Binompdf und Binomcdf

Praktische Anwendungsbeispiele für Berechnungen mit binomPdf und binomCdf:

1. Exakte Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl:

   • Fragestellung: "Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind genau 3 von 10 Produkten fehlerhaft?"
   • Berechnung: P(X=3) = binomPdf(10,0.2,3)

2. Wahrscheinlichkeit für ein Intervall:

   • Fragestellung: "Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind zwischen 5 und 8 Teilnehmer erfolgreich?"
   • Berechnung: P(5≤X≤8) = binomCdf(20,0.3,5,8)

3. Wahrscheinlichkeit für "mindestens k Erfolge":

   • Fragestellung: "Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind mindestens 2 Treffer zu erwarten?"
   • Berechnung: P(X≥2) = binomCdf(10,0.4,2,10) oder 1-binomCdf(10,0.4,0,1)

Wichtige Formeln:

• Genau k Erfolge: P(X=k) = binomPdf(n,p,k)
• Höchstens k Erfolge: P(X≤k) = binomCdf(n,p,0,k)
• Mindestens k Erfolge: P(X≥k) = binomCdf(n,p,k,n) = 1-binomCdf(n,p,0,k-1)
• Zwischen a und b Erfolge: P(a≤X≤b) = binomCdf(n,p,a,b)

Erwartungswert

Bei wiederholten Zufallsexperimenten ist der Erwartungswert eine wichtige Orientierungsgröße:

• Der Erwartungswert gibt an, welches Ergebnis im Mittel zu erwarten ist
• Die Standardabweichung gibt an, wie stark die einzelnen Ergebnisse vom Erwartungswert abweichen können
• Zusammen bieten beide Kenngrößen ein vollständigeres Bild der Wahrscheinlichkeitsverteilung

Für praktische Anwendungen ist es wichtig zu verstehen:

• Der Erwartungswert ist ein theoretischer Wert, der bei einzelnen Durchführungen nicht unbedingt auftritt
• Bei einer großen Anzahl von Wiederholungen nähern sich die durchschnittlichen Ergebnisse dem Erwartungswert an

Gesetz der großen Zahlen: Bei einer sehr großen Anzahl von unabhängigen Wiederholungen eines Zufallsexperiments nähert sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses seiner Wahrscheinlichkeit an. Entsprechend nähert sich der durchschnittliche Wert einer Zufallsgröße ihrem Erwartungswert an.

Stochastik: Regeln im Baumdiagramm

Für komplexere Fragestellungen werden Baumdiagramme mit bedingten Wahrscheinlichkeiten kombiniert:

• Bedingte Wahrscheinlichkeiten geben die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses unter der Bedingung an, dass ein anderes Ereignis bereits eingetreten ist
• Im Baumdiagramm stehen diese auf den Ästen der zweiten und weiteren Stufen
• Die Notation P(A|B) bezeichnet die Wahrscheinlichkeit für A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist

Beispiel für die Anwendung dieser Konzepte:

• Eine Umfrage wird bei 125 Männern und 125 Frauen durchgeführt
• 56% der Männer und 40% der Frauen nutzen YouTube zur Vorbereitung
• Die Zufallsgröße "Nutzt YouTube" kann die Werte 1 (ja) oder 0 (nein) annehmen
• Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person YouTube nutzt, beträgt: P(YT) = P(w) · P(YT|w) + P(m) · P(YT|m) = 0,5 · 0,4 + 0,5 · 0,56 = 0,48

Wichtige Formel: Die Formel P(A∩B) = P(B) · P(A|B) beschreibt die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten beider Ereignisse A und B. Diese wird im Baumdiagramm durch Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades berechnet.

Erwartungswert und Standardabweichung

Die praktische Anwendung von Erwartungswert und Standardabweichung umfasst viele Bereiche:

• Qualitätskontrolle: Berechnung der erwarteten Anzahl defekter Produkte
• Versicherungsmathematik: Kalkulation von Prämienhöhen basierend auf erwarteten Schäden
• Finanzwesen: Bewertung von Anlagerisiken anhand der Standardabweichung der Rendite
• Spieltheorie: Beurteilung, ob ein Glücksspiel fair ist

Besonders wichtig ist das Verständnis dieser Kenngrößen für die Binomialverteilung:

• Der Erwartungswert μ = n·p gibt an, wie viele Erfolge bei n Versuchen im Mittel zu erwarten sind
• Die Standardabweichung σ = √(n·p·(1-p)) gibt an, wie stark die tatsächliche Anzahl der Erfolge vom Erwartungswert abweichen kann
• Mit den Sigmaregeln kann man Intervalle um den Erwartungswert angeben, in denen die Zufallsgröße mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit liegt

Anwendungsbeispiel: Bei einer Klausur mit 30 Multiple-Choice-Fragen und jeweils 4 Antwortmöglichkeiten beträgt die Ratewahrscheinlichkeit p = 0,25. Der Erwartungswert für einen Schüler, der nur rät, ist μ = 30 · 0,25 = 7,5 Punkte. Die Standardabweichung beträgt σ = √(30 · 0,25 · 0,75) ≈ 2,4 Punkte. Mit 95,4% Wahrscheinlichkeit liegt die Punktzahl zwischen 2,7 und 12,3 Punkten.