Die kumulierte Binomialverteilung
Die kumulierte Binomialverteilung ermöglicht präzise Berechnungen für verschiedene Wahrscheinlichkeitsszenarien:
Beispiel zur Qualitätskontrolle:
Ein Hersteller weiß, dass 2% seiner Produkte fehlerhaft sind. Eine Stichprobe von 100 Produkten wird gezogen.
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Wahrscheinlichkeit für höchstens 3 fehlerhafte Produkte:
- PX≤3 = binomCdf100,0.02,0,3 ≈ 0,932 = 93,2%
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Wahrscheinlichkeit für genau 2 fehlerhafte Produkte:
- PX=2 = binomPdf100,0.02,2 ≈ 0,270 = 27,0%
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Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 fehlerhaftes Produkt:
- PX≥1 = 1 - PX=0 = 1 - binomPdf100,0.02,0 ≈ 0,867 = 86,7%
Die graphische Darstellung der kumulierten Binomialverteilung als Treppenfunktion zeigt, wie die Wahrscheinlichkeit mit steigendem k zunimmt:
0 → 1 → 2 → 3 → 4 → ... → n
Vergleich mit Sigmaregeln: Die kumulierte Binomialverteilung liefert exakte Wahrscheinlichkeiten, während die Sigmaregeln nur Näherungswerte bieten. Beispielsweise gibt die 2σ-Regel an, dass eine binomialverteilte Zufallsgröße mit etwa 95,4% Wahrscheinlichkeit im Intervall μ−2σ,μ+2σ liegt. Die exakte Wahrscheinlichkeit kann mit binomCdfn,p,⌈μ−2σ⌉,⌊μ+2σ⌋ berechnet werden und weicht oft leicht von 95,4% ab.