Einmaliges Ausklammern

Ausklammern funktioniert immer dann, wenn alle Teile deines Terms einen gemeinsamen Faktor haben. Du suchst einfach nach dem, was überall drinsteht, und ziehst es vor die Klammer.

Bei Zahlen ist das ziemlich einfach: Aus 7a + 7b wird 7$a + b$. Bei Variablen genauso: 5ab - 3a wird zu a$5b - 3$. Du kannst auch beides gleichzeitig ausklammern - aus 6abc + 4abd wird dann 4ab$c + d$.

Profi-Tipp: Bei größeren Zahlen zerlegst du sie am besten in Primfaktoren. So erkennst du gemeinsame Faktoren viel schneller!

Der Trick ist, immer den größten gemeinsamen Faktor zu finden. Je mehr du ausklammerst, desto einfacher wird dein Term.

Mehrmaliges Ausklammern

Manchmal kannst du nicht alles auf einmal ausklammern - dann gehst du schrittweise vor. Du teilst deinen Term in Gruppen auf und klammerst aus jeder Gruppe separat aus.

Schau dir 3ax - 6x + 4a - 8 an: Erst bildest du zwei Gruppen und klammerst getrennt aus. Aus der ersten Gruppe $3ax - 6x$ wird 3x$a - 2$, aus der zweiten $4a - 8$ wird 4$a - 2$.

Jetzt siehst du, dass $a - 2$ in beiden Teilen vorkommt! Das kannst du wieder ausklammern: 3x$a - 2$ + 4$a - 2$ = $a - 2$$3x + 4$.

Wichtig: Diese Methode funktioniert nur, wenn nach dem ersten Ausklammern identische Klammerausdrücke entstehen.

Erste Binomische Formel

Die erste binomische Formel erkennst du an drei Teilen: zwei Quadraten und einem doppelten Produkt dazwischen. Die Formel lautet a² + 2ab + b² = $a + b$².

So gehst du vor: Finde die Basen der beiden Quadrate (das sind die Zahlen oder Variablen, die quadriert wurden). Dann prüfst du, ob der mittlere Term wirklich das doppelte Produkt dieser Basen ist.

Bei x² + 10x + 25 sind die Basen x und 5. Das doppelte Produkt wäre 2 × x × 5 = 10x - passt! Also ist das Ergebnis $x + 5$².

Achtung: Wenn der mittlere Term nicht zum doppelten Produkt passt, kannst du diese Formel nicht anwenden.

Diese Faktorisierung macht besonders beim Lösen quadratischer Gleichungen das Leben leichter.

Zweite Binomische Formel

Die zweite binomische Formel sieht fast genauso aus wie die erste, nur mit einem Minus: a² - 2ab + b² = $a - b$². Der Unterschied liegt im Vorzeichen des mittleren Terms.

Das Vorgehen ist identisch: Basen der Quadrate bestimmen, prüfen ob der mittlere Term das doppelte Produkt ist, dann das Quadrat der Differenz bilden.

Bei x² - 10x + 25 hast du wieder die Basen x und 5. Das doppelte Produkt 2 × x × 5 = 10x stimmt mit dem mittleren Term überein. Das Ergebnis ist $x - 5$².

Merkhilfe: Plus im Term = Plus in der Klammer, Minus im Term = Minus in der Klammer.

Achte genau auf die Vorzeichen - das ist der häufigste Fehler bei dieser Formel!

Dritte Binomische Formel

Die dritte binomische Formel ist am einfachsten zu erkennen: Du hast nur zwei Quadrate mit einem Minus dazwischen. Die Formel lautet a² - b² = $a + b$$a - b$.

Hier brauchst du nur zwei Schritte: Bestimme die Basen der beiden Quadrate und bilde dann das Produkt aus Summe und Differenz dieser Basen.

Bei x² - 25 sind die Basen x und 5. Das Ergebnis ist sofort $x + 5$$x - 5$ - fertig!

Cool: Diese Formel funktioniert immer, wenn du zwei Quadrate mit einem Minus hast - kein kompliziertes Prüfen nötig.

Diese Faktorisierung ist besonders praktisch, weil sie so schnell geht und häufig in Aufgaben vorkommt.