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Wahrscheinlichkeitsrechnung

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Mehrstufiger Zufallsversuch
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S: Wahrscheinlich- keitsrechnung Wahrscheinlichkeitsregeln Mehrstufiger Zufallsversuch Ein Zufallsversuch kann aus mehreren Stufen bestehen. Bei der Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ergebnis auf einer Stufe muss darauf geachtet werden, ob sich die Versuchsbedingungen gegenüber der vorangehenden Stufe verändert haben. Baumdiagramme + Pfadregeln Mehrstufige Zufallsversuche lassen sich mithilfe von Baumdiagramm darstellen. Ergebnisse der mehrstufigen Zufallsversuche werden als Pfade bezeichnet. Pfadmultiplikationsregel Bei einem mehrstufigen Zufallsversuch erhält man die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses, also eines Pfades im Baumdiagramm, indem man die Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Pfades im Baumdiagramm miteinander multiplizieren. Pfadadditionsregel Setzt sich ein Ereignis aus mehreren Pfaden eines Baumdiagramms zusammen, so erhält man die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, indem man die Pfadwahrscheinlichkeiten der zugehörigen Pfade addiert. Komplementärregel Manchmal ist es weniger aufwendig, die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses E statt der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E zu bestimmen. Dann wendet man die Komplementärregel an: PE) = 1-PE), da P(E) + P(E) = 1 Vierfeldertafel + Baumdiagramme Statistische Daten von 2 Merkmalen mit je 2 Möglichkeiten kann man in einer Tabelle mit 4 inneren Feldern, einer Vierfeldertafel, notieren. Die Werte in den Randfeldern ergeben sich jeweils aus der Spalten- oder Zeilensumme der inneren Felder. Zu jeder Vierfeldertafel gehören 2 zweistufige Baumdiagramme, die sich dadurch ergeben, nach welchem Merkmal in der ersten Stufe unterschieden wird. Die Wahrscheinlichkeiten der 1. Stufe kann man den Randfeldern der Vierfeldertafel, die Wahrscheinlichkeiten der vollständigen Pfade den inneren Feldern der Vierfeldertafel entnehmen. Die Wahrscheinlichkeiten der 2....

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Stufe ergeben sich mithilfe der Pfadmultiplikationsregel als Quotient aus der Pfadwahrscheinlichkeit und der Wahrscheinlichkeit der ersten Stufe dieses Pfads. A bedeutet nicht A; also das Gegenereignis von A B. B B gesamt 0,35 Vierfeldertafel mit den Merkmalen A und 0,65 0,1 0,35 = 0,71 A 0,25 0,1 0,35 -0,29 (B) 0,25 B 0,1 (B) 0,15 Die Wahrscheinlich- keiten der Pfade ermittelt man mit der Pfadmultiplikations- B) 0,5 regel. Für zweimal gelb gilt: 3.2 6 3 P(gg)= 54 20 10 Möchte man eine rote und eine gelbe Kugel ziehen, ohne auf die Reihenfolge zu achten, addiert man die Wahrscheinlich- keiten der beiden Pfade mit einer gelben und einer roten Kugel: P(gr) + P(rg) = 4+5 4-20 32 23 12 Die Wahrscheinlichkeit wenigstens eine gelbe Kugel zu ziehen, kann man über die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses (zwei rote Kugeln) berechnen: P(wenigstens eine gelbe Kugel) = 1 - P (zwei rote Kugeln) = 1 - ²/3 - 1/4 = 1- 70 = 100 9 54 10 Ā 0,15 0,5 0,65 0,4 0,6 B 0,15 0,65 gesamt 0,4 0,6 1 Wahrscheinlichkeiten der zweiten Stufe des linken Baumdiagramms: 0,25 0,35 ≈ 0,23 A) 0,25 0,5 ≈ 0,77 0,65 A) 0,15 (A) 0,1 A 0,5 A Ā = gesamt 3/5 P(A) B P(A und B) = P(An B) P(A und B) = P(AnB) P(B) PA (B) PA (B) = B P(A und B) = P(ANB) P(A und B) = P(ANB) P(B) (B) P(ANB) B B gesamt P(A) P(An B) P(A) P(A) 1 zusammen: P(B) Bedingte Wahrscheinlichkeit Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis B eintritt unter der Bedingung, dass ein Ereignis A bereits eingetreten ist, berechnet man wie folgt: P(A) PA(B) B) P(AnB) B B B zusammen: P (B) Faires Spiel Ein Spiel nennt man fair, wenn langfristig die Spieler weder Gewinn noch Verlust machen. Bemerkung: gibt die Zufallsgröße X den Nettogewinn eines Spielers an und beträgt in dem Fall E (X) = 0, so liegt ein faires Spiel vor Wahrscheinlich: р Gegenwahrscheinlichkeit Gegenwahrscheinlichkeit: 1-P PA (B) = > P(AnB) P(A) dass ist immer so, egal was Pist Merken für das Abitur im Hilfsmittelfreien Teil Zwei Ereignisse A und B heißen stochastisch unabhängig, wenn gilt: Stochastische Unabhängigkeit Andernfalls nennt man die Ereignisse stochastisch abhängig A Am Baumdiagramm erkennt man die stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse an gleichen Teilbäumen auf der 2. Stufe. Bei unterschiedlichen Teilbäumen sind die Ereignisse voneinander stochastisch abhängig р B (B) 1-p B PA (B) = = P(An B)=P(A).P (B) P(An B) P(A) BEISPIEL Der Betreiber einer Videoplattform unter- sucht unter allen Nutzern der Plattform, ob die Kommentarfunktion mehr von Männern oder mehr von Frauen benutzt wird. P(An B) = P(A). P (B) A: Die Person ist männlich. B: Die Kommentarfunktion wird benutzt. Die Wahrschein- lichkeiten an den Teilpfaden der zweiten Stufe sind gleich. Die Ereignisse A und B sind vonein- ander stochastisch Prüfen, ob die Ereignisse unabhängig sind: 1 3 unabhängig. Dies liegt daran, dass die Wahrscheinlichkeit die Kommentarfunk- tion zu nutzen immer beiliegt, unab- hängig davon, ob ein männlicher oder weiblicher Nutzer betrachtet wird. Bemerkungen: - Am Baumdiagramm erkennt man die stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse A und B an gleichen Wahrscheinlichkeiten auf den Teilpfaden der 2. Stufe - Sind 2 Ereignisse stochastisch abhängig, folgt daraus nicht zwangsläufig, dass das eine Ereignis Ursache des anderen ist P(An B)=P(A) P(B) 0,8 0,2 1. Stufe BEISPIEL 0,65 0,35 0,65 0,35 2. Stufe B B Aus einer Klasse mit 10 Jungen und 15 Mädchen kommen 3 Jungen und 5 Mädchen mit dem Bus zur Schule. Bei einer Befragung in der Klasse werden folgende Ereignisse betrachtet. A: Die Person ist ein Mädchen. B: Die Person kommt mit dem Bus zur Schule. 15 25 Die Wahrschein- lichkeiten an den Teilpfaden der zweiten Stufe sind verschieden. Die Ereignisse A und B sind nicht stochastisch unabhängig voneinander. Dies liegt daran, dass von den Mädchen ein größerer Anteil mit dem Bus fährt, als von den Jungen. 10 25 10 wenn gleich, dann stochastisch unabhängig wenn ungleich, dann stochastisch abhängig selbst wenn nur eine Wkeit anders ist, sind die Ereignisse abhängig! Eine Zufallsgröße ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reale Zahl k zu. Zufallsgrößen werden mit, mit X, Y oder Z bezeichnet Welche Zahl kann die Zufallsgröße alles annehmen? Wahrscheinlichkeitsverteilung Mit P(X= k) bezeichnet man die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, dass sie Zufallsgröße X den Wert k annimmt ↳ Wahrscheinlichkeit des Ereignisses X = k Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ereignisse der Wahrscheinlichkeitsverteilung ergibt exakt I Zufallsgrößen Erwartungswert einer Zufallsgröße Nimmt die Zufallsgröße X die Werte a,,a₂....,am mit den Wahrscheinlichkeiten P( X = a₁ ), P( X = a₂),..., P( X = am) an, dann ist der Erwartungswert E(X) (Kurzschreibweise der Zufallsgröße X: a; 0 X: Anzahl von „Kopf“ beim Werfen dreier Münzen 1 2 3 Summe E (X) = a₁ P(X= a₁)... + am P(X= am) · • ● P(X=a₁) -100 100 100 100 36 8 8 1 a₁ P(X= a) 0 3100 600 300 38 8 8 E (X) = 1,5 Man kann sagen, der Erwartungswert festigt sich als Mittelwert der Ergebnisse bei mehrmaligem Wiederholen eines Experiments

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Stufe ergeben sich mithilfe der Pfadmultiplikationsregel als Quotient aus der Pfadwahrscheinlichkeit und der Wahrscheinlichkeit der ersten Stufe dieses Pfads. A bedeutet nicht A; also das Gegenereignis von A B. B B gesamt 0,35 Vierfeldertafel mit den Merkmalen A und 0,65 0,1 0,35 = 0,71 A 0,25 0,1 0,35 -0,29 (B) 0,25 B 0,1 (B) 0,15 Die Wahrscheinlich- keiten der Pfade ermittelt man mit der Pfadmultiplikations- B) 0,5 regel. Für zweimal gelb gilt: 3.2 6 3 P(gg)= 54 20 10 Möchte man eine rote und eine gelbe Kugel ziehen, ohne auf die Reihenfolge zu achten, addiert man die Wahrscheinlich- keiten der beiden Pfade mit einer gelben und einer roten Kugel: P(gr) + P(rg) = 4+5 4-20 32 23 12 Die Wahrscheinlichkeit wenigstens eine gelbe Kugel zu ziehen, kann man über die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses (zwei rote Kugeln) berechnen: P(wenigstens eine gelbe Kugel) = 1 - P (zwei rote Kugeln) = 1 - ²/3 - 1/4 = 1- 70 = 100 9 54 10 Ā 0,15 0,5 0,65 0,4 0,6 B 0,15 0,65 gesamt 0,4 0,6 1 Wahrscheinlichkeiten der zweiten Stufe des linken Baumdiagramms: 0,25 0,35 ≈ 0,23 A) 0,25 0,5 ≈ 0,77 0,65 A) 0,15 (A) 0,1 A 0,5 A Ā = gesamt 3/5 P(A) B P(A und B) = P(An B) P(A und B) = P(AnB) P(B) PA (B) PA (B) = B P(A und B) = P(ANB) P(A und B) = P(ANB) P(B) (B) P(ANB) B B gesamt P(A) P(An B) P(A) P(A) 1 zusammen: P(B) Bedingte Wahrscheinlichkeit Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis B eintritt unter der Bedingung, dass ein Ereignis A bereits eingetreten ist, berechnet man wie folgt: P(A) PA(B) B) P(AnB) B B B zusammen: P (B) Faires Spiel Ein Spiel nennt man fair, wenn langfristig die Spieler weder Gewinn noch Verlust machen. Bemerkung: gibt die Zufallsgröße X den Nettogewinn eines Spielers an und beträgt in dem Fall E (X) = 0, so liegt ein faires Spiel vor Wahrscheinlich: р Gegenwahrscheinlichkeit Gegenwahrscheinlichkeit: 1-P PA (B) = > P(AnB) P(A) dass ist immer so, egal was Pist Merken für das Abitur im Hilfsmittelfreien Teil Zwei Ereignisse A und B heißen stochastisch unabhängig, wenn gilt: Stochastische Unabhängigkeit Andernfalls nennt man die Ereignisse stochastisch abhängig A Am Baumdiagramm erkennt man die stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse an gleichen Teilbäumen auf der 2. Stufe. Bei unterschiedlichen Teilbäumen sind die Ereignisse voneinander stochastisch abhängig р B (B) 1-p B PA (B) = = P(An B)=P(A).P (B) P(An B) P(A) BEISPIEL Der Betreiber einer Videoplattform unter- sucht unter allen Nutzern der Plattform, ob die Kommentarfunktion mehr von Männern oder mehr von Frauen benutzt wird. P(An B) = P(A). P (B) A: Die Person ist männlich. B: Die Kommentarfunktion wird benutzt. Die Wahrschein- lichkeiten an den Teilpfaden der zweiten Stufe sind gleich. Die Ereignisse A und B sind vonein- ander stochastisch Prüfen, ob die Ereignisse unabhängig sind: 1 3 unabhängig. Dies liegt daran, dass die Wahrscheinlichkeit die Kommentarfunk- tion zu nutzen immer beiliegt, unab- hängig davon, ob ein männlicher oder weiblicher Nutzer betrachtet wird. Bemerkungen: - Am Baumdiagramm erkennt man die stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse A und B an gleichen Wahrscheinlichkeiten auf den Teilpfaden der 2. Stufe - Sind 2 Ereignisse stochastisch abhängig, folgt daraus nicht zwangsläufig, dass das eine Ereignis Ursache des anderen ist P(An B)=P(A) P(B) 0,8 0,2 1. Stufe BEISPIEL 0,65 0,35 0,65 0,35 2. Stufe B B Aus einer Klasse mit 10 Jungen und 15 Mädchen kommen 3 Jungen und 5 Mädchen mit dem Bus zur Schule. Bei einer Befragung in der Klasse werden folgende Ereignisse betrachtet. A: Die Person ist ein Mädchen. B: Die Person kommt mit dem Bus zur Schule. 15 25 Die Wahrschein- lichkeiten an den Teilpfaden der zweiten Stufe sind verschieden. Die Ereignisse A und B sind nicht stochastisch unabhängig voneinander. Dies liegt daran, dass von den Mädchen ein größerer Anteil mit dem Bus fährt, als von den Jungen. 10 25 10 wenn gleich, dann stochastisch unabhängig wenn ungleich, dann stochastisch abhängig selbst wenn nur eine Wkeit anders ist, sind die Ereignisse abhängig! Eine Zufallsgröße ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reale Zahl k zu. Zufallsgrößen werden mit, mit X, Y oder Z bezeichnet Welche Zahl kann die Zufallsgröße alles annehmen? Wahrscheinlichkeitsverteilung Mit P(X= k) bezeichnet man die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, dass sie Zufallsgröße X den Wert k annimmt ↳ Wahrscheinlichkeit des Ereignisses X = k Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ereignisse der Wahrscheinlichkeitsverteilung ergibt exakt I Zufallsgrößen Erwartungswert einer Zufallsgröße Nimmt die Zufallsgröße X die Werte a,,a₂....,am mit den Wahrscheinlichkeiten P( X = a₁ ), P( X = a₂),..., P( X = am) an, dann ist der Erwartungswert E(X) (Kurzschreibweise der Zufallsgröße X: a; 0 X: Anzahl von „Kopf“ beim Werfen dreier Münzen 1 2 3 Summe E (X) = a₁ P(X= a₁)... + am P(X= am) · • ● P(X=a₁) -100 100 100 100 36 8 8 1 a₁ P(X= a) 0 3100 600 300 38 8 8 E (X) = 1,5 Man kann sagen, der Erwartungswert festigt sich als Mittelwert der Ergebnisse bei mehrmaligem Wiederholen eines Experiments