Kenngrößen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen - Binomialverteilung

Die mathematische Analyse binomialverteilter Zufallsgrößen erlaubt es uns, komplexe Probleme zu lösen:

• Wir können berechnen, wie wahrscheinlich bestimmte Ereignisse sind
• Wir können Schätzungen über den zu erwartenden Bereich möglicher Ergebnisse abgeben
• Wir können fundierte Entscheidungen unter Unsicherheit treffen

Diese stochastischen Methoden finden Anwendung in vielen Bereichen wie Wirtschaft, Medizin und Naturwissenschaften.

Beispiel: Wenn bei einer Befragung 48% der Schüler regelmäßig YouTube nutzen, können wir mit Hilfe der Binomialverteilung berechnen, wie wahrscheinlich es ist, dass in einer zufälligen Stichprobe von 25 Schülern mindestens 15 YouTube-Nutzer sind.

Bernoulli-Kette

Der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ in der Bernoulli-Formel gibt die Anzahl der möglichen Pfade im Baumdiagramm an, die zu genau k Erfolgen führen.

• Er berechnet sich als $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
• Jeder dieser Pfade hat die Wahrscheinlichkeit $p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
• Die Gesamtwahrscheinlichkeit ergibt sich durch Multiplikation dieser beiden Faktoren

Mit Hilfe eines Grafikrechners kann man Wahrscheinlichkeiten für binomialverteilte Zufallsgrößen berechnen:

• Die Funktion binomPdf$n,p,k$ berechnet die Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge

Tipp für die Praxis: Bei der Modellierung realer Probleme mit der Binomialverteilung prüfen Sie immer, ob alle drei Bedingungen erfüllt sind: zwei mögliche Ausgänge, Unabhängigkeit der Versuche und konstante Trefferwahrscheinlichkeit.

Standardabweichung

Die Standardabweichung hilft uns, die Genauigkeit von Vorhersagen einzuschätzen und mögliche Abweichungen zu quantifizieren.

Praktische Anwendung der Sigmaregeln:

• Die 68,3%-Regel $1σ-Regel$ gibt einen wahrscheinlichen Bereich für alltägliche Schwankungen an
• Die 95,4%-Regel $2σ-Regel$ wird häufig für Prognosen und Konfidenzintervalle verwendet
• Die 99,7%-Regel $3σ-Regel$ dient der Identifikation sehr unwahrscheinlicher Ereignisse

Bei der Rundung der Intervallgrenzen gilt:

• Untere Grenze: aufrunden, wenn negativ oder Dezimalbruch
• Obere Grenze: abrunden

Praxistipp: Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße muss nicht ganzzahlig sein, obwohl die Zufallsgröße selbst nur ganzzahlige Werte annimmt. Beispielsweise ist der Erwartungswert für die Anzahl der Sonntagskinder μ = 3, aber die tatsächliche Anzahl ist immer eine ganze Zahl zwischen 0 und 21.

Binompdf und Binomcdf

Praktische Anwendungsbeispiele für Berechnungen mit binomPdf und binomCdf:

1. Exakte Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl: Fragestellung: "Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind genau 3 von 10 Produkten fehlerhaft?" Berechnung: P$X=3$ = binomPdf$10,0.2,3$
2. Wahrscheinlichkeit für ein Intervall: Fragestellung: "Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind zwischen 5 und 8 Teilnehmer erfolgreich?" Berechnung: P$5≤X≤8$ = binomCdf$20,0.3,5,8$
3. Wahrscheinlichkeit für "mindestens k Erfolge": Fragestellung: "Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind mindestens 2 Treffer zu erwarten?" Berechnung: P$X≥2$ = binomCdf$10,0.4,2,10$ oder 1-binomCdf$10,0.4,0,1$

Wichtige Formeln:

• Genau k Erfolge: P$X=k$ = binomPdf$n,p,k$
• Höchstens k Erfolge: P$X≤k$ = binomCdf$n,p,0,k$
• Mindestens k Erfolge: P$X≥k$ = binomCdf$n,p,k,n$ = 1-binomCdf$n,p,0,k-1$
• Zwischen a und b Erfolge: P$a≤X≤b$ = binomCdf$n,p,a,b$

Erwartungswert

Bei wiederholten Zufallsexperimenten ist der Erwartungswert eine wichtige Orientierungsgröße:

• Der Erwartungswert gibt an, welches Ergebnis im Mittel zu erwarten ist
• Die Standardabweichung gibt an, wie stark die einzelnen Ergebnisse vom Erwartungswert abweichen können
• Zusammen bieten beide Kenngrößen ein vollständigeres Bild der Wahrscheinlichkeitsverteilung

Für praktische Anwendungen ist es wichtig zu verstehen:

• Der Erwartungswert ist ein theoretischer Wert, der bei einzelnen Durchführungen nicht unbedingt auftritt
• Bei einer großen Anzahl von Wiederholungen nähern sich die durchschnittlichen Ergebnisse dem Erwartungswert an

Gesetz der großen Zahlen: Bei einer sehr großen Anzahl von unabhängigen Wiederholungen eines Zufallsexperiments nähert sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses seiner Wahrscheinlichkeit an. Entsprechend nähert sich der durchschnittliche Wert einer Zufallsgröße ihrem Erwartungswert an.

Stochastik-Aufgaben: Autohersteller und Lampen

Ein praktisches Beispiel aus der Qualitätskontrolle:

Ein Autohersteller bestellt Scheinwerferlampen, wobei erfahrungsgemäß 4% der Lampen fehlerhaft sind.

a) Erwartete Anzahl fehlerhafter Lampen in einer Lieferung von 5000 Stück:

• Erwartungswert μ = n·p = 5000·0,04 = 200
• Standardabweichung σ = √$n·p·(1-p$) = √$5000·0,04·0,96$ ≈ 13,9

b) Benötigte Bestellmenge für mindestens 6000 fehlerfreie Lampen:

• n·$1-p$ = 6000
• n·0,96 = 6000
• n = 6000/0,96 = 6250 Lampen

c) Intervall für die Anzahl fehlerhafter Lampen bei 3000 Stück mit 99,7% Sicherheit:

• Erwartungswert μ = 3000·0,04 = 120
• Standardabweichung σ = √$3000·0,04·0,96$ ≈ 10,8
• 3σ-Intervall: $120-3·10,8; 120+3·10,8$ = $87,6; 152,4$ → $88; 152$

Wichtige Anwendung: Der Erwartungswert und die Standardabweichung helfen bei der Planung von Bestellmengen und Lagerbeständen. Das 3σ-Intervall ist besonders nützlich, wenn eine sehr hohe Sicherheit $99,7$ erforderlich ist, etwa bei der Dimensionierung von Sicherheitsbeständen oder Qualitätskontrollen.

Stochastik: Regeln im Baumdiagramm

Für komplexere Fragestellungen werden Baumdiagramme mit bedingten Wahrscheinlichkeiten kombiniert:

• Bedingte Wahrscheinlichkeiten geben die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses unter der Bedingung an, dass ein anderes Ereignis bereits eingetreten ist
• Im Baumdiagramm stehen diese auf den Ästen der zweiten und weiteren Stufen
• Die Notation P$A|B$ bezeichnet die Wahrscheinlichkeit für A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist

Beispiel für die Anwendung dieser Konzepte:

• Eine Umfrage wird bei 125 Männern und 125 Frauen durchgeführt
• 56% der Männer und 40% der Frauen nutzen YouTube zur Vorbereitung
• Die Zufallsgröße "Nutzt YouTube" kann die Werte 1 $ja$ oder 0 $nein$ annehmen
• Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person YouTube nutzt, beträgt: P$YT$ = P$w$ · P$YT|w$ + P$m$ · P$YT|m$ = 0,5 · 0,4 + 0,5 · 0,56 = 0,48

Wichtige Formel: Die Formel P$A∩B$ = P$B$ · P$A|B$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten beider Ereignisse A und B. Diese wird im Baumdiagramm durch Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades berechnet.

Erwartungswert und Standardabweichung

Die praktische Anwendung von Erwartungswert und Standardabweichung umfasst viele Bereiche:

• Qualitätskontrolle: Berechnung der erwarteten Anzahl defekter Produkte
• Versicherungsmathematik: Kalkulation von Prämienhöhen basierend auf erwarteten Schäden
• Finanzwesen: Bewertung von Anlagerisiken anhand der Standardabweichung der Rendite
• Spieltheorie: Beurteilung, ob ein Glücksspiel fair ist

Besonders wichtig ist das Verständnis dieser Kenngrößen für die Binomialverteilung:

• Der Erwartungswert μ = n·p gibt an, wie viele Erfolge bei n Versuchen im Mittel zu erwarten sind
• Die Standardabweichung σ = √$n·p·(1-p$) gibt an, wie stark die tatsächliche Anzahl der Erfolge vom Erwartungswert abweichen kann
• Mit den Sigmaregeln kann man Intervalle um den Erwartungswert angeben, in denen die Zufallsgröße mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit liegt

Anwendungsbeispiel: Bei einer Klausur mit 30 Multiple-Choice-Fragen und jeweils 4 Antwortmöglichkeiten beträgt die Ratewahrscheinlichkeit p = 0,25. Der Erwartungswert für einen Schüler, der nur rät, ist μ = 30 · 0,25 = 7,5 Punkte. Die Standardabweichung beträgt σ = √$30 · 0,25 · 0,75$ ≈ 2,4 Punkte. Mit 95,4% Wahrscheinlichkeit liegt die Punktzahl zwischen 2,7 und 12,3 Punkten.

Bernoulli-Formel und Binomialverteilung

Die praktische Anwendung der Bernoulli-Formel und Binomialverteilung umfasst viele Bereiche:

Qualitätskontrolle:

• Bei einer Stichprobe von 20 Produkten mit einer Fehlerrate von 3%: Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind höchstens 2 Produkte fehlerhaft?
• P$X≤2$ = binomCdf$20,0.03,0,2$ ≈ 0,992 = 99,2%

Medizinische Tests:

• Bei einem Screening-Test mit 5% falsch-positiven Ergebnissen: Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhalten bei 100 gesunden Personen mindestens 8 ein falsch-positives Ergebnis?
• P$X≥8$ = 1-P$X≤7$ = 1-binomCdf$100,0.05,0,7$ ≈ 0,16 = 16%

Wahlprognosen:

• Wenn ein Kandidat mit einer Wahrscheinlichkeit von 52% gewählt wird: Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt er in mindestens 3 von 5 Wahlkreisen?
• P$X≥3$ = binomCdf$5,0.52,3,5$ ≈ 0,55 = 55%

Modellierungshinweis: Bei der Anwendung der Binomialverteilung ist es wichtig zu prüfen, ob die Voraussetzungen erfüllt sind: $1$ feste Anzahl von Versuchen, $2$ zwei mögliche Ausgänge pro Versuch, $3$ konstante Erfolgswahrscheinlichkeit und $4$ Unabhängigkeit der Versuche. Besonders die Unabhängigkeit kann in realen Situationen verletzt sein, etwa wenn bei einer Stichprobe ohne Zurücklegen die Grundgesamtheit klein ist.

Die kumulierte Binomialverteilung

Die kumulierte Binomialverteilung ermöglicht präzise Berechnungen für verschiedene Wahrscheinlichkeitsszenarien:

Beispiel zur Qualitätskontrolle: Ein Hersteller weiß, dass 2% seiner Produkte fehlerhaft sind. Eine Stichprobe von 100 Produkten wird gezogen.

1. Wahrscheinlichkeit für höchstens 3 fehlerhafte Produkte: P$X≤3$ = binomCdf$100,0.02,0,3$ ≈ 0,932 = 93,2%
2. Wahrscheinlichkeit für genau 2 fehlerhafte Produkte: P$X=2$ = binomPdf$100,0.02,2$ ≈ 0,270 = 27,0%
3. Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 fehlerhaftes Produkt: P$X≥1$ = 1 - P$X=0$ = 1 - binomPdf$100,0.02,0$ ≈ 0,867 = 86,7%

Die graphische Darstellung der kumulierten Binomialverteilung als Treppenfunktion zeigt, wie die Wahrscheinlichkeit mit steigendem k zunimmt:

0 → 1 → 2 → 3 → 4 → ... → n

Vergleich mit Sigmaregeln: Die kumulierte Binomialverteilung liefert exakte Wahrscheinlichkeiten, während die Sigmaregeln nur Näherungswerte bieten. Beispielsweise gibt die 2σ-Regel an, dass eine binomialverteilte Zufallsgröße mit etwa 95,4% Wahrscheinlichkeit im Intervall $μ-2σ, μ+2σ$ liegt. Die exakte Wahrscheinlichkeit kann mit binomCdf$n,p,⌈μ-2σ⌉,⌊μ+2σ⌋$ berechnet werden und weicht oft leicht von 95,4% ab.