 Antwortmöglichkeiten beträgt die Ratewahrscheinlichkeit p = 0,25. Der Erwartungswert für einen Schüler, der nur rät, ist μ = 30 · 0,25 = 7,5 Punkte. Die Standardabweichung beträgt σ = √(30 · 0,25 · 0,75) ≈ 2,4 Punkte. Mit 95,4% Wahrscheinlichkeit liegt die Punktzahl zwischen 2,7 und 12,3 Punkten.